專題八立體幾何第二十三講空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系答案

1、專題八 立體幾何第二十三講 空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系答案部分1A【解析】記該正方體為，正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，即共點的三條棱，與平面所成的角都相等，如圖，連接，因為三棱錐是正三棱錐，所以，與平面所成的角都相等，分別取，的中點，連接，易得，六點共面，平面與平面平行，且截正方體所得截面的面積最大，又，所以該正六邊形的面積為，所以截此正方體所得截面面積的最大值為，故選A2C【解析】解法一 如圖，補上一相同的長方體，連接，易知，則為異面直線與所成角因為在長方體中，所以，在中，由余弦定理，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C解法二 以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸

2、建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可知，所以，則由向量夾角公式，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C3A【解析】若，由線面平行的判定定理知若，不一定推出，直線與可能異面，故“”是“”的充分不必要條件故選A4D【解析】由題意知四棱錐為正四棱錐，如圖，連接，記，連接，則平面，取的中點，連接，易得，則，易知因為，所以也為與平面所成的角，即與平面所成的角，再根據(jù)最小角定理知，所以，故選D5C【解析】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為,，選C6B【解析】設(shè)為三角形中心，底面如圖2，過作，由題意可知，圖1 圖2由圖2所示，以為原點建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則直線的方程為，直線的方程為，

3、直線的方程為，根據(jù)點到直線的距離公式，知，因為，為銳角，所以選B7A【解析】因為過點的平面與平面平行，平面平面，所以，又平面，所以，則與所成的角為所求角，所以，所成角的正弦值為，選A8B【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以“”是“”的必要而不充分條件，故選B9B【解析】解法一 設(shè)，則由題意知在空間圖形中，連結(jié)，設(shè)=在中，過作，過作，垂足分別為過作，使四邊形為平行四邊形，則，連結(jié)，則就是二面角的平面角，所以在中，同理，故顯然平面，故在中，在中，=，所以，所以（當(dāng)時取等號），因為，而在上為遞減函數(shù)，所以，故選B解法二 若，則當(dāng)時，排除D；當(dāng)時，排除A、C，故選B10D【解析】利用

4、正方體模型可以看出，與的位置關(guān)系不確定選D11C【解析】選項中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選12B【解析】對于選項A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C，若，則或，C錯誤；對于選項D，若，則或或與相交，D錯誤故選B13D【解析】作，垂足為，設(shè)，則，由余弦定理，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為14B【解析】直線與平面所成的角為的取值范圍是，由于， 所以的取值范圍是15D【解析】作正方形模型，為后平面，為左側(cè)面 可知D正確16D【解析】A中可能平行、垂直、也可能為異面；B中還可能為異面；C中 應(yīng)與中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立，選D17B【解析】利用排除法可

5、得選項B是正確的，則如選項A：，時，或；選項C：若，或；選項D：若, ，或18B【解析】過點作，若存在某個位置，使得，則面，從而有，計算可得與不垂直，則A不正確；當(dāng)翻折到時，因為，所以面，從而可得；若，因為，所以面，從而可得，而，所以這樣的位置不存在，故C不正確；同理，D也不正確，故選B19D【解析】對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的某些直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其余選項易知均是正確的20D【解析】D 兩平行直線的平行投影不一定重合，故A錯；由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可知、均錯誤，故選D21【解析】如圖所示，設(shè)在底面的射影為，

6、連接，的面積為，與底面所成的角為，底面周長，圓錐的側(cè)面積為22【解析】對于命題，可運用長方體舉反例證明其錯誤：如圖，不妨設(shè)為直線，為直線,所在的平面為所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立命題正確，證明如下：設(shè)過直線的某平面與平面相交于直線，則，由，有，從知結(jié)論正確由平面與平面平行的定義知命題正確由平行的傳遞性及線面角的定義知命題正確23【解析】如圖連接，取的中點，連接，則則異面直線，所成的角為，由題意可知，又，則24【解析】為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為令，即 25【解析】如圖為底面圓的內(nèi)接正方形，設(shè)，則，即側(cè)面均為等邊三角形，底面，假設(shè)，由題意，當(dāng)直線與成60角

7、時，由圖可知與成60角，所以錯，正確；假設(shè)，可知正確，錯所以正確為26【證明】(1)在平行六面體中，因為平面，平面，所以平面(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形又因為，所以四邊形為菱形，因此又因為，所以又因為=，平面，平面，所以平面因為平面，所以平面平面27【解析】(1)由，得，所以故由，得，由，得，由，得，所以，故因此平面(2)如圖，過點作，交直線于點，連結(jié)由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角由，得，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是方法二 (1)如圖，以的中點為原點，分別以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意知各點坐標(biāo)如下：，因此，由得由得所以平面(2)設(shè)

8、直線與平面所成的角為由(1)可知，設(shè)平面的法向量由，即，可取所以因此，直線與平面所成的角的正弦值是28【解析】（）如圖，設(shè)PA中點為F，連結(jié)EF，F(xiàn)B因為E，F(xiàn)分別為PD，PA中點，所以EFAD且，又因為BCAD，所以EFBC且EF=BC，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEBF，因此CE平面PAB（）分別取BC，AD的中點為M，N連結(jié)PN交EF于點Q，連結(jié)MQ因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，在平行四邊形BCEF中，MQCE由為等腰直角三角形得PNAD由DCAD，N是AD的中點得BNAD所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么，平面PBC平面PBN過

9、點Q作PB的垂線，垂足為H，連結(jié)MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角設(shè)CD=1在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，在中，MQ=，所以，所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是29【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為，所以又因為平面，平面，所以平面（2）因為平面平面，平面平面=， 平面，所以平面因為平面，所以又，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以30【解析】（）因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，因此（）解法一：取的中點，連接，因為，所以四邊形為菱形，所以取中點，連接，則，所以為所求二面角的平面角又，

10、所以在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，故所求的角為解法二：以為坐標(biāo)原點，分別以，所在的直線為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得，故，設(shè)是平面的一個法向量由可得取，可得平面的一個法向量設(shè)是平面的一個法向量由可得取，可得平面的一個法向量所以因此所求的角為31【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點處因為，所以，從而記與水平的交點為，過作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm( 如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)（2）如圖，是正棱臺的兩底面中心由正棱臺的定義，平面 ，所以平面平面，同理，

11、平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點處過作，為垂足， 則=32因為= 14，= 62，所以= ，從而設(shè)則因為，所以在中，由正弦定理可得，解得因為，所以于是記與水面的交點為，過作，為垂足，則 平面，故=12，從而 =答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)32【解析】（）由已知可得，所以平面又平面，故平面平面（）過作，垂足為，由（）知平面以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由（）知為二面角的平面角，故，則，可得，由已知，所以平面又平面平面，故，由，可得平面，所以為二面角的平面角，從而可得所以，設(shè)是平

12、面的法向量，則，即，所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則故二面角的余弦值為33【解析】（I）證明：，四邊形為菱形，；又，又，面（）建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，34【解析】（）由已知得，取的中點，連接由為中點知， 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是因為平面，平面，所以平面（）取的中點，連結(jié)，由得，從而，且以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是35【解析】（）設(shè)，連結(jié)OF，EC，由于E為AD的中點，所以,因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點，又F為PC的中點，因此在中，可得又平面

13、，平面，所以平面（）由題意知，所以四邊形為平行四邊形，因此又平面PCD，所以，因此因為四邊形ABCE為菱形，所以又，AP，AC平面PAC，所以平面36【解析】（）為中點，DEPA平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF（）為中點，為中點，DEEF，DE平面ABCDE平面BDE，平面BDE平面ABC37【解析】（）連接BD交AC于點O，連結(jié)EO因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點又E為PD的中點，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，為單位長，建立空間直角

14、坐標(biāo)系，則設(shè)，則設(shè)為平面ACE的法向量，則即，可取又為平面DAE的法向量，由題設(shè)，即，解得因為E為PD的中點，所以三棱錐的高為三棱錐的體積38【解析】（）證明：如圖取PB中點M，連接MF，AM因為F為PC中點，故MF/BC且MF=BC由已知有BC/AD，BC=AD又由于E為AD中點，因而MF/AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF/AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF/平面PAB（）（i）證明：連接PE，BE因為PA=PD，BA=BD，而E為AD中點，故PEAD，BEAD，所以PEB為二面角P-AD-B的平面角在三角形PAD中，由，可解得PE=2在三角形ABD中

15、，由，可解得BE=1在三角形PEB中，PE=2，BE=1，由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB，又BC/AD，BEAD，從而BEBC，因此BE平面PBC又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD（ii）連接BF，由（i）知BE平面PBC所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由PB=，PA=，AB=得ABP為直角，而MB=PB=，可得AM=，故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為39【解析】（）設(shè)點O為AC，BD的交點，由ABBC，ADCD，得BD是線段AC的中垂線所以O(shè)為AC的中點，BDAC又因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，

16、所以PABD所以BD平面APC（）連結(jié)OG由(1)可知OD平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以O(shè)GD是DG與平面APC所成的角由題意得OGPA在ABC中，AC，所以O(shè)CAC在直角OCD中，OD2在直角OGD中，tanOGD所以DG與平面APC所成的角的正切值為（）連結(jié)OG因為PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG在直角PAC中，得PC所以GC從而PG，所以40【解析】（）由AB是圓O的直徑，得ACBC由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，又PAAC=A,PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC（）連OG并延長交AC與M，鏈接QM，QO 由G為AOC的重心，

17、得M為AC中點，由G為PA中點，得QM/PC又O為AB中點，得OM/BC因為QMMO=M,QM平面QMO所以QG/平面PBC41【解析】（）因為是直三棱柱，所以平面ABC,又平面,所以，又因為平面，所以平面,又AD平面ADE,所以平面ADE平面（）因為，為的中點，所以因為平面，且平面，所以又因為，平面，所以平面，所以AD又AD平面，平面，所以平面42【解析】（）平面，面又面（）是中點點到面的距離三棱錐的體積（）取的中點為，連接，又平面面面面，點是棱的中點，得：平面43【證明】：（）在PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF/PD又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF/平

18、面PCD（）連結(jié)DB，因為AB=AD，BAD=60，所以ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD44【解析】法一：（）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD因PA=PD，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF（），為二面角PADB的平面角，在在法二：（）取AD中點為G，因為又為等邊三角形，因此，從而平面PBG延長BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD以O(shè)為坐標(biāo)原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)由于得平面DEF（）取平面ABD的法向量設(shè)平面PAD的法向量由取45【解析】（）因為四邊形是正方形，所以/故為異面直線與所成的角因為平面，所以故在中，=1，=，=3,故=所以異面直線和所成角的余弦值為（）證明：過點作/,交