導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院本科畢業(yè)論文 學(xué)號： 0801174066導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級班別： 08級1班姓 名： 李松陽指導(dǎo)教師： 高福根2012年05月導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要 導(dǎo)數(shù)具有豐富多彩的性質(zhì)和特性，利用導(dǎo)數(shù)研究或處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題，既可以加深對導(dǎo)數(shù)的理解，又可以為解決函數(shù)問題提供了有利的方法，使得函數(shù)問題得到簡化,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的極值和最值問題,不等式問題,還可以與解析幾何相聯(lián)系,可以用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性。因此導(dǎo)數(shù)是分析和解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的有效工具。本文就導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)

2、行了探討。闡述了利用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等問題的基本方法，以及導(dǎo)數(shù)為解決某些不等式的證明、方程求解和數(shù)列求和提供了捷徑。同時導(dǎo)數(shù)知識在研究曲線的切線方面和解決實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù);函數(shù);切線;不等式;恒等式;數(shù)列;方程 Derivative and its application in middle school mathematicsAbstractThis article focuses on the use of derivatives of the basic knowledge and theory, to solve the middle schoo

3、l mathematics in the function monotone, the function of the value, function and other functions of the image problem, and introduced a derivative of the inequality, identify, the series, and analytic geometry. The application of practical problems. Involved in the text of the main methods of compari

4、son, analysis and synthesis method.Keywords derivative; function; tangent; inequality; identity; series; equation 前 言導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿函數(shù)思想. 導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶,它的引入為解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率等等的有力工具1，14-16。本文就導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,談一點(diǎn)個人的感悟和體會。 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理問題不需

5、要很高的思維能力，突出了通法，淡化了技巧。下面分類例析導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用。 利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性態(tài)是一種重要手段。在分析函數(shù)的圖象、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的最值等方面，利用導(dǎo)數(shù)可使復(fù)雜問題簡單化、程序化。 分析函數(shù)的圖象yox【例1】設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是oxyoxyoxyoxy A. B. C. D. 解：當(dāng)時，函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，.時，函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)先增后減再增，圖象是D。1.2 求參數(shù)的值【例2】函數(shù)過曲線上的點(diǎn)p（1, ）的切線方程為，若函數(shù)在區(qū)間2，上單調(diào)遞增，求b的取值范圍2。解： 由求導(dǎo)可得過上p（1, ）的切線方程為

6、：即，而過上p（1, ）的切線方程為。故有3+2+b=3 即 又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒有，即在上恒成立。（1） 當(dāng)時，所以；（2） 當(dāng)時， ， 所以； （3） 當(dāng)時，則；綜合上述討論可知，所求參數(shù)b的取值范圍是：1.3 判斷函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡便而且快捷，對于基本初等函數(shù)的單調(diào)性，大家都 比較熟悉，易找到它的單調(diào)區(qū)間。當(dāng)我們所討論的函數(shù)是特殊基本初等函數(shù)(反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、冪函數(shù)等)

7、時，一般情況可利用它們定義域上的單調(diào)性來求解；但對于較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性，必須利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)論來進(jìn)行分析與判定這是一種復(fù)雜而又容易出錯的運(yùn)算，而借有導(dǎo)函數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性會更簡明3。單調(diào)性，并循“同增異減”的法則來獲得，若為比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)時，利 用導(dǎo)數(shù)可化難為易，輕松求解。 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式>0和<04； 確定的單調(diào)區(qū)間時，若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。 【例3】確定函數(shù)在哪個區(qū)間是增函數(shù)，在哪個區(qū)間是減函數(shù)。分析 ：對函數(shù)求導(dǎo)，求不等式>0和<0的解，則>

8、0的解為單調(diào)增區(qū)間，<0的解為單調(diào)減區(qū)間 。解：令>0，得<1或>1，所以的單調(diào)增區(qū)間為和令<0，得-1<<1所以的單調(diào)減區(qū)間為【例4】設(shè)=恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解：=，若0, >0，對xR恒成立，此時只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾。 若<0，=,此時恰有三個單調(diào)區(qū)間。 令=0得=,=<0且單調(diào)減區(qū)間為（-，）和（，+），單調(diào)增區(qū)間為（-，）。 評注：函數(shù)的駐點(diǎn)(導(dǎo)函數(shù)值等于0的點(diǎn)）和不可導(dǎo)的點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）可能為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，分界點(diǎn)的確定取決于點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號。1.4 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究有關(guān)方程的根

9、的問題 利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合根的存在定理及函數(shù)的單調(diào)性，能巧妙地解決有關(guān)方程的根的諸多問題?！纠?】若，則方程在上有多少根？解：設(shè)，則當(dāng)且時，故在上單調(diào)遞減，而在與處都連續(xù)，且，故 在上只有一個根。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值解答這類問題的方法是：（1）根據(jù)求導(dǎo)法則對函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)；（2）令導(dǎo)數(shù)等于0,解出= 0的所有實(shí)數(shù)根；（3）對每個實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個根（如）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)的符號如何變化，如果的符號由正變負(fù)，則是極大值；如果的符號由負(fù)變正，則是極小值。（4）求出極值?！纠?】求 的極值。解：令= x(x2) = 0.解方程，得。如圖1.5所示。 x02+0-0+ 由圖可知為極大值；為極小值。注意：

10、如果0的根的左右側(cè)符號不變，則不是極值5。思考題：求 在-1，3內(nèi)的最大值和最小值。 最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，它涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)知識的各個方面，處理此類問題往往需要較高的思維能力和技能，而用導(dǎo)數(shù)處理這類問題使得解題過程程序化、簡單化。用求導(dǎo)方法求函數(shù)的最值問題，是簡化用初等方法求最值的最佳手段，因?yàn)殚]區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，這樣問題就化成求函數(shù)的極值點(diǎn)和各端點(diǎn)處的函數(shù)值問題.求值域、最值的方法很多,主要有：定義法、換元法、配方法、判別式法、不等式法、反函數(shù)法、三角代換法、數(shù)形結(jié)合法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法等等6。導(dǎo)數(shù)法通常是利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

11、性來求得，一般來說，此法往往是較簡捷的.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求在上的最大（?。┲档牟襟E如下：（1）求出的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）比較的大小，最大的就是在上的最大值，最小的為在上的最小值。在實(shí)際問題中，通常遇到的函數(shù)大多是某區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)的連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)，因而實(shí)際問題中求出函數(shù)的極大值、極小值就是最大值或最小值。實(shí)際上我們可以不必再花時間去判別。【例8】求函數(shù)=在閉區(qū)間的最大值和最小值。 解：=, 令=0， 則=-1，=1。 則, ， 又 max=2, min=-18。 【例9】如圖1.6所示，在二次函數(shù)=的圖象與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值。 解：設(shè)點(diǎn)

12、B的坐標(biāo)為(,0)且0<<2, =圖象的對稱軸為, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,0), |BC|=, |BA|=。矩形面積為=令=0，解得， 0<<2, 取。 極值點(diǎn)只有一個，當(dāng)時，矩形面積的最大值為。在實(shí)際應(yīng)用中，常會遇到求“效益最高”、“用料最省”、“容積最大”、“成本最低”等最優(yōu)化問題。這類問題在中學(xué)數(shù)學(xué)上就是求最大值與最小值問題。,試求: （1）所圍土地是矩形,其寬各為多少時面積最大? （2）所圍土地是圓形,其面積是否比矩形面積大? 解：(1)設(shè)矩形的長為 x,寬為y,周長為面積為S ,則 令解得唯一駐點(diǎn)=.0<< ,>0,故=為極大值點(diǎn),所以.即犁溝圍成

13、的矩形土地是正方形時面積最大,最大面積為。 (2)設(shè)圓形土地面積為,半徑為,則因?yàn)?故圓形土地面積比矩形的面積更大.2 導(dǎo)數(shù)在不等式證明問題中的應(yīng)用 解不等式和不等式的證明，是中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)常面臨的問題，有時我們常遇到的一些不等式，看似很簡單，但卻無從下手，難以真正找到切入點(diǎn)，利用常用的方法進(jìn)行嘗試，都很難奏效，這時如果變換一下思維角度，我們可以先用導(dǎo)數(shù)的方法證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去證明不等式，這就是利用單調(diào)性證明不等式的思想。從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造一個新的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使問題迎刃而解7常用的不等式的證明方法有換元法、分析法

14、、綜合法、歸納法等基本方法，但對于某些含有對數(shù)或指數(shù)的超越不等式運(yùn)用上述方法卻無所適從，若采用導(dǎo)數(shù)方法證明這些不等式，則會柳暗花明，取得理想的效果，證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為0（0）再通過求的最值,實(shí)現(xiàn)對不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性、普適性. 用單調(diào)性證明不等式的步驟： (1)構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù); (2)確定函數(shù)自變量所在的區(qū)間; (3)求區(qū)間上的單調(diào)性; (4)由單調(diào)性得到不等式8。 【例11】若x >-1,試證明：9。 證明：先證.（1） 即證 ， 因?yàn)?，?/p>

15、以只需證明 構(gòu)造函數(shù)， （1）式轉(zhuǎn)化為在上恒成立。由于當(dāng)時； 當(dāng)=0時，；當(dāng)>0時，；故為在上的最大值故有，即 同理可證 綜上原不等式得證。評注：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種熱點(diǎn)題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。利用求導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式的思路是：首先要根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義，完成所要證明的不等式10。3 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用 【例12】求數(shù)列 1，2x，.的前n 項(xiàng)和（，1）11。 分析：這道題可以用錯位相減法求和，但若用導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)算會使問題更加簡明。解：當(dāng)，1時， ，兩邊都關(guān)于求導(dǎo)得 【例13】當(dāng) 時，求數(shù)列 ，.的

16、前項(xiàng)和11。 解：兩邊同時求導(dǎo) 得：令，得：4 導(dǎo)數(shù)在解析幾何問題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析、處理有關(guān)切線的問題。 求切線方程，并用切線方程解決問題解題要點(diǎn)： （1）在曲線上取一作切點(diǎn)(用一個變量表示點(diǎn)的坐標(biāo))； （2）切線斜率的兩個來源(兩點(diǎn)式和求導(dǎo))12。 【例14】已知曲線=，過點(diǎn)（1，-3）作其切線，求切線方程。 分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。 解：=， 當(dāng)時=- 3， 即所求切線的斜率為-3. 故所求切線的方程為， 即為：.評注：函數(shù)y=在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=在點(diǎn)P（，y=）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=在點(diǎn)P（，）處

17、的切線的斜率是 ，相應(yīng)的切線方程為-=。5 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用5.1 容器制造問題 【例15】某工廠準(zhǔn)備從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為的正方形，然后折成一個無蓋的長方體容器，要求長方體的高度與底面正方形的比不超過正常數(shù)t，如圖所示。求為多少時，容器容積V有最大值13。 解：由已知正方形的邊長為，高為， 則 所以， 令，則，或（舍去） 圖 若，則如圖討論如下： + 0 - 由圖知當(dāng)時 V取最大值 若 ，即時， ， 所以 V在 上是增函數(shù)。 所以當(dāng)時，取得最大值。 綜上知：當(dāng) 且時，容積V取得最大值。 當(dāng) 且時，容積V取得最大值。 5.2 成本利用問題 【例17】某輪船航行過程

18、中燃料費(fèi)與速度的立方成正比，已知速度為10千米/小時時，燃料費(fèi)10元/小時，其他與速度無關(guān)的費(fèi)用每小時180元，問輪船的速度是多少時，每千米航程成本最低？ 分析：本題建模的關(guān)鍵是根據(jù)題中的比例關(guān)系和數(shù)據(jù)求出比例常數(shù)，從而確定航行1千米所需總費(fèi)用的數(shù)字模型，最后利用導(dǎo)數(shù)求極值。解：依題設(shè)比例關(guān)系可知 （k為比例常數(shù)）由， 有：所以，航行1小時費(fèi)用為：（元），而航行每千米所需時間是小時，所以航行1千米的費(fèi)用為：求C關(guān)于的導(dǎo)數(shù)有：令，解得當(dāng)時， 當(dāng)時， 所以當(dāng)時，c有極小值，且方程在內(nèi)只有一根，故此極小值即為最小值，即千米/小時時，每千米航程成本最低。6 有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合題 【例25】描繪函數(shù)的圖形.

19、 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?（2）函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性. （3）令，即，解得，表明曲線與軸交于和. （4）,令，得. （5），.圖 （6）如圖討論如下：x-2(-2,0)0-0+無-3極小值不存在 作出函數(shù)的圖像（如圖） 通過以上各例可知，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用涉及到很多內(nèi)容，因此在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容時，不僅要掌握導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，還要學(xué)會導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值、曲線的切線等問題上的應(yīng)用。同時，導(dǎo)數(shù)是我們研究中學(xué)數(shù)學(xué)的一個有力工具，它使各個章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系的更加緊密，有助于我們對中學(xué)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)。充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，不僅能揭示題目的本質(zhì)及內(nèi)涵，使解題更容易操作，獲得淡化復(fù)

20、雜問題的技巧和功效，還能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、體會解題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、開闊視野、豐富解題方法、挖掘潛能，提高學(xué)生的解題能力?？傊瑢?dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題時使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值以及切線問題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中，要加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語言和工具，進(jìn)一步加深對函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識。參考文獻(xiàn)1普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北京師范大學(xué)出版社),2003.2郭金芝.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用J.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)教研版),2006,(2):38-40. 3周國球.運(yùn)用

21、導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)注意幾個方面J.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2006,(1):24-25.4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M（上冊，第三版）.北京：高等教育出版社,2001,(6）：87-103.5王淑茂，吳永清.例談導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的幾個誤區(qū)J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2006,(1):35-36.6孫立群，郭衛(wèi)東.例析導(dǎo)數(shù)在高次函數(shù)中的應(yīng)用J.中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2003,(8):36-38.7葉道義應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式J.安徽技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報,2003,(4):338-340.8尚肖飛，賈計榮.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的若于方法J.太原教育學(xué)院學(xué)報，2002,(2)：3537.9肖志向.例說導(dǎo)數(shù)法證明不等式J.中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2006,(2):38-39.10高等數(shù)學(xué)編寫組,蘇州大學(xué)出版社M.蘇州:蘇州大學(xué)出版社,2003.11秦學(xué)鋒.微積分在數(shù)列求和中的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)通報,2001,(2