導(dǎo)數(shù)中分類討論三種常見類型

1、高中數(shù)學(xué)中，分類討論思想是解決含有參數(shù)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要途徑，而所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的研究對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究處理時(shí)，對(duì)研究對(duì)象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類的對(duì)象進(jìn)行分別的研究并得出結(jié)論，最后綜合各類的研究結(jié)果對(duì)問題進(jìn)行整體的解釋.幾乎所有的高中生都對(duì)分類討論思想有所了解，而能正確運(yùn)用分類討論思想解決問題的不到一半，不能運(yùn)用分類討論思想解決具體問題的主要原因是對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題不知道該不該去分類以及如何進(jìn)行合理的分類，下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)中3種比較常見的分類討論類型談?wù)剬?dǎo)數(shù)中如何把握對(duì)參數(shù)的分類討論.1.導(dǎo)函數(shù)根的大小比較實(shí)例1：求函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間.分析：對(duì)于三次或三次以上的函數(shù)

2、求單調(diào)區(qū)間，基本上都是用求導(dǎo)法，所以對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)，觀察可知導(dǎo)函數(shù)可以因式分解為，由此可知方程有兩個(gè)實(shí)根，由于的范圍未知，要討論函數(shù)的單調(diào)性，需要討論兩個(gè)根的大小，所以這里分，三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下：-1+0_0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下：-1+0_0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單

3、調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.點(diǎn)評(píng)：這道題之所以要分情況討論，是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)兩個(gè)根的大小不確定，而兩根的大小又會(huì)影響到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而由于，所以要分，三種情況，這里注意不能漏了的情況.2.導(dǎo)函數(shù)的根的存在性討論實(shí)例2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析：這道題跟實(shí)例1一樣，可以用求導(dǎo)法討論單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)，觀察可以發(fā)現(xiàn)，該導(dǎo)函數(shù)無(wú)法因式分解，故無(wú)法確定方程是否有實(shí)根，因此首先得考慮一下方程是否有解，所以我們可以求出根判別式，若即，方程沒有實(shí)根，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若即，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若即，則方程有兩個(gè)不同

4、實(shí)根，由求根公式可解得，顯然此時(shí)，隨的變化情況如下：+0_0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為點(diǎn)評(píng)：實(shí)例2和實(shí)例1都是求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但是兩道題分類討論的情況不一樣，實(shí)例2主要是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程根的情況未知，所以需要討論根的存在性問題，而實(shí)例1是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程可以因式分解，所以可以確定方程的根肯定是存在的，因此不用再討論，而需要討論的是求出來(lái)兩個(gè)根的大小關(guān)系，實(shí)例2則相反，實(shí)例2在方程有兩個(gè)不同實(shí)根的情況下求出來(lái)的兩根大小已知，所以不用再討論。通過(guò)這兩道實(shí)例可以知道，在分情況討論

5、的時(shí)候弄清楚討論的必要性是很重要的，不能以偏概全。實(shí)例3：已知函數(shù)，函數(shù)，若時(shí)，的最小值是3，求實(shí)數(shù)的值.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）分析：由題意可以求得，且函數(shù)的定義域?yàn)椋阎氖呛瘮?shù)在上的最小值是3，而函數(shù)最值的討論通常是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ)，所以可以先考慮函數(shù)在上的單調(diào)性，因此對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)?，所以令解得，則，隨的變化情況如下：_0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增這是在上的單調(diào)性，而要討論其在上的單調(diào)性，這里涉及到跟的大小，也即是是在給定區(qū)間內(nèi)還是在區(qū)間外的問題，可以知道，題目中并沒有條件可以讓我們確定 跟的大小關(guān)系，所以這里需要分情況討論：若即，則在上單調(diào)遞減，令，解得（舍去）若即，則在上

6、單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，解得，滿足條件.綜上所述，所求實(shí)數(shù)的值為.點(diǎn)評(píng)：這道題實(shí)質(zhì)上就是討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，在這道例題中，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實(shí)根，所以可以確定原函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，而要討論其在區(qū)間的單調(diào)性，則涉及到跟的大小關(guān)系，也就是確定導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)跟給定區(qū)間的關(guān)系.這道題中如果把的范圍改為，問題就稍微復(fù)雜一點(diǎn)，首先得考慮導(dǎo)函數(shù)根是否存在，可以發(fā)現(xiàn)，如果，則不存在導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；而如果，則導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實(shí)根，其中又包含了兩種情況：和，如果，那么，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；至于的情況，討論如實(shí)例3. 分類討論思想是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，簡(jiǎn)化所要研

7、究的對(duì)象，它是解決問題的一種邏輯方法，也是鍛煉人思維模式的方法，但在分類討論時(shí)要明確討論的對(duì)象以及按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，做到不重復(fù)、不遺漏.導(dǎo)數(shù)中的分類討論在歷年高考中也是經(jīng)常出現(xiàn)，主要是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值中應(yīng)用比較多.導(dǎo)數(shù)問題中分類討論的方法摘要：近年，高考解答題對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的考察幾乎都會(huì)涉及到對(duì)某個(gè)參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個(gè)，一是看不懂題意，二是不會(huì)分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且是高考的難點(diǎn)。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問題，通過(guò)分類討論考查推理的嚴(yán)

8、謹(jǐn)性和分析問題解決問題的能力。本人在幾年的教學(xué)生涯中，對(duì)這類問題作了一定的探討，并總結(jié)出了導(dǎo)數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間，極值，分類，最值，取值范圍為了更好的解決導(dǎo)數(shù)中分類討論的問題，筆者建議按照下列步驟來(lái)解決導(dǎo)數(shù)解答題（1） 求導(dǎo)（2） 令=0（3） 求出=0的根（4） 作出導(dǎo)數(shù)的圖像或等價(jià)于導(dǎo)數(shù)的圖像（一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（5） 由圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過(guò)程中涉及到的分類討論一般有：方程=0的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時(shí)開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點(diǎn)的大小的討論

9、） 下面筆者結(jié)合若干例題對(duì)上述的分類討論方法作一一闡述例1：若函數(shù)（a0），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令=0，即：（注意這里方程的類型需要討論）作出的圖像，由圖像可知在（0,2）上為減函數(shù)，在（2，+）上為增函數(shù)若由，得<0,>0作出的圖像，由圖像可知在綜上所述：，在（0,2）上為減函數(shù)，在（2，+）上為增函數(shù)在例2：(08全國(guó)高考)已知函數(shù)f(x)x3ax2x1，aR，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：令（注意這里根的存在需要討論）若，即，則若由得，,上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)綜上所述：時(shí)， 上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)例3.（2010北京） 已知函數(shù)()=In(1+)-+ (0)。求()的單

10、調(diào)區(qū)間。解：令=0，即：（這里需要對(duì)方程的類型討論）若k=0，則在（-1,0）上為增函數(shù)，在（0，+）上為減函數(shù)若k0,由得，（這里需要對(duì)兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論）若k=1，則，在（-1,）上為增函數(shù)若，則在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)若，則在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)綜上所述：若k=0，在（-1,0）上為增函數(shù)，在（0，+）上為減函數(shù)若，在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)若k=1，在（-1,）上為增函數(shù)若，在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)例4.（2009北京理改編）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：令，即（這里需要對(duì)方程的類型討論）若，則，在上為增函數(shù)若k0則由得，(這里需要對(duì)的斜率討論)若k>0則在上為減

11、函數(shù)，在上為增函數(shù) 若k<0，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù) 綜上所述：若k=0，在上為增函數(shù)若k>0則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù) 若k<0，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)例5：（海南2011四校聯(lián)考）若對(duì)任意的范圍解：令（對(duì)方程類型的討論）若p=0,則若p0,由得（對(duì)兩根的大小，定義域的端點(diǎn)、給定區(qū)間的端點(diǎn)大小的討論）若,符合題意若，不符合題意若，符合題意若，符合題意若，符合題意若，不符合題意若，不符合題意若，不符合題意綜上所述：p的取值范圍為下面筆者就海南2010年高考的壓軸題來(lái)說(shuō)明本人提出的解題步驟和討論方法具有一定的實(shí)用價(jià)值，當(dāng)然解答的過(guò)程可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)，處于定性的范圍，不足之處，望全體同仁多多指