平面解析幾何初步一輪復(fù)習(xí)有答案

1、第1課時(shí) 直線的方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1傾斜角:對(duì)于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角叫做直線的傾斜角當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為0°傾斜角的范圍為_斜率:當(dāng)直線的傾斜角90°時(shí)，該直線的斜率即ktan；當(dāng)直線的傾斜角等于90°時(shí)，直線的斜率不存在2過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式若x1x2，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式截距式一般式典型例題例1.已知直線(2m2m3)x(m2m)y4m1當(dāng)m時(shí)，

2、直線的傾斜角為45°當(dāng)m時(shí)，直線在x軸上的截距為1當(dāng)m時(shí)，直線在y軸上的截距為當(dāng)m時(shí)，直線與x軸平行當(dāng)m時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)解：(1) 1 2或或2 變式訓(xùn)練1.（1）直線3yx2=0的傾斜角是（）A30° B60° C120° D150°（2）設(shè)直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3)是直線上的三點(diǎn)，則x2，y3依次是（）A3，4 B2，3 C4，3 D4，3（3）直線l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，l1的斜率是，則l2的斜率是（）A B C D（4）直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1，2），（3，4），則該直線的方程是解：（1）D提示：直線的斜

3、率即傾斜角的正切值是（2）C提示：用斜率計(jì)算公式（3）A提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)（4）2y3x1=0提示：用直線方程的兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式例2.已知三點(diǎn)A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上.證明方法一A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=2,kBC=2，kAB=kBC，A、B、C三點(diǎn)共線.方法二A（1，-1），B（3，3），C（4，5），|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點(diǎn)共線.方法三A（1，-1），B（3，3），C（4，5），=（2，4），=（1，2），=2.又與有公共點(diǎn)B，A、B、C三點(diǎn)

4、共線.變式訓(xùn)練2.設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明A、B、C三點(diǎn)共線，kAB=kAC，化簡(jiǎn)得a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.例3. 已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2 (-1x1).試求：的最大值與最小值.解：由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（-2，-3）與曲線段AB上任一點(diǎn)（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值為8，最小

5、值為.變式訓(xùn)練3.若實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（）A. B.C. D.答案D例4.已知定點(diǎn)P(6, 4)與直線l1:y4x，過(guò)點(diǎn)P的直線l與l1交于第一象限的Q點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M求使OQM面積最小的直線l的方程解：Q點(diǎn)在l1: y4x上，可設(shè)Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：令y0，得：x(x0>1)， M(，0) SOQM··4x010·10·(x01)240當(dāng)且僅當(dāng)x01即x02取等號(hào)，Q(2，8)PQ的方程為：，xy100變式訓(xùn)練4.直線l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸y軸的正半軸于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

6、(1)當(dāng)AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程解：設(shè)l：y1k(x2)(k0)則A(2，0)，B(0，12k)由S(12k)(2)(44k)4當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時(shí)等號(hào)成立AOB的面積最小值為4此時(shí)l的方程是x2y40|MA|·|MB|24當(dāng)且僅當(dāng)k即k1時(shí)等號(hào)成立此時(shí)l的方程為xy30（本題也可以先設(shè)截距式方程求解）小結(jié)歸納1直線方程是表述直線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式，由斜率公式可導(dǎo)出直線方程的五種形式這五種形式各有特點(diǎn)又相互聯(lián)系，解題時(shí)具體選取哪一種形式，要根據(jù)直線的特點(diǎn)而定2待定系數(shù)法是解析幾何中常用的思想方法之一，用此方法求直線方程，

7、要注意所設(shè)方程的適用范圍如：點(diǎn)斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中橫縱截距存在且不為0，兩點(diǎn)式的橫縱坐標(biāo)不能相同等（變形后除處）3在解析幾何中,設(shè)點(diǎn)而不求,往往是簡(jiǎn)化計(jì)算量的一個(gè)重要方法.4在運(yùn)用待定數(shù)法設(shè)出直線的斜率時(shí)，就是一種默認(rèn)斜率存在，若有不存在的情況時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)解題漏洞，此時(shí)就要補(bǔ)救：較好的方法是看圖，數(shù)形結(jié)合來(lái)找差距.第2課時(shí) 直線與直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)（一）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種_1當(dāng)直線不平行坐標(biāo)軸時(shí)，直線與直線的位置關(guān)系可根據(jù)下表判定直線條件關(guān)系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行重合相交(垂直)2當(dāng)直線平行于坐

8、標(biāo)軸時(shí)，可結(jié)合圖形判定其位置關(guān)系（二）點(diǎn)到直線的距離、直線與直線的距離1P(x0，y0)到直線AxByC0 的距離為_2直線l1l2，且其方程分別為：l1：AxByC10 l2：AxByC20，則l1與l2的距離為（三）兩條直線的交角公式若直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，則1直線l1到l2的角滿足2直線l1與l2所成的角(簡(jiǎn)稱夾角)滿足（四）兩條直線的交點(diǎn)：兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)（五）五種常用的直線系方程.過(guò)兩直線l1和l2交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含l2).與直線ykxb平行的直線系方程為ykxm (mb).

9、過(guò)定點(diǎn)(x0, y0)的直線系方程為yy0k(xx0)及xx0.與AxByC0平行的直線系方程設(shè)為AxBym0 (mC).與AxByC0垂直的直線系方程設(shè)為BxAyC10 (AB0).典型例題例1.已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；（2）l1l2時(shí)，求a的值.解（1）方法一當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí)，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時(shí)，兩直線可化為l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時(shí)，

10、l1l2，否則l1與l2不平行. 方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-1×60, l1l2a=-1, 故當(dāng)a=-1時(shí)，l1l2，否則l1與l2不平行.（2）方法一當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不成立.當(dāng)a1時(shí)，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由·=-1a=. 方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.變式訓(xùn)練1.若直線l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，直線l1與l2分別相交？平行？垂

11、直？重合？解：當(dāng)a=0時(shí)，直線l1斜率為0，l2斜率不存在，兩直線顯然垂直。當(dāng)a0時(shí)，分別將兩直線均化為斜截式方程為：l1：y= x+5，l2：y= x+ 。（1）當(dāng) ，即a±2時(shí)，兩直線相交。（2）當(dāng) = 且5 時(shí)，即a=2且b10或a= 2且b10時(shí)，兩直線平行。（3）由于方程()()= 1無(wú)解，故僅當(dāng)a=0時(shí)，兩直線垂直。（4）當(dāng) =且5= 時(shí)，即a=2且b=10或a= 2且b=10時(shí)，兩直線重合例2.已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線l1：x2y0與l2：3x4y100的交點(diǎn)，且與直線l3：5x2y30的夾角為，求直線l的方程解：由解得l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，因?yàn)橹本€l3的斜率

12、為k3，l與l3的夾角為，所以直線l的斜率存在. 設(shè)所求直線l的方程為y1k(x2)則tan1k或k，故所求直線l的方程為y1(x2)或y1(x2)即7x3y110或3x7y130變式訓(xùn)練2.某人在一山坡P處觀看對(duì)面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為,tan=.試問(wèn)，此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角BPC最大（不計(jì)此人的身高）？解如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=

13、.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則P（x, ）(x200).由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得tanBPC= (x200).要使tanBPC達(dá)到最大，只需x+-288達(dá)到最小，由均值不等式x+-2882-288,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)上式取得等號(hào).故當(dāng)x=320時(shí)，tanBPC最大.這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為y=60.由此實(shí)際問(wèn)題知0BPC,所以tanBPC最大時(shí)，BPC最大.故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角BPC最大.例3. 直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A(4，2)、B(3，1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷ABC的形狀解：因?yàn)橹?/p>

14、線y2x是ABC中C的平分線，所以CA、CB所在直線關(guān)于y2x對(duì)稱，而A(4, 2)關(guān)于直線y2x對(duì)稱點(diǎn)A1必在CB邊所在直線上設(shè)A1(x1，y1)則得即A1(4, 2)由A1(4, 2)，B(3, 1)求得CB邊所在直線的方程為：3xy100又由解得C(2, 4)又可求得：kBC3，kACkBC·kAC1，即ABC是直角三角形變式訓(xùn)練3.三條直線l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：aR且a±1，a-2（提示：因三條直線能構(gòu)成三角形，故三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，即任意兩條直線都不平行且三線不共點(diǎn)。（1）若

15、l1、l2、l3相交于同一點(diǎn)，則l1與l2的交點(diǎn)（-a-1，1）在直線l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此時(shí)a=1或a= -2。（2）若l1l2，則-1 = - ，a=1。（3）若l1l3，則-1 = - a，a=1。（4）若l2l3，則- = -a，a= ±1。）例4.設(shè)點(diǎn)A(3，5)和B(2，15)，在直線l：3x4y40上找一點(diǎn)p，使為最小，并求出這個(gè)最小值解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(a，b)，則由AA´l和AA´被l平分，則解之得a3，b3，A´(3，3)(|PA|PB|)min|A´B|5kA´B

16、18A´B的方程為y318(x3)解方程組得P(，3)變式訓(xùn)練4：已知過(guò)點(diǎn)A（1，1）且斜率為m(m>0)的直線l與x、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)P、Q作直線2xy0的垂線，垂足分別為R、S，求四邊形PRSQ的面積的最小值解：設(shè)l的方程為y1m(x1)，則P（1，0），Q（0，1m）從則直線PR：x2y0；直線QS：x2y2(m1)0 又PRQS | RS |又| PR |，| QS |而四邊形PRSQ為直角梯形， SPRSQ×()×(m)2(2)2四邊形PRSQ的面積的最小值為小結(jié)歸納1處理兩直線位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意其滿足的條件如兩直線垂直時(shí)，有兩

17、直線斜率都存在和斜率為O與斜率不存在的兩種直線垂直2注意數(shù)形結(jié)合，依據(jù)條件畫出圖形，充分利用平面圖形的性質(zhì)和圖形的直觀性，有助于問(wèn)題的解決3利用直線系方程可少走彎路，使一些問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解法4解決對(duì)稱問(wèn)題中，若是成中心點(diǎn)對(duì)稱的，關(guān)鍵是運(yùn)用中點(diǎn)公式，而對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)，其關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，如例4基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第3課時(shí) 線性規(guī)劃1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線，不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域(半平面)

18、包括邊界線對(duì)于直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x、y)使得AxByC的值符號(hào)相同因此，如果直線AxByC0一側(cè)的點(diǎn)使AxByC>0，另一側(cè)的點(diǎn)就使AxByC<0，所以判定不等式AxByC>0(或AxByC<0)所表示的平面區(qū)域時(shí)，只要在直線AxByC0的一側(cè)任意取一點(diǎn)(x0，y0)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，不等式就表示該點(diǎn)所在一側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個(gè)點(diǎn)所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域由幾個(gè)不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分2線性規(guī)劃基本概念名稱意義線性約束條件由x、y的一次不等式(或方程)組成的不

19、等式組,是對(duì)x、y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的解析式如：z2xy，zx2y2等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的一次解析式可行解滿足線性約束條件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解組成的集合叫做可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：設(shè)出所求的未知數(shù)；列出約束條件(即不等式組)；建立目標(biāo)函數(shù)；作出可行域和目標(biāo)函數(shù)的等值線；運(yùn)用圖解法即平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線，求出最優(yōu)解（有些實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意其整解性）典型例題例1.若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，寫出ABC區(qū)域

20、（含邊界）表示的二元一次不等式組解：由兩點(diǎn)式得AB、BC、CA直線的方程并化簡(jiǎn)得AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy50結(jié)合區(qū)域圖易得不等式組為變式訓(xùn)練1：ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(2，4)、B(1，2)、C(1，0)，則ABC的內(nèi)部(含邊界)可用二元一次不等式組表示為ACyxB例2.已知x、y滿足約束條件分別求： z2xy z4x3y zx2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐標(biāo)系中作出表示不等式組的公共區(qū)域如圖陰影部分其中A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)(1) 作與直線2xy0平行的直線l1：2xyt，則當(dāng)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，t取最大，l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，t取最小zmax9 zmin

21、13(2) 作與直線4x3y0平行的直線l2：4x3yt，則當(dāng)l2過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t最小，l2過(guò)點(diǎn)B時(shí)，t最大zmax14 zmin18(3) 由zx2y2，則表示點(diǎn)(x，y)到(0，0)的距離，結(jié)合不等式組表示的區(qū)域知點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大，當(dāng)(x，y)為原點(diǎn)時(shí)距離為0zmax37 zmin0變式訓(xùn)練2：給出平面區(qū)域如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)taxy，(1) 若在區(qū)域上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)可使目標(biāo)函數(shù)t取得最小值，求此時(shí)a的值(2) 若當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)，目標(biāo)函數(shù)t取得最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？x0A(1,0)C( , )B(0,1)y解：(1)由taxy得yaxt要使t取得最小時(shí)的(x，y)有無(wú)窮多個(gè)

22、，則yaxt與AC重合akAC(2)由KAC < a< KBC 得< a<.例3. 某木器廠生產(chǎn)圓桌子和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種72立方米，第二種有56立方米，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌需用第一種木料立方米，第二種木料立方米，可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)衣柜需用第一種木料立方米，第二種立方米，可獲利10元，木器廠在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜應(yīng)各生產(chǎn)多少才能使所獲利潤(rùn)最多？解：設(shè)圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別為x、y，所獲利潤(rùn)為z，則：xy(0,800)M(350,100)(0,200)O即則z6x10y作出可行域如圖由得即M(350，100)由圖可知，

23、當(dāng)直線l：6x10y0平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(350，100)時(shí)，z6x10y最大，即當(dāng)x350，y100時(shí)，z6x10y最大變式訓(xùn)練3：某廠要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45個(gè)，乙種產(chǎn)品55個(gè)，可用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2和3m2，用A種可造甲種產(chǎn)品3個(gè)和乙種產(chǎn)品5個(gè)，用B種可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個(gè)問(wèn)A、B兩種產(chǎn)品各取多少塊可保證完成任務(wù)，且使總的用料(面積)最小解：設(shè)A種取x塊，B種取y塊，總用料為z m2，則AxylO515 z2x3y (x、yN)可行域如圖：最優(yōu)解為A(5，5)，x5，y5時(shí)，zmin25，即A、B兩種各取5塊時(shí)可保證完成任務(wù)，且總的用料(面積)最省為25m2例4.

24、預(yù)算用2000元購(gòu)買單價(jià)為50元桌子和20元的椅子，希望桌子的總數(shù)盡可能的多，但解：椅子的總數(shù)不能少于桌子的總數(shù)，但不多于桌子數(shù)的倍，問(wèn)桌椅各買多少才合適？設(shè)桌椅分別買x、y張，由題意得：由解得：點(diǎn)A(，)由解得點(diǎn)B(25，)滿足以上不等式組表示的區(qū)域是以A、B、O為頂點(diǎn)的AOB及內(nèi)部設(shè)xyz，即yxz；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，即x25，y，z最大 yz，y37買桌子25張，椅子37張是最優(yōu)選擇變式訓(xùn)練4：A1、A2兩煤礦分別有煤8萬(wàn)噸和18萬(wàn)噸，需通過(guò)外運(yùn)能力分別為20萬(wàn)噸和16萬(wàn)噸的B1、B2兩車站外運(yùn)，用汽車將煤運(yùn)到車站，A1的煤運(yùn)到B1、B2的運(yùn)費(fèi)分別為3元/噸和5元/噸，A2的煤運(yùn)到B1、B

25、2的運(yùn)費(fèi)分別為7元/噸和8元/噸，問(wèn)如何設(shè)計(jì)調(diào)運(yùn)方案可使總運(yùn)費(fèi)最少？xyA(8, 12)l1O102018解：設(shè)A1運(yùn)到B1 x萬(wàn)噸，A2運(yùn)到B1 y萬(wàn)噸，總運(yùn)費(fèi)為z萬(wàn)元，則A1運(yùn)到B2(8x)萬(wàn)噸，A2運(yùn)到B2(18y)萬(wàn)噸，z3x5(8x)7y8(18y) 1842xy，x、y滿足可行域如圖陰影部分當(dāng)x8時(shí)，y12時(shí)，zmin156即A1的8萬(wàn)噸煤全運(yùn)到B1，A2運(yùn)到12萬(wàn)噸運(yùn)到B1，剩余6萬(wàn)噸運(yùn)到B2，這時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少為156萬(wàn)元小結(jié)歸納1二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域：直線確定邊界；特殊點(diǎn)確定區(qū)域2線性規(guī)劃實(shí)際上是“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是一種求最值的方法3把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)

26、化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是本節(jié)的重難點(diǎn)，求解關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解而在考慮約束條件時(shí)，除數(shù)學(xué)概念的條件約束外，還要深入其境、考慮實(shí)際意義的約束4解線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。但最優(yōu)點(diǎn)不易辨別時(shí)，要逐一檢查基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第4課時(shí) 曲線與方程、1直接法求軌跡的一般步驟：建系設(shè)標(biāo)，列式表標(biāo)，化簡(jiǎn)作答（除雜）2求曲線軌跡方程，常用的方法有：直接法、定義法、代入法（相關(guān)點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法）、參數(shù)法、交軌法等典型例題例1.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P（2，4）作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的

27、軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,M是線段AB的中點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x,0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.變式訓(xùn)練1：已知兩點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|+ ·=0，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.解由題意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,|+·=0，·+（x-2）·4+y·0=0，兩邊平方，化簡(jiǎn)得y2=-8x.例2.在AB

28、C中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B,C且滿足條件sinC-sinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是（）A.=1 (y0)B.=1 (x0)C.=1（y0）的左支D.=1（y0)的右支答案D變式訓(xùn)練2：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因?yàn)閨MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離

29、之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為x2-=1 (x-1).例3. 如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為（x1，y1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則在RtABP中，|AR|=|PR|，又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理有RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）

30、.即-4x1-10=0.因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.這就是Q點(diǎn)的軌跡方程.變式訓(xùn)練3：設(shè)F（1，0），M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且=2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程.解設(shè)M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），即,=(x0,-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)·（1，-y0）=0,x0+=0.小結(jié)歸納-x+=0,即y2=4x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2=4x.1直接法求軌跡方程關(guān)鍵在于利用已知條件，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系

31、，這個(gè)等量關(guān)系有的可直接利用已知條件，有的需要轉(zhuǎn)化后才能用2回歸定義是解決圓錐曲線軌跡問(wèn)題的有效途徑3所求動(dòng)點(diǎn)依賴于已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，常用代入法求軌跡第5課時(shí) 圓的方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_2圓的一般方程x2y2DxEyF0(其中D2E24F>0)，圓心為，半徑r3二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的方程的充要條件是4圓C：(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為_x2y2r2的參數(shù)方程為_5過(guò)兩圓的公共點(diǎn)的圓系方程：設(shè)C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，則經(jīng)過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為典型例題例1.根據(jù)

32、下列條件，求圓的方程(1) 經(jīng)過(guò)A(6，5)，B(0，1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線3x10y90上(2) 經(jīng)過(guò)P(2，4)，Q(3，1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6解：(1)AB的中垂線方程為3x2y150由解得圓心為C(7，3)，半徑r故所求圓的方程為(x7)2(y3)265(2)設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得令y0得x2DxF0由弦長(zhǎng)|x1x2|6得D24F36 解可得D2，E4，F(xiàn)8或D6，E8，F(xiàn)0故所求圓的方程為x2y22x4y80或x2y26x8y0變式訓(xùn)練1：求過(guò)點(diǎn)A（2，3），B（2，5），且圓心在直線x2y3=0上的圓的方程由A（2，3），B（2，

33、5），得直線AB的斜率為kAB= = ,線段AB的中點(diǎn)為（0，4），線段AB的中垂線方程為y4=2x,即y2x4=0,解方程組得圓心為（1，2），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑r=所求圓的方程為（x1)2(y2)2=10例2.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿足條件：y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.

34、x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此時(shí)0,圓心坐標(biāo)為,半徑r=.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，O1MPQ，.O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.(3-2)2+5=m=3.半徑為,圓心為.方法三設(shè)過(guò)P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，點(diǎn)O（0，0）在圓上.m-3=0，即m=3.圓的方程可化

35、為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.圓心M，又圓在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.圓心為，半徑為.變式訓(xùn)練2：已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程.（1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不論m取什么實(shí)數(shù)，它恒過(guò)兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點(diǎn).兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,點(diǎn)（3，1

36、）在圓內(nèi)部，不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交.（2）解從（1）的結(jié)論和直線l過(guò)定點(diǎn)M（3，1）且與過(guò)此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí)，l被圓所截的弦長(zhǎng)|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=此時(shí)，kt=-,從而kt=-=2.l的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3. 知點(diǎn)P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn).（1）求P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.（

37、2）設(shè)t=x-2y, 則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn).1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）設(shè)k=，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)，1.k,kmax=，kmin=.變式訓(xùn)練3：已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.（2）x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由

38、平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.例4.設(shè)圓滿足：截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31在滿足條件的所有圓中，求圓心到直線l：x2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點(diǎn)P到x軸y軸的距離分別為b、a。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對(duì)的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為r，故r2=2b2又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有r2=a21,從而得2b2=a21點(diǎn)P到直線x2y=0的距離為

39、d=,5d2=(a2b)2=a24b24ab= 2a22b24ab1=2(ab)211當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，5d2=1, d取得最小值由a=b及2b2=a21得，進(jìn)而得r2=2所求圓的方程為（x1)2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a2b= ±da2=4b2±4bd5d2,將a2=2b21代入整理得2b2±4bd5d21=0 （）把（）看成關(guān)于b的二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，故0即8（5d21)0, 5d21可見5d2有最小值1，從而d有最小值，將其代入（）式得2b2±4b2=0, b= ±1, r2

40、=2b2=2, a2=2b21=1, a= ±1由a2b=1知a、b同號(hào)故所求圓的方程為（x1)2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2變式訓(xùn)練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O24，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點(diǎn))，使得PMPN，試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程O1O2NMPOxy22O1O2NMP解：以O(shè)1、O2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O1(2, 0)、O2(2, 0)如圖：由PMPN得PM22PN2 PO1212(PO221)，設(shè)P(x，y) (x2)2y212(x2)2y21即(x6)2

41、y233為所求點(diǎn)P的軌跡方程小結(jié)歸納1本節(jié)主要復(fù)習(xí)了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個(gè)獨(dú)立條件，才能確定一個(gè)圓的方程2求圓的方程時(shí)一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，可先由已知條件求出圓的半徑，用標(biāo)準(zhǔn)方程求解；若條件涉及過(guò)幾點(diǎn)，往往可考慮用一般方程；若所求的圓過(guò)兩已知圓的交點(diǎn)，則一般用圓系方程3求圓方程時(shí),若能運(yùn)用幾何性質(zhì),如垂徑定理等往往能簡(jiǎn)化計(jì)算4運(yùn)用圓的參數(shù)方程求距離的最值往往較方便5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程或點(diǎn)與圓心之間的距離與半徑的大小比較來(lái)確定.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第6課時(shí) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的

42、判別式為，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切dr0相交相離2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r(Rr)，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下條件：外離d > Rr外切相交內(nèi)切內(nèi)含3. 圓的切線方程圓x2y2r2上一點(diǎn)p(x0, y0)處的切線方程為l: .圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)p(x0, y0)處的切線方程為l :.圓x2y2DxEyF0上一點(diǎn)p(x0, y0)處的切線方程為.典型例題P2P1P(4，2)xyO例1.過(guò)：x2y22外一點(diǎn)P(4，2)向圓引切線求過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程若切點(diǎn)為P1、P2求過(guò)切點(diǎn)P1、P2的直線方程解：(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)P

43、(4，2)的切線方程為y2k(x4)即kxy+24k0 則d解得k1或k切線方程為：xy20或x7y100(2) 設(shè)切點(diǎn)1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫成l1: x1xy1y2，l2：x2xy2y因?yàn)辄c(diǎn)(4，2)在l1和l2上則有4 x12y12 4x22y22這表明兩點(diǎn)都在直線4x2y2上，由于兩點(diǎn)只能確定一條直線，故直線2 xy10即為所求變式訓(xùn)練1：（1）已知點(diǎn)P(1，2)和圓C：，過(guò)P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是( )A.kR.k. D.（2）設(shè)集合A=（x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x1)2(y1)2r2(r0),當(dāng)AB=B時(shí)，r的取值范圍是（）A（0，1） B（0，1 C（0，2 D（0，（3）若實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x-2)