注冊電氣公共基礎(chǔ)第9講高等數(shù)學

1、（五）例題【解】 屬型， 運用羅必塔法則，得【 解 】 屬型，運用羅必塔法則，得【 解 】 屬0·型，通過變形化為，然后運用羅必塔法則，得?！?解 】 屬00型，先取對數(shù)，求：于是1 / 7【 例 1 - 2 -37 】 已知函數(shù) y = f （ x ）對一切 x 滿足xf （ x ） + 3x f ' （ x ） 2 = 1 - ，若 f ' （ x 0） = 0 （x00 ） ，則（ A ） f （ xo ）是 f （ x ）的極大值 （ B ）f（ xo ）是 f （x）的極小值 （ C ） （ xo , f （x0）是曲線y= f （ x ）的拐點 （ D ）

2、 f （x0）不是 f （ x ）的極值，（x0 , f （ xo ） ）也不是曲線 y f（ x ）的拐點【 解 】 x x 0是 f （ x ）的駐點，又 f ' ' （ x 0） => 0, 故 f （x0）是f （ x ）的極小值，應(yīng)選（ B ）。【 例 l-2-38 】 求函數(shù) y = 2 x 3 + 3 x2 - 12x + 14 在 -3 , 4 上的最大值與最小值?！窘狻?f （ x ）=2x3 + 3x2 12x +14 , f （x ） = 6x 2+6x 12 = 6 （x + 2）（ x -1）。令f （x） = 0, 得x1= -2, x 2=

3、1.算出f （ -3 ） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f （ 1 ） = 7 , f （4） = 142, 故最大值為 f （4 ） = 142 ,最小值為 f （1） = 7 。【例 l -2- 39 】 函數(shù) f （x） = asin x + sin3 x 在x = 處取得極值, a 的值應(yīng)為（ A ）-2 （ B ） 2 （ C ） （ D ） - .【解】 按可導函數(shù)取得極值的必要條件： f（ x 0）= acosxo + cos3x0 = 0 ,代人 x0 = ，便得a = 2 ，故選（ B ）?！纠?1 -2 - 40】 若 f （x）在（ a , b ）內(nèi)滿足

4、f '（ x ） < 0 , f " （ x ） > 0 ，則曲線 y = f （x）在（ a , b ）內(nèi)是 （ A ）單調(diào)上升且是凹的 （ B ）單調(diào)下降且是凹的 （ C ）單調(diào)上升且是凹的 （ D ）單調(diào)下降且是凸的 【 解 】 由 f ' （x ）0及函數(shù)單調(diào)性的判定法， 知曲線是單調(diào)下降的。又由 f " （x） > 0 及曲線凹凸性的判定法，知曲線是凹的，故選（ B ）。六、偏導數(shù)全微分（一）偏導數(shù)與全微分 1 偏導數(shù)概念函數(shù)z = f（ x,y ）對 x、y ,的偏導數(shù)依次記作（或 fx（ x ,y ） ， （或 fy , （

5、x, y ） ） ，它們的定義如下：類似地，可以定義三元函數(shù) f （ x , y , z ）的偏導數(shù)fx（x， y , z ）、fy（ x , y ，z）、fz（ x , y ，z）等.按定義，偏導數(shù)的求法仍屬一元函數(shù)微分法的問題。2 多元復合函數(shù)的求導法則設(shè)u = （ x ，y）、 v （ x ，y）均具有偏導數(shù)，而zf（u ， v ）具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) z f （ x ，y），（ x ，y）的偏導數(shù)存在，且上面這一求導法則，簡稱為 2 ×2 法則或標準法則。從這標準法則的公式結(jié)構(gòu)，可得它的特征如下： 由于函數(shù) z = f （ x ，y），（ x ，y）有兩個自變量，所以法

6、則中包含及的兩個偏導數(shù)公式。 由于函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)中有兩個中間變量，所以每一偏導數(shù)公式都是兩項之和，這兩項分別含有及。 每一項的構(gòu)成與一元復合函數(shù)的求導法則相類似，即“因變量對間變量的導數(shù)再乘以中間變量對自變量的導數(shù)”。由此可見，掌握多元復合函數(shù)的求導法則的關(guān)鍵是弄清函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)，哪些是中間變量，哪些是自變量。為直觀地顯示變量之間的復合結(jié)構(gòu)，可用結(jié)構(gòu)圖（或稱樹形圖） 1-2 -1 來表示出因變量 z 經(jīng)過中間變量u 、 v 再通向自變量 x 、 y 的各條途徑。按照上述標準法則的三個特征，我們可以將多元復合函數(shù)的求導法則推廣。如，特別當有一個自變量，u （x ） , v （ x ） , z = f （ u , v ）時，由于函數(shù) z = f （x ）， ） ，（ x ）只有一個自變量，偏導數(shù)變成導數(shù)（這時稱為全導數(shù)）；函數(shù)復合結(jié)構(gòu)中有兩個中間變量，所以全導數(shù)公式中是兩項之和；每項構(gòu)成與一元復合函數(shù)求導法則類似。于是，有全導數(shù)公式又如， u （x ，y）， v （y）， z = f （ u , v ） ，復合函數(shù) z =f （x ，y）, （ y） 的結(jié)構(gòu)圖如圖 1-2 - 2 所示。類似地依以上分析，則有 3 隱函數(shù)求導法則設(shè)方程 F （ x , y , z ） = 0 確定一