全等三角形模型總結(jié)

1、一、角平分線模型(一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過點G作GE射線ACA、例題1、如圖，在ABC中，C=90°，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到直線AB的距離是cm.2、如圖，已知，12，34，求證：AP平分BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BCAB，ADCD，BD平分ABC，求證：AC180°.（二）角平分線垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長ED交射線OB于F 輔助線：過點E作EF射線OB例1、如圖，在ABC中，ABC3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F .求證：.例2、如圖，在ABC中，BAC的角平分線AD交BC于點D，且

2、ABAD，作CMAD交AD的延長線于M. 求證：.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OBOA，從而使OACOBC .A、例題1、如圖，在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：ABBPBQAQ .2、如圖，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PBPC與ABAC的大小，并說明理由 .B、模型鞏固1、在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：ABACPBPC .2、如圖，ABC中，ABAC，A10

3、0°，B的平分線交AC于D，求證：ADBDBC .3、如圖，ABC中，BCAC，C90°，A的平分線交BC于D，求證：ACCDAB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點，在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）將ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得ACM ABD，從而推出ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MCBC，使CMBD，連結(jié)AM.（二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連結(jié)AD.（1）使BFAE（或AFCE），導(dǎo)出BDF ADE.（2）使EDFBAC180°，導(dǎo)出BDF ADE.A、例題1、如圖，在

4、等腰直角ABC中，BAC90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且MAN45°，試探究 BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.2、兩個全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME、MC. 試判斷EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，RtABC中，ABAC，BAC90°，O為BC中點，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持ANCM.（1）試判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積

5、如何變化？2、在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，求BAEDCF為多少度.（三）構(gòu)造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：A、例題應(yīng)用1、如圖，在等腰直角ABC中，ACBC，ACB90°，P為三角形ABC內(nèi)部一點，滿足PBPC，APAC，求證：BCP15° .三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在ABC中，ABAC，BAC90°，D為AC中點，AFBD于點E，交BC于F，連接DF .求證：ADBCDF .變式1、

6、已知：如圖所示，在ABC中，ABAC，AMCN，AFBM于E，交BC于F，連接NF .求證：（1）AMBCNF；（2）BMAFFN .變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點P，求證：（1）PMPN；（2）PBPFAF .四、手拉手模型1、ABE和ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）ABFAEC . （2）BOEBAE60° . （3）OA平分EOF .（四點共圓證）拓展：ABC和CDE均為等邊三角形 結(jié)論：（1）ADBE； （2）ACBAOB； （3）PCQ為等邊三角形； （4）PQAE； （5）APBQ； （6）CO平分AOE；（四點共圓證） （7）OA

7、OBOC； （8）OEOCOD .（7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）例、如圖，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM以AB為一邊向外作等邊三角形ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN（1）求證：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為ABC的費爾馬點若點M為ABC的費爾馬點，試求此時AMB、BMC、CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費爾馬點的簡便方法：如圖，分別以ABC的AB、AC為一邊向外作等邊ABE和等邊ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為ABC的費爾馬點試說明這種作法的依據(jù)2、ABD和ACE均為

8、等腰直角三角形結(jié)論：（1）BECD；（2）BECD .3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形結(jié)論：（1）BDCF；（2）BDCF .變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，ASBC交FD于T，求證：（1）T為FD中點；（2） .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC于S，求證：ASBC .4、如圖，以ABC的邊AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時，總有：五、半角模型條件：兩邊相等 .思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF 將ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證F、B、M三點共線結(jié)論：（1）MNBMDN； （2）； （3）AM、AN分別平分BMN、MND .2、翻折（對稱）輔助線：作APMN交MN于點P將ADN、ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MNBMDN，求證：（1）MAN45°； （2）； （3）AM、AN分別平分BMN和DNM .變式：在正方形ABCD中，已知MAN45°，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動，AHMN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系