山東省自學考試線性代數(shù)經管類

1、（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設D=M0，則D1= ( B )A.2MMC.6MM2.設 A、B、C為同階方陣，若由AB = AC必能推出 B = C，則A應滿足( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.設A，B均為n階方陣，則( A )A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2AB=O時，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二階矩陣A，|A

2、|=1，則A-1= ( B ) A. B. C. D.5.設兩個向量組與，則下列說法正確的是( B )A.若兩向量組等價，則s = t .B.若兩向量組等價，則r()= r() C.若s = t，則兩向量組等價.D.若r()=r()，則兩向量組等價.6.向量組線性相關的充分必要條件是( C )A.中至少有一個零向量B.中至少有兩個向量對應分量成比例C.中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.可由線性表示7.設向量組有兩個極大無關組與，則下列成立的是( C ) A. r與s未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s > mAx = b與其導出組Ax = o，下列命

3、題正確的是( D )A. Ax = o有解時，Ax = b必有解.B. Ax = o有無窮多解時，Ax = b有無窮多解.C. Ax = b無解時，Ax = o也無解.D. Ax = b有惟一解時，Ax = o只有零解.9.設方程組有非零解，則k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1D. 110.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是( D )A. |A|>0 B.存在n階方陣C使A=CTCC.負慣性指標為零 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.四階行列式D中第3列元素依次為 -1，2，

4、0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D= -1512.若方陣A滿足A2= A，且AE，則|A|=0.13.若A為3階方陣，且 ，則|2A|= 414.設矩陣的秩為2，則t = -315.設向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)=016.設n元齊次線性方程組Ax= o，r(A)= r < n，則基礎解系含有解向量的個數(shù)為n-r個.17.設(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標為(1,1,2).18.設A為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則A2的特征值為1,1,4 .的矩陣A=.A與B=相似，則A的特征值為1,2,

5、3 .三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.解：=.22.解矩陣方程：. 解：令B=.因為.由23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示.所以，24. a取何值時，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示）.解：對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當a=5時，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：，令，得原方程組的一個特解：與導出組同解的方程組為：令得到導

6、出組的基礎解系：，所以，方程組的全部解為：25.已知,求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對角化，若能，求可逆矩陣P，使P 1AP =（對角形矩陣）解：矩陣A的特征多項式為：,所以，A的特征值為：對于，求齊次線性方程組，得基礎解系:,從而矩陣A的對應于特征值的全部特征向量為:對于，求齊次線性方程組的基礎解系,得基礎解系:,從而矩陣A的對應于特征值的全部特征向量為:因為三階矩陣A有三個線性無關的特征向量所以，A相似于對角矩陣，且26.用配方法將下列二次型化為標準形： 解： = = =令得二次型的標準形為：四、證明題（本大題共6分）27.設向量，證明向量組是R3空間中的一個基.證：因為所以所以向量

7、組線性代數(shù)（經管類）綜合試題二（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.若三階行列式=0, 則k = (C ).A1 B0 C-1 D-22.設A、B為n階方陣,則成立的充要條件是 ( D ).AA可逆BB可逆C|A|=|B|DAB=BA3.設A是n階可逆矩陣,A*是A的伴隨矩陣, 則 ( A ).A BC D4.矩陣的秩為2，則 =( B ).A2 B1 C0 D5.設3×4矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關的

8、解向量，則方程組的基礎解系為 (D ).ABCD6.向量線性相關,則( C ).Ak =-4Bk = 4Ck =-3Dk = 3 7.設u1, u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個解, 若是其導出組Ax=o的解, 則有 ( B ).Ac1+c2 =1Bc1= c2Cc1+ c2 = 0Dc1= 2c2 8.設A為n(n2)階方陣，且A2=E，則必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩陣等于EDA的特征值均為19.設三階矩陣A的特征值為2, 1, 1， 則A-1的特征值為( D ).A1, 2B2, 1, 1C, 1D, 1, 110.二次型是 ( A ).A正定的 B半正定

9、的 C負定的 D不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.=_5_12.設A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=_32_13.設A=,B=, 則ATB=_14.設A=,則A-1=_表示為向量組的線性組合式為_16.如果方程組有非零解, 則k=_-1_17.設向量與正交，則a=_2_18.已知實對稱矩陣A=,寫出矩陣A對應的二次型_19.已知矩陣A與對角矩陣=相似，則A2=_E_的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為_三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）的值.原式=A=，B=，求矩陣A-1

10、B .所以，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.解：對矩陣A施行初等變換：當時，矩陣的秩當當?shù)闹群鸵粋€極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示.解：將所給列向量構成矩陣A，然后實施初等行變換：所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關組為：且有25. 求線性方程組的基礎解系，并用基礎解系表示其通解.解：對方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為:令方程組的通解為：26. 已知矩陣，求正交矩陣P和對角矩陣，使P-1AP=.解：矩陣A的特征多項式為：得矩陣A的所有特征值為：對于求方程組的基礎解系.，得基礎解系為將此線性無關的特征向量正交化，得：.因為

11、將其單位化，得： 則P是正交矩陣，且四、證明題（本大題共6分）27.設向量組線性無關，證明：向量組也線性無關.證：令整理得：因為線性無關，所以故 .線性代數(shù)（經管類）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.當( D )成立時，階行列式的值為零.A.行列式主對角線上的元素全為零B.行列式中有個元素等于零C.行列式至少有一個階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結論必然成立的是 ( B

12、 ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=EA，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBT D. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( B ). A. B. C. D.是4維向量組，則( D ).B.至少有兩個向量成比例有一個向量能由其余向量線性表示可由其余向量線性表示A為m×n矩陣，且m<n，則齊次線性方程組Ax = o必 ( C ). A.無解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能確定4元線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3，又是Ax=b的兩個解,

13、則Ax=b的通解是( D ). A. B.C. D.8.如果矩陣A與B滿足( D )，則矩陣A與B相似. A.有相同的行列式B.有相同的特征多項式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且這些特征值各不相同9.設A是n階實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是 ( D ).A. |A|>0 B. A的每一個元素都大于零C.D. A的正慣性指數(shù)為nA，B為同階方陣，且r(A) = r(B)，則 ( C ). A. A與B相似 B. A與B合同C. A與B等價 D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式24.1

14、2.設A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|=6.AX=B，其中A=，B=，則X=.14.已知向量組的秩為2，則k =-2.的長度=.在基下的坐標為(3,-4,3).是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎解系，則矩陣A的秩r(A)=1.18.設是三階矩陣A的特征值，則a =1.19.若是正定二次型，則滿足.A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|=360.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：（1）（2）因為22.已知向量組求：(1)向量組的秩；(

15、2) 向量組的一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示.解：(1)將所給向量按列構成矩陣A，然后實施初等行變換：所以，向量組的秩（2）向量組的一個極大無關組為：，且有.23. 討論a為何值時，線性方程組有解？當方程組有解時，求出方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣實施初等行變換：若方程組有解，則，從而當時，原方程組的通解方程組為：令.導出組的同解方程組為：令分別取得導出組的基礎解系：所以，方程組的通解為：24. 已知向量組，討論該向量組的線性相關性.解：因為25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應的對角

16、形矩陣. 解：矩陣A的特征多項式為：,所以，A的特征值為：對于， 求齊次線性方程組的基礎解系，,從而矩陣A的對應于特征值對于，求齊次線性方程組因為三階矩陣A只有兩個線性無關的特征向量，所以，A不能相似于對角矩陣.26.設二次型(1)將二次型化為標準形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).解：(1)利用配方法，將二次型化為標準形： 令得二次型的標準形為：（2）四、證明題（本大題共6分）27. 已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求證：由 從而所以A可逆,且線性代數(shù)（經管類）綜合試題四（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是

17、符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.三階行列式，則a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 A，B均為n階非零方陣，下列選項正確的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1C. 若AB= O, 則A=O或B=O D. |AB| = |A| |B| 3.設A，B，AB-BA= ( ).A. B. C.D. 4.設矩陣的秩為2，則 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意實數(shù) D.以上都不對5.設向量，則( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0,

18、 5, 4) D.(1, 0, 5, -6)6.向量組線性相關,則( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.設u1,u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax = b的解，則 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 m×n矩陣A的秩r(A) = n-3(n>3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關的解向量，則方程組Ax=o的基礎解系為( ).A. B. C. D.9.設三階矩陣A的特征值為1，1，2，則2A+E的特征值為( ). A. 3

19、，5 B. 1，1，2 D. 3，3，5 10.n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是 ( ). A.n階矩陣P，使得A=PTP二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. 12.設A為三階方陣，且|A|=2，A*是其伴隨矩陣，則|2A*| =.13.設矩陣A，則=.14.設，則內積=.15.若向量不能由線性表示，且r()=2，則r(,)=.16.設線性方程組有解，則t = .的基礎解系含有解向量的個數(shù)是.A與B相似，A的特征值為-1，2，則|B|=.19.設二次型的矩陣,則二次型.20.用正交變換將二次型化為標準形為，則矩陣A

20、的最小特征值為.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算n階行列式.22.解矩陣方程：.23.驗證是R3的一個基，并求向量在此基下的坐標.24.設向量組線性無關，令，試確定向量組的線性相關性.25.求線性方程組的基礎解系，并表示其通解.26.求矩陣的特征值和全部特征向量.四、證明題（本大題共6分）是三維向量組，證明：線性無關的充分必要條件是任一三維向量都可由它線性表示.線性代數(shù)（經管類）綜合試題五（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無

21、分。1.行列式,則k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -12.設A，B，C均為n階非零方陣，下列選項正確的是 ( ).AB=AC，則B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 3.設A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要條件是( ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA4.若，則初等矩陣P= ( ).A. B. C. D. 5.設向量,則 ( ).A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8) 6.下列結論正確的是 ( ). k1, k2, ,km, 使得成立，則向量組線性相關.k1 = k2 =km=0時，則向量組線性無關.線性相關，則線性相關.線性無關，則線性無關.7. 設u1,u2