北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第三章《變量間的關(guān)系》知識(shí)點(diǎn)梳理及典型例題

1、word第三章 變量之間的關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)梳理及典型例題知識(shí)回憶復(fù)習(xí) 路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系： ， ， ；知識(shí)點(diǎn)一 常量與變量 在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱(chēng)數(shù)值發(fā)生變化的量為 .數(shù)值始終不變的量為 ； 在某一變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，當(dāng)其中一個(gè)變量x在一定范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量y也有唯一一個(gè)數(shù)值與其對(duì)應(yīng)，那么，通常把前一個(gè)變量x叫做 ，后一個(gè)變量y叫做自變量的 ； 注意：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對(duì)某個(gè)變化過(guò)程而言的.例如：s=60t，速度60千米/時(shí)是 ，時(shí)間t和里程s為變量.t是 ，s是 。知識(shí)點(diǎn)二 用表格表示變量之間的關(guān)系 表示兩個(gè)變量之間的

2、關(guān)系的表格，一般第一行表示自變量，第二行表示因變量；借助表格，可以表示因變量隨自變量的變化而變化的情況。注意：用表格可以表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，能準(zhǔn)確地指出幾組自變量和因變量的值，但不能全面地反映兩個(gè)變量之間的關(guān)系，只能反映其中的一局部，從數(shù)據(jù)中獲取兩個(gè)變量關(guān)系的信息，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)三 用關(guān)系式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系 例如，正方形的邊長(zhǎng)為x，面積為y，那么y=x2這個(gè)關(guān)系式就是表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中x是 ，y是 ；一般地，含有兩個(gè)未知數(shù)變量的等式就是表示這兩個(gè)變量的關(guān)系式； 【溫馨提示】1寫(xiě)關(guān)系式的關(guān)鍵是寫(xiě)出一個(gè)含有自變量和因變量的等式，將表示因變量的字母單獨(dú)寫(xiě)在

3、等號(hào)的左邊，右邊是用自變量表示因變量的代數(shù)式.2自變量的取值必須使式子有意義，實(shí)際問(wèn)題還要有實(shí)際意義.3實(shí)際問(wèn)題中，有的變量關(guān)系不一定能用關(guān)系式表示出來(lái).【方法技巧】列關(guān)系式的關(guān)鍵是記住一些常見(jiàn)圖形的相關(guān)公式和弄清兩個(gè)變量間的量的關(guān)系.根據(jù)關(guān)系式求值實(shí)質(zhì)上是求代數(shù)式的值或解方程.知識(shí)點(diǎn)四 用圖象表示兩個(gè)變量間的關(guān)系 圖象法就是用圖象來(lái)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系的方法；在用圖象法表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸橫軸上的點(diǎn)表示 ，用豎直方向的數(shù)軸縱軸上的點(diǎn)表示 ，用坐標(biāo)來(lái)表示每對(duì)自變量和因變量的對(duì)應(yīng)值所在位置； 【溫馨提示】圖象法能直觀(guān)、形象地描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，但只是反映兩個(gè)變量之間的

4、關(guān)系的一局部，而不是整體，且由圖象確定的數(shù)值往往是近似的.【方法技巧】1借助圖象，過(guò)某點(diǎn)分別向橫軸、縱軸作垂線(xiàn)可以知道自變量取某個(gè)值時(shí)，因變量取什么值.2借助圖象可判斷因變量的變化趨勢(shì)：圖象自左向右是上升的，那么說(shuō)明因變量隨著自變量的增大而增大，圖象自左向右是上升下降的，那么說(shuō)明因變量隨著自變量的增大而增大減小，圖象自左向右是與橫軸平行的，那么說(shuō)明因變量在自變量的增大的過(guò)程中保持不變.知識(shí)點(diǎn)五 變量之間的關(guān)系的表示方法比擬 表示變量之間的關(guān)系，可以用 、 和 ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的數(shù)值有限，不容易看出因變量與自變量的變化規(guī)律；關(guān)系式法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確反映出整個(gè)變化過(guò)程中因變量

5、與自變量之間的相互關(guān)系，但是求對(duì)應(yīng)值時(shí)，要經(jīng)過(guò)比擬復(fù)雜的計(jì)算，而且在實(shí)際問(wèn)題中，有的變量之間的關(guān)系不一定能用關(guān)系式表示出來(lái)；圖象法的特點(diǎn)是形象、直觀(guān)，可以形象地反映出變量之間的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)，是研究變量性質(zhì)的好工具，其缺乏是由圖象法往往難以得到準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)值；專(zhuān)題一 能從表格中獲取兩個(gè)變量之間關(guān)系的信息1有一個(gè)水箱，它的容積是500 L，現(xiàn)要將水箱注滿(mǎn)，下面是注水的情況表注水時(shí)間/min051015202530注水量/L200250300350400450500 1在這個(gè)注水過(guò)程中，反映的是兩個(gè)變量 與 之間的關(guān)系，其中變量 是自變量，變量 是因變量；2這個(gè)水箱原有水 L；（3） min時(shí)水

6、箱注滿(mǎn)水；4由表中的數(shù)據(jù)可以看出，水箱的注水過(guò)程是均勻的，那么平均每分鐘注水 L.2一根合金棒在不同的溫度下，其長(zhǎng)度也不同，合金棒的長(zhǎng)度和溫度之間有如下關(guān)系：溫度-5051015長(zhǎng)度cm9.9951010.00510.0110.015 1上表反映了溫度與長(zhǎng)度兩個(gè)變量之間的關(guān)系，其中 自變量， 長(zhǎng)度是因變量.2當(dāng)溫度是10 時(shí)，合金棒的長(zhǎng)度是 10.01cm3如果合金棒的長(zhǎng)度大于10.05 cm小于10.15 cm，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)推測(cè)，此時(shí)的溫度應(yīng)在 50 150的范圍內(nèi)4當(dāng)溫度為-20 和100 ，合金棒的長(zhǎng)度分別為 9.98cm和 10.1cm專(zhuān)題二 根據(jù)表格確定自變量、因變量及變化規(guī)律3七

7、年級(jí)1班第一小組的同學(xué)星期天去郊外爬山，得到如下數(shù)據(jù)：爬坡長(zhǎng)度x/m305080100150200爬坡時(shí)間y/min23.76.5914201當(dāng)爬到100 m時(shí)，所花的時(shí)間是多少？2當(dāng)爬到每增加10 m時(shí)，所花的時(shí)間相同嗎？3從表中數(shù)據(jù)的變化中，你能得到什么變化趨勢(shì)？ 4一輛小汽車(chē)在高速公路上從靜止到啟動(dòng)10秒之間的速度經(jīng)測(cè)量如下表：時(shí) 間 s 012345678910速度m/s00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.91上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)變量是自變量？哪個(gè)變量是因變量？（2） 如果用t表示時(shí)間，v表示速度，那么隨著t的變化，v的變化趨勢(shì)是什么？

8、（3） 當(dāng)t每增加1 s時(shí)，v的變化情況相同嗎？在哪一秒鐘,v的增加量最大？（4） 假設(shè)在高速公路上小汽車(chē)行駛速度的上限為120 km/h，試估計(jì)還需幾秒這輛小汽車(chē)的速度就到達(dá)這個(gè)上限專(zhuān)題三 用關(guān)系式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系5某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：  購(gòu)置香蕉數(shù)x千克 x20 20<x40 x>40 每千克價(jià)格 8元 7元 6元假設(shè)小強(qiáng)購(gòu)置香蕉x千克x大于40千克付了y元，那么y關(guān)于x的關(guān)系式為 .6.1某禮堂共有25排座位，第一排有20個(gè)座位，后面每一排都比前一排多1個(gè)座位，寫(xiě)出每排的座位數(shù)m

9、與這排的排數(shù)n的關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量n的取值范圍2在其他條件不變的情況下，請(qǐng)?zhí)骄恳韵聠?wèn)題： 當(dāng)后面每一排都比前一排多2個(gè)座位時(shí)，那么每排的座位數(shù)m與這排的排數(shù)n的關(guān)系式是 m=2n+181n25，且n是正整數(shù)；當(dāng)后面每一排都比前一排多3個(gè)座位、4個(gè)座位時(shí)，那么每排的座位數(shù)m與這排的排數(shù)n的關(guān)系式分別是 m=3n+17， m=4n+16 1n25，且n是正整數(shù)；某禮堂共有p排座位，第一排有a個(gè)座位，后面每一排都比前一排多b個(gè)座位，試寫(xiě)出每排的座位數(shù)m與這排的排數(shù)n的關(guān)系式專(zhuān)題四 用關(guān)系式求值栽種以后的年數(shù)n/年高度h/厘米11052130315541807一棵樹(shù)苗，栽種時(shí)高度約為80厘米，為研究

10、它的生長(zhǎng)情況，測(cè)得數(shù)據(jù)如下表：1此變化過(guò)程中 栽種以后的年數(shù)是自變量， 樹(shù)苗的高度是因變量；2樹(shù)苗高度h與栽種的年數(shù)n之間的關(guān)系式為 ；3栽種后 8年后，樹(shù)苗能長(zhǎng)到280厘米每月每戶(hù)用水量每噸價(jià)元不超過(guò)10噸局部0.50超過(guò)10噸而不超過(guò)20噸局部0.75超過(guò)20噸局部1.508某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，規(guī)定自來(lái)水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：1現(xiàn)小偉家四月份用水18噸，那么應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？2寫(xiě)出每月每戶(hù)的水費(fèi)y元與用水量x噸之間的函數(shù)關(guān)系式3假設(shè)小偉家五月份的水費(fèi)為17元，那么他家五月份用水多少?lài)?？?zhuān)題五 曲線(xiàn)型圖象9溫度的變化是人們經(jīng)常談?wù)摰脑?huà)題請(qǐng)你根據(jù)圖象，討論某地某天溫度變化的情況如下圖：1上午

11、10時(shí)的溫度是 度，14時(shí)的溫度是 度；2這一天最高溫度是 度，是在 時(shí)到達(dá)的；最低溫度是 度，是在 時(shí)到達(dá)的；3這一天從最低溫度到最高溫度經(jīng)過(guò)了 小時(shí)；4溫度上升的時(shí)間范圍為 ，溫度下降的時(shí)間范圍為 ；5你預(yù)測(cè)次日凌晨1時(shí)的溫度是 10如圖，水以恒速即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同注入下面四種底面積相同的容器中.1請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h和時(shí)間t的變化關(guān)系的圖象，用直線(xiàn)段連接起來(lái)；2當(dāng)容器中的水恰好到達(dá)一半高度時(shí)，請(qǐng)?jiān)陉P(guān)系圖的t軸上標(biāo)出此時(shí)t值對(duì)應(yīng)點(diǎn)T的位置 專(zhuān)題六 折線(xiàn)型圖象11.如圖，表現(xiàn)了一輛汽車(chē)在行駛途中的速度隨時(shí)間的變化情況1A、B兩點(diǎn)分別表示汽車(chē)是什么狀態(tài)？2請(qǐng)你分段描寫(xiě)汽

12、車(chē)在第0分鐘到第19分鐘的行駛狀況3司機(jī)休息5分鐘后繼續(xù)上路，加速1分鐘后開(kāi)始以60 km/h的速度勻速行駛，5分鐘后減速，用了2分鐘汽車(chē)停止，請(qǐng)?jiān)谠瓐D上畫(huà)出這段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)的速度與時(shí)間的關(guān)系圖 第三章 變量之間的關(guān)系復(fù)習(xí)題1一名同學(xué)在用彈簧做實(shí)驗(yàn)，在彈簧上掛不同質(zhì)量的物體后，彈簧的長(zhǎng)度就會(huì)發(fā)生變化，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：所掛物體的質(zhì)量/千克012345彈簧的長(zhǎng)度/cm1212.51313.51414.5 (1)上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？ (2)彈簧不掛物體時(shí)的長(zhǎng)度是多少？如果用x表示彈性限度內(nèi)物體的質(zhì)量，用y表示彈簧的長(zhǎng)度，那么隨著x的變化，y的變化趨勢(shì)如何？(3)

13、如果此時(shí)彈簧最大掛重量為15千克，你能預(yù)測(cè)當(dāng)掛重為10千克時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是多少？2如圖：將邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙片的四個(gè)角截去相同的小正方形，然后將截好的材料圍成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。 (1) 這個(gè)情境反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？其中自變量是什么？因變量是什么？(2)在以上問(wèn)題中，假設(shè)設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)是xcm，圍成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的體積是ycm3,那么y與x之間的關(guān)系式是_；(3)假設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是5cm，那么長(zhǎng)方體的體積是多少cm3？當(dāng)x=2.5cm體積是多少cm3(4)根據(jù)以上關(guān)系式填下表：x/cm123456789y/cm3(5)當(dāng)x在什么范圍變化時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x在什么范圍

14、變化時(shí)，y隨x的增大而減?。磕阌质歉鶕?jù)哪種表示法得到的？(6)請(qǐng)你估計(jì)x取何值時(shí)，制成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的體積最大？3小紅與小蘭從學(xué)校出發(fā)到距學(xué)校5千米的書(shū)店買(mǎi)書(shū)，以下圖反響了他們兩人離開(kāi)學(xué)校的路程與時(shí)間的關(guān)系。根據(jù)圖形嘗試解決你們提出的問(wèn)題。312450102030405060t/分鐘s/千米實(shí)線(xiàn)-小蘭虛線(xiàn)-小紅1小紅與小蘭誰(shuí)先出發(fā)？誰(shuí)先到達(dá)？2描述小蘭離學(xué)校的路程與時(shí)間的變化關(guān)系。3小蘭前20分鐘的速度和最后10分鐘的速度是多少？怎樣從圖像上直觀(guān)地反映速度的大?。?小紅與小蘭從學(xué)校到書(shū)店的平均速度各是多少？4一輛汽車(chē)以每小時(shí)50千米的速度行駛了t小時(shí)，行駛的路程為s千米.1這個(gè)情境中，有哪些變量

15、？其中自變量是什么？因變量是什么？(2)你能用哪種方式表示路程與時(shí)間之間的關(guān)系？具體做一做。3該汽車(chē)行駛2.5小時(shí)的路程是多少千米？4一段公路全長(zhǎng)350千米，這輛汽車(chē)行駛完全程需要多少小時(shí)？5. 2012年6月份某一天沈陽(yáng)的氣溫隨時(shí)間變化的情況如下圖，答復(fù)以下問(wèn)題：溫度/2022242628時(shí)間03691215182124(1)這天的最高氣溫約是 ；(2)這天一共有 個(gè)小時(shí)的氣溫在24以上；(3)這天在 范圍內(nèi)溫度在上升；這天在 范圍內(nèi)溫度在下降；(4)請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下，次日凌晨1點(diǎn)的氣溫大約多少度。6.果子成熟從樹(shù)上落到地面，它落下的高度與經(jīng)過(guò)的時(shí)間有如下的關(guān)系：時(shí)間t/秒0.50.60.70.

16、80.91高度 h/米5×0.255×0.365×0.495×0.645×0.815×1(1)上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？(2)如果果子經(jīng)過(guò)2秒落到地上，那么請(qǐng)估計(jì)這果子開(kāi)始落下時(shí)離地面的高度是多少米？(3)請(qǐng)你列出果子落下的高度h米與時(shí)間t秒之間的關(guān)系式。7某種油箱容量為60升的汽車(chē)，加滿(mǎn)汽油后，汽車(chē)行駛時(shí)油箱的油量Q升隨汽車(chē)行駛時(shí)間t時(shí)變化的關(guān)系式如下：Q606t (1)請(qǐng)完成下表汽車(chē)行駛時(shí)間t/小時(shí)012.54油箱的油量Q/升60(2)汽車(chē)行駛5小時(shí)后，油箱中油量是 升(3)假設(shè)汽車(chē)行駛過(guò)程中，油箱的油量為12升，那么汽車(chē)行駛了 小時(shí)(4)貯滿(mǎn)60升汽油的汽車(chē)，最多行駛 小時(shí)(5)下面哪個(gè)圖像能夠反映變量Q與t的關(guān)系的是 QtAQtBQtC情景創(chuàng)設(shè)：分析下面反映變量之間關(guān)系的圖，想象一個(gè)適合它的實(shí)際情境.1可以把x和y分別代表時(shí)間和距離