構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的常見方法

1、2016廣外高三理科數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) JGH 4月7日構(gòu)造函數(shù)法證明不等式一、教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性和最值來證明不等式.2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生鉆研教材，歸納求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，通過類比，化歸思想轉(zhuǎn)換命題，抓住條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式，合理構(gòu)造函數(shù).3.情感與態(tài)度：通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力（歸納與類比）與推理能力（證明），培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的決心和解題信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)：解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵

2、。難點(diǎn)：將命題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，變成熟悉的題型。三、教法學(xué)法：變式訓(xùn)練四、教學(xué)過程：（一）引入課題：1.復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：2.問題探源：（教材第32頁B組題第1題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證3.問題探究：1、直觀感知（幾何畫板演示）；（2）推理論證4高考探究：例1、(2013年北京高考）設(shè)L為曲線C：在點(diǎn)(1，0)處的切線.(I)求L的方程；(II)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線L的下方.變式練習(xí)1：若函數(shù)y=在R上可導(dǎo)且滿足不等式x>恒成立，且常數(shù)，b滿足>b，求證：>b變式練習(xí)2：證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式 都成立（類似還

3、有2012年湖北高考題第22題）變式練習(xí)3：已知m、n都是正整數(shù)，且證明：思考題5（全國(guó)卷）已知函數(shù)設(shè),證明 ：五.小結(jié)：（1）知識(shí)點(diǎn)：（2）解題步驟：（3）數(shù)學(xué)思想方法高考真題訓(xùn)練：1.【2015年新課標(biāo)文21】. （本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).證明：當(dāng)時(shí).分析：利用函數(shù)最值和不等式單調(diào)性證明.2.【15北京理科】已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，；分析：移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求證。3.【2013年陜西高考21題】已知函數(shù).設(shè), 證明：.4.【2015年新課標(biāo)】設(shè)函數(shù).若對(duì)于任意x1,，x2-1,1，都有f(x1)- f(x2)e-1，求m的取值范圍方法小結(jié)：利用絕對(duì)值的定義化歸，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性和

4、最值證明不等式.5.【2014年新課標(biāo)21 】.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)（1，處的切線為. ()求； （）證明：.方法小結(jié)：不等式轉(zhuǎn)化為6.【2013年新課標(biāo)】已知函數(shù)，當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)>0方法小結(jié)：分類討論，充分利用第一問的結(jié)論作為條件解題，超越方程利用勘根定理近似計(jì)算，利用極值證明單調(diào)性。 高考函數(shù)不等式證明答案1.解：（I）的定義域?yàn)?當(dāng)0時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又，當(dāng)b滿足0b且b時(shí)，故當(dāng)>0時(shí)存在唯一零點(diǎn). 6分（II）由（I），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，0；故在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，0.在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，. 12分2.解：（），曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（）當(dāng)時(shí)，即不等式，對(duì)成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對(duì)，成立；（）使成立，等價(jià)于，；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0