四邊形的旋轉(zhuǎn)與翻折

1、（一）正三角形類(lèi)型在正ABC中，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個(gè)P'CP中，此時(shí)P'AP也為正三角形。例1. 如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3， PB=4，PC=5，APB的度數(shù)是_.（二）正方形類(lèi)型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的CPP'中，此時(shí)BPP

2、9; 為等腰直角三角形。例2.如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。8 （三）等腰直角三角形類(lèi)型 在等腰直角三角形ABC中， C=Rt , P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，將APC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個(gè)P' CP為等腰直角三角形。例3如圖，在ABC中， ACB =900，BC=AC，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2。求 BPC的度數(shù)。平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的

3、法則，對(duì)給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系這類(lèi)實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開(kāi)放，注重考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識(shí)相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。   為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識(shí)來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題，下面以近幾年中考題為例說(shuō)明其解法，供大家參考。一平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移“一定的方向

4、”稱(chēng)為平移方向，“一定的距離”稱(chēng)為平移距離。平移特征：圖形平移時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原來(lái)相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。例1如圖，將ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60º后得到AB´C´，且C´為BC的中點(diǎn)，則C´D:DB´=（ ）A1:2 B1: C1: D1:3點(diǎn)評(píng)：本例考查靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形

5、的判斷和含30 º角的直角三角形的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)AC´C是等邊三角形二、翻折翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折180º后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸。解這類(lèi)題抓住翻折前后兩個(gè)圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。    翻折在三大圖形運(yùn)動(dòng)中是比較重要的，考查得較多另外，從運(yùn)動(dòng)變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題是極為

6、重要的，值得大家留意。例2如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若BAD30°，則AED 等于（ ）A30° B45° C60° D75°點(diǎn)評(píng)：本例考查靈活運(yùn)用翻折前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)EAD=EAD，AED=AED  點(diǎn)評(píng)：圖形沿某條線折疊，這條線就是對(duì)稱(chēng)軸，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)并借助方程的的知識(shí)就能較快得到計(jì)算結(jié)果。   由此看出，近幾年中考，重點(diǎn)突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運(yùn)動(dòng)的思想(圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動(dòng))都一一考查到了因此在平時(shí)抓住這三種運(yùn)動(dòng)的特征和基本解題思路來(lái)指導(dǎo)

7、我們的復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動(dòng)手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn)。在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過(guò)線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的。例1：如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，將腰CD以D為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE、CE，則ADE的面積是（ ） A 1 B 2 C 3 D 不能確定點(diǎn)評(píng)：明確ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫(xiě)成DE，作梯形高是常見(jiàn)的解題方法之一。變

8、式題1：如圖，已知ABC中AB=AC，BAC =90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下五個(gè)結(jié)論： （1）AE=CF（2）APE=CPF（3）EPF是等腰直角三角形（4）EF=AP（5）S四邊形AEPF= SABC÷2，當(dāng)EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合）上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有例2 D、E為AB的中點(diǎn)，將ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處。若B=50°，則BDF=點(diǎn)評(píng)：幾何變換沒(méi)有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地思考問(wèn)題，觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題。變式題2：如圖，

9、矩形紙片ABCD，AB=2，ADB=30°，將它沿對(duì)角線BD折疊（使ABD和EBD落在同一平面內(nèi)）則A、E兩點(diǎn)間的距離為旋轉(zhuǎn)具有以下特征：（1）圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等；（4）圖形的形狀和大小都不變。  利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如一.求線段長(zhǎng).例：如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD 的周長(zhǎng)為20，AB=4，點(diǎn)E在BC上，且 AEEF，AE=EF，求CF的長(zhǎng)。二.求角的大小例:如圖，在等邊 ABC中，點(diǎn)E、D分別為AB、BC上的兩點(diǎn)，且BE=CD，AD與CE交于點(diǎn)M，求AME 的大小。

10、三.進(jìn)行幾何推理例：如圖，點(diǎn)F在正方形ABCD的邊BC上，AE平分DAF ，請(qǐng)說(shuō)明DE=AF-BF成立的理由 。  數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想對(duì)稱(chēng)的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下： 1 、對(duì)稱(chēng)的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)這些概念中，對(duì)稱(chēng)這一概念非常重要.它包括軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng).對(duì)稱(chēng)是一種種要的思想方法，在解題的應(yīng)用非常廣泛.例：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個(gè)較基本的圖形經(jīng)過(guò)哪些運(yùn)動(dòng)變換產(chǎn)生的？它是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形？旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形？中心對(duì)稱(chēng)圖形？分析： 這是一個(gè)涉及軸對(duì)稱(chēng)平移、旋轉(zhuǎn)的

11、綜合性例子。解題思路主要通過(guò)直觀觀察取得。這個(gè)圖案較基本的圖形是正方形，一個(gè)小正方形沿對(duì)角線方向平移一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)、兩個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個(gè)90°后得到題目中給出的圖案，整個(gè)過(guò)程如圖所示。  這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng).中心對(duì)稱(chēng)圖形。方法探究：這里的較基本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過(guò)程。2、旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡(jiǎn)單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?，使?wèn)題獲得簡(jiǎn)單的解決，它是一種要的解題方法。例：如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，PADP

12、DA15°，連結(jié)PB、PC，請(qǐng)問(wèn)：PBC是等邊三角形嗎？為什么？                 1如圖，ABC是等腰直角三角形，BC為斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，如果AP=3，請(qǐng)求出PP的長(zhǎng)2如圖，在ABC中，BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊三角形BCD，ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到ECD，若AB=3，AC=2，求BAD的度數(shù)與AD的長(zhǎng)3如圖，點(diǎn)O是等邊ABC內(nèi)一

13、點(diǎn)，AOB=110°，BOC=將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得ADC，連接OD（1）試說(shuō)明：COD是等邊三角形；（2）當(dāng)=150°時(shí)，試判斷AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）探究：當(dāng)為多少度時(shí)，AOD是等腰三角形？4. 如圖在ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的任意兩點(diǎn)，則S陰影= 。5.如圖，已知在ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BEDF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長(zhǎng)線上，且AGCH，連接GE、EH、HF、FG求證：四邊形GEHF是平行四邊形6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、C

14、D的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則BME=CNE（不需證明）小明的思路是：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而1=2，再利用平行線性質(zhì)，可證得BME=CNE （1）：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷OMN的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論； （2）：如圖3，在ABC中，ACAB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若EFC=60°，連接GD，判斷AGD的形狀并證明7.如圖，在ABC中，A

15、B=AC，AD是ABC的角平分線，點(diǎn)O位AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE、BE（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由8. 如圖，平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，說(shuō)明理由并求出此時(shí)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)ABCDOFE9.在ABC中，AB=AC，BAC=（0°<<60°），將線段BC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段BD。（1）如圖1，直接寫(xiě)出ABD的大?。ㄓ煤氖阶?/p>