微分幾何期末1

1、2、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定. （）3、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線. （×）4、連接曲面上兩點的所有曲線段中，測地線一定是最短的（×）5、坐標曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量（）6、在空間曲線的非逗留點處，密切平面存在且唯一。 ( )7、空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀與位置。 ( × )8、在曲面的非臍點處，最多有二個漸近方向。 ( )9、LN-M2不是內(nèi)蘊量。 ( × )10、高斯曲率恒為零的曲面一定是可展的。 ( )11、曲線=(s)為一般螺線的充要條件為(,)=0 （）12、主法向量正向總是指向曲線凹入的方

2、向。（）13、不存在兩條不同曲線,使得一條曲線的主法線都是另一曲線的主法線。（×）14、曲面上平點對應的杜邦指標線是一條直線。（×）15、每一個可展曲面或是柱面,或是錐面,或是一條曲線的切線曲面。（）16、橢圓的曲率和撓率特征為k=1,=0。(×)17、若曲線的所有切線都經(jīng)過定點,則該曲線一定是直線. ()18、球面曲線的主法線必過球心（×）19、曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0. (×)20、曲面上的漸進網(wǎng)一定存在. （×）21、在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一。 ()22、圓的曲率、撓率特征是：k=常數(shù)，=0

3、。 (×)23、在曲面的非臍點處，有且僅有二個主方向。 ()24、高斯曲率與第二基本形式有關，不是內(nèi)蘊量。 (×) 25、曲面上連接兩點的最短線一定是測地線。 (×)26、在空間曲線的非逗留點處，密切平面存在且唯一。 ( )27、在曲面的非臍點處，有且僅有二個主方向。 ( )28、存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=3，G=3的曲面。 ( )29、LN-M2是內(nèi)蘊量。（）30、曲面上一定存在著曲率線網(wǎng)和漸近線網(wǎng) ( )31、保角變換一定是等距變換（´）32、空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定. （´）33、高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面. （&

4、#214;）34、測地曲率是內(nèi)蘊量（Ö）35、曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0. (×)36、曲面上曲率線網(wǎng)一定存在. ()37、存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=-3，G=3的曲面 (×)38、高斯曲率與第二基本形式有關，不是內(nèi)蘊量。 (×)39、曲面上的直線一定是測地線。 ()1、半徑為的圓的曲率為.2、曲面的坐標曲線網(wǎng)正交的充要條件是F=0,3、坐標曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是.4、在臍點處曲面的第一, 第二類基本量滿足_,5、使法曲率達到最大值和最小值的方向是主方向方向.6、向量函數(shù)r=r(t)具有固定長的充要條件是。7、曲線r=r(

5、t)的撓率是。8、曲面上曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件L=N=0。9、直紋曲面的高斯曲率值滿足。10、球面上的測地線是大圓。11、曲線r=r(s)的曲率定義是。12、空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量_與一固定方向成定角_。13、曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是M=0。14、坐標網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是L=N=0。15、平面上的測地線一定是_直線_。16、當曲線參數(shù)是自然參數(shù)時，它的一階導向量的長度是_1_。17、螺旋線在點（1,0,0）處的單位切向量是_，法平面方程是_。18、設為曲面上曲線，點P在上，在P點的測地曲率為1，又在P點沿切方向的法曲率為2，則在P點的曲率為。19、曲

6、面的第一、二、三基本形式的關系是。20、向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是21、曲率是空間曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度.22、以杜邦(Dupin)指標線為分類標準,曲面上的點分為橢圓點,雙曲點,拋物點,平點.23、曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的法曲率的最大值和最小值.24、曲面的第三基本形式是它的球面表示的第一基本形式. 25、若曲面和曲面等距，則的高斯曲率K=0。26、柱面的第一基本形式為。27、設若曲面上的曲線，若既是漸近線又是測地線，則是 直線。又若曲面上的曲線既是漸近線又是曲率線，則是平面曲線。28、曲面在點A（1，3，4）的切平面方程是。29、曲面上曲線的弧長是_等距_不

7、變量。30、球極投影給出（除北極外）到平面的一個變換是_保角_變換。31、圓的曲率和撓率特征為k=大于零的常數(shù)_，=0_。32、曲率恒等于0的曲線是_直線_。33、在曲面上的任意點，主方向的數(shù)目總為_2_。34、已知，則，35、已知曲面，則它的第一基本形式為，第二基本形式為，高斯曲率，平均曲率，點處沿方向的法曲率，點處的兩個主曲率分別為1、已知空間正則參數(shù)曲線求基本向量.求的曲率和撓率. 答：2、求曲面z = axy上坐標曲線x = x,y =的交角.解 ；曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標曲線x = x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標曲線y =的向量表示為

8、=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos = 3.求拋物面在原點處的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判斷原點是否為臍點.解； 曲面方程即， ， 。在（0，0）點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a . ，所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a ，所以，高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a 4、求曲線的曲率和撓率：解：因為，所以，5.確定螺旋面上的曲率線。解  對于正螺面，       &

9、#160;                           曲率線的方程為，                     

10、;   化簡得     ，即     。  積分得。所求曲率線為，。    6.已知曲面的第一基本形式為，求坐標曲線的測地曲率.解，                       u-線的測地曲率   

11、                             v-線的測地曲率        7、求曲面的漸近曲線.又8、 求曲線= t,t,t在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。解 ；原點對應t=0 ,(0)=+t,- t,+t=0,1,1，

12、2+ t,- t,2+t =2,0,2 ， 所以切線方程是  ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，主法線的方程是  即 ；從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式9、 求曲面的漸近線.解：曲面的向量表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即.10、求曲面上的曲率線的方程. 解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: .11、將圓柱螺線=acost，asint，bt化為自然參數(shù)表示。解 = -a,asintco

13、st,b，s = ，所以，代入原方程得=a, a, 12、求雙曲面z=axy上的曲率線.解：，N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為.13、求第一基本形式為的曲面高斯曲率 。 證： 因為 ，所以=-=4c 14、求曲線x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的撓率，并求出它所在的平面方程 。證=3+4t, -+10t,-2t，=4，10，-，  ，0，0曲線的撓率是，所以曲線為平面曲線。曲線所在平面是曲線在任一點的密切平面。對于=0,有 =,，=3, -,0，=4，10，-，  ，0，0。所以曲線的密切平面，即曲線所在平面是即2

14、x+3y+19z 27015、求三次曲線在點的切線和法平面。解 ，切線為，法平面為 。16、計算拋物面在原點的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,  I=,  II=17、求出拋物面在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率., ，,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率18、求正交網(wǎng)的坐標曲線的測地曲率。解： 因為坐標網(wǎng)是正交的，所以F=0，故，而對u-曲線來說，=0，故，對v-曲線來說，=&

15、#160;，所以19、在xoz 平面上去圓周y = 0,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為=(b+acos)cos, (b+acos)sin, asin,求圓環(huán)面上的橢圓點、雙曲點、拋物點。解：E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos),   LN -=a cos(b+acos) ,由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符號與cos的符號一致,當0<和 <<2時,LN ->0 ,曲面上的點為橢圓點，即圓環(huán)面外側(cè)的點為橢圓點；當-<&

16、lt;，曲面上的點為雙曲點, 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點為雙曲點；當=或 時，LN -=0，為拋物點，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點為拋物點。20、求球面=上任意點的切平面和法線方程。解： ，=任意點的切平面方程為即xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法線方程為  21、設曲面的第一基本形式為I =，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,uv = 0的交角。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為，。曲線u + v = 0的方向

17、為du = -dv , u v = 0的方向為u=v , 設兩曲線的夾角為，則有cos= 。22、求曲線在平面與y = 9a之間的弧長。解：曲線的向量表示為，曲面與兩平面與y = 9a的交點分別為x=a 與x=3a ,，所求弧長為23、求正螺面=ucosv,usinv,av上的測地線。解：易計算出E=1，F(xiàn)=0，G=，所以測地線的微分方程化為，對第一式積分得（常數(shù)）。于是，將此式代入第二式并積分，則得所求測地線為 24、在曲線x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面。 解： = -cossi

18、nt, coscost, sin  ,= -coscost,-cossint , 0 sinsint ,- sincost , cos 新曲線的方程為= coscost + sinsint，cossint- sincost，tsin + cos 對于新曲線=-cossint+sincost，coscost+sinsint，sin =sin(-t),cos(-t),sin , = -cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面的方程是25、求曲線的曲率k和撓率。解：因為，    ，= 

19、60;                    26、求曲線的切線曲面的主曲率，平均曲率，曲率線方程。解：設曲線（s為弧長參數(shù)）的切線曲面為，                      

20、60;                   則有，                               

21、;              ，                    E=1+，F(xiàn)=1，G=1，L=M=0 ，N=0             

22、60;                                          , H=       

23、0;                                                 

24、0;   曲率線方程為=0，即s=常數(shù)，或v=-s+c27、求曲面高斯曲率。解： 可得K=028、求曲面的漸近曲線.解 設則，因漸近曲線的微分方程為即或漸近曲線為或1、證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點.證：由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對應的點為平點.若=-0,則K=<0 ,即LN-M<0,對應的點為雙曲點.2、證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一的定點，則此曲線是直線。證：取定點為坐標原點建坐標系，曲線的方程設為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過坐標原點，所以，可見，

25、所以具有固定方向，故是直線3、證明曲面=是可展曲面.證： 已知曲面方程可改寫為=+v，令=，=，則=+ v，且0，這是直紋面的方程 ，它滿足=0 ,所以所給曲面為可展曲面。4、證明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.證 ；若存在曲面滿足題設條件，則所給E,F,G,L,M,N 必須滿足在正交坐標網(wǎng)下的GCM公式，但，所以不滿足高斯公式，故不存在滿足題設條件的曲面。5、證明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。證： 曲面的方程可改寫為=+ u，其中=cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v，=-sinv,

26、cosv,1 ，易見0，所以曲面為直紋面，又因為=0，所以所給曲面為可展曲面6、 證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證； 曲面上的給定點處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為，即為常數(shù)。7、證明撓曲線(的曲線)的主法線曲面是不可展曲面.8、證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么這曲線是直線或平面曲線.證：設所給的常向量為，則。所以，兩邊對求微商得，即。若，則曲線是直線。若，則，于是，由于，所以有。由可知，從而，所以，即曲線為平面直線9、設在兩條曲線、的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的切線平行，證明它們在對

27、應點的主法線以及副法線也互相平行。證設曲線：=與：點s與一一對應，且對應點的切線平行，則=, 兩端對s求微商得,即 ，(這里k0，若k=0，則無定義)，所以，即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行。10、設空間兩條曲線和的曲率處處不為零，若曲線和可以建立一一對應，且在對應點的主法線互相平行，求證曲線和在對應點的切線夾固定角.解；設 則由知從而 ， 即這表明曲線和在對應點的切線夾固定角11、給出曲面上一條曲率線，設上每一點處的副法向量和曲面在該點的法向量成定角. 求證是一條平面曲線.證  ；設   ，其中是的自然參數(shù)，記，則，兩邊求導，得，

28、60;     由為曲率線知，即，因此 . 若，則為平面曲線；                               若，則因為曲面上的一條曲率線，故. 而，所以，即為常向量. 于是為平面曲線. 12、如果兩曲線在對應點有公共的副法線，則它們是

29、平面曲線。證 ：設一曲線為：，則另一曲線的表達式為： ，為曲線在點s的主法向量，也應為在對應點的副法線的方向向量。與正交，即·，于是，為常數(shù)。，k（k）也與正交，即·-=0,而,所以有，曲線為平面曲線。同理曲線為平面曲線。13、求證：如果測地線同時為漸近線，則它是直線；證  因為所給曲線是測地線，所以； 又因為所給曲線是漸近線，所以，而 ，所以k=0，故所給曲線是直線。14、證明曲線為一般螺線的充要條件為，其中k0.曲線為一般螺線的充要條件為 為常數(shù),即=0,也是   。15、若曲線的主法線是曲線的副法線，的曲率、

30、撓率分別為，求證，其中是常數(shù)。證明：設曲線，曲線。在的主法線與在的副法線重合，則。于是有， ，。因為，于是，上式兩邊點乘，可得，從而是常數(shù)。設，則。上式兩邊對求微商，可得。上式兩邊點乘，可得，即    。16證明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。017、證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么曲線是直線或平面曲線。證：根據(jù)已知，若是常向量，則k=0 ，這時曲線是直線。否則在兩邊微分得·=，即k·=,所以·=，又因，所以，而為單位向量，所以可知為常向量，于是，即，此曲線為平面曲線。18、證明過原點平行于圓

31、柱螺線=a，a，bt的副法線的直線軌跡是錐面.證= -a,a,b ,  =-a,- a,0 ，×=為副法線的方向向量，過原點平行于副法線的直線的方程是 ，消去參數(shù)t得。19、證明：若曲面是（非平面）極小曲面，則該曲面有二族互相正交的漸近曲線。證：因為是極小曲面，所以，為非平面，即有 則K<0,所以極小曲面上的點是雙曲點。必有兩族漸近曲線。設兩族漸近曲線主方向的交角為，則由歐拉公式有=           兩族漸近曲線正交20、 證明一條曲線

32、的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線證 設曲線與在對應點有公共的切線，且的表達式為： ，則：，其切向量為k應與平行，所以k，從而曲線為直線。同理曲線為直線，而且是與重合的直線。所以作為非直線的兩條不同的曲線不可能有公共的切線。  21、設非直線曲線和另一條曲線之間建立的一一對應，使得在對應點，曲線的切線是的主法線，證明是平面曲線。 解：設曲線：（s為弧長參數(shù)）則為      兩邊對s求導有     （1）