廣東省深圳市羅湖區(qū)望桐路七年級(jí)數(shù)學(xué)第22講一元一次不等式組與方程組的結(jié)合培優(yōu)講義(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第22講 一元一次不等式（組）與方程（組）的結(jié)合考點(diǎn)·方法·破譯1進(jìn)一步熟悉二元一次方程組的解法，以及一元二次不等式組的解法2綜合運(yùn)用一元一次不等式組和二元一次方程組解決一些典型的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)典·考題·賞析【例1】求方程3x+2717的正整數(shù)解【解法指導(dǎo)】一般地，一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，但它的特殊解是有限個(gè)，如一個(gè)二元一次方程的正整數(shù)解，非負(fù)整數(shù)解都是有限個(gè)求不定方程的正（非負(fù)）整數(shù)解時(shí)，往往借助不等式，整數(shù)的奇偶性等相關(guān)知識(shí)來(lái)幫助求解解：將方程變形為2y173x即y0 0 x即x又y為正整數(shù)（即為整數(shù)）173x為偶數(shù)x必為奇

2、數(shù)x1，3，5當(dāng)x1時(shí)，當(dāng)x3時(shí)，當(dāng)x5時(shí)， 故原方程的正整數(shù)解為 或 或【變式題組】01求下列各方程的正整數(shù)解：2x+y10(2) 3x+4y2102有10個(gè)蘋(píng)果，要分給兩個(gè)女孩和一個(gè)男孩，要求蘋(píng)果不得切開(kāi)，且兩個(gè)女孩所得的蘋(píng)果數(shù)相等，每個(gè)孩子都有蘋(píng)果吃，問(wèn)有哪幾種分法？【例2】足球聯(lián)賽得分規(guī)定如下：勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分某隊(duì)在足球聯(lián)賽的4場(chǎng)比賽中得6分，這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)，平了幾場(chǎng)，負(fù)了幾場(chǎng)？【解法指導(dǎo)】本題中，所有的等量關(guān)系只有兩個(gè)，而未知量有三個(gè)因而所列方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，即為不定方程組，但每個(gè)未知數(shù)量的數(shù)目必為非負(fù)整數(shù)因此，此題的實(shí)質(zhì)就是滶不定方程的非負(fù)整數(shù)解的

3、問(wèn)題此方程組有兩個(gè)方和，三個(gè)未知數(shù)，解法仍然是消元，即消去某一個(gè)未知數(shù)后，變?yōu)槎淮畏匠?，再仿照?的解法施行解：設(shè)該隊(duì)勝了x場(chǎng)，平了y場(chǎng) ，負(fù)了z場(chǎng)，依題意可得： 得：2xz2 變形得： z2x20z202x22即1x2又x為正整數(shù)x1，2相應(yīng)地，y3，0 z0，2 答：這個(gè)隊(duì)勝了1場(chǎng)，平了3場(chǎng)，或勝了2，負(fù)了2場(chǎng)【變式題組】01（佳木斯）為了獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)步較大的學(xué)生，某班決定購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種鋼筆作為獎(jiǎng)品，其單價(jià)分別為4元、5元、6元，購(gòu)買(mǎi)這些鋼筆需要花60元；經(jīng)過(guò)協(xié)商，每種鋼筆單價(jià)下降1元，結(jié)果只花了48元，那么可能購(gòu)買(mǎi)甲種筆（ ）A11支B9支C7支D5支02一旅游團(tuán)50人到一旅舍住宿，旅

4、舍的客戶(hù)有三人間、二人間、單人間三種其中三人間的客房每人每晚20元，二人間的客房每人每晚30元，單人間的客房每人每晚50元(1)若旅游團(tuán)共住滿(mǎn)了20間客房，問(wèn)三種客房各住了幾間？怎樣住消費(fèi)最低？(2)若該旅游團(tuán)中，夫妻住二人間，單身住三人間，小孩隨父母住在一起，現(xiàn)已知有小孩4人（每對(duì)夫妻最多只帶1個(gè)小孩），單身30人，其中男性17人，有兩名單身心臟病患者要求住單人間，問(wèn)這一行人共需多少間客房？【例3】已知：關(guān)于x、y的方程組 若xy，求a的取值范圍【解法指導(dǎo)】解本題的指導(dǎo)思想就是構(gòu)建以a為未知數(shù)的不等式解之即得a的取值范圍，構(gòu)建不等式的依據(jù)就是xy，而解方程組即可用a的代數(shù)式分別表示x和y，進(jìn)

5、而可得不等式解：解方程組 得 xy 2a1a2 解得a3故a的取值范圍是a3 【變式題組】01已知：關(guān)于x的方程3x(2a3) 5x(3a6)的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是_02已知：關(guān)于x、y的方程組 的解為非負(fù)數(shù)(1)求a的取值范圍；(2)化簡(jiǎn)4a+5a403當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程的解大于1？4已知方程組 的解x、y都是正數(shù)，且x的值小于y的值，求m的取值范圍 【例4】（涼州）若不等式的解集是1x1，求（a+b）2017的值 【解法指導(dǎo)】解此不等式組得a+2x，而依題意，該不等式的解集又是1x1，而解集是唯一的，因此兩解集的邊界點(diǎn)分別“吻合”，從而得兩等式即得方程組，解之可得a、b之值

6、解：解不等式組得a+2x 又此不等式組的解集是1x1 解設(shè)（a+b）2017（1）20171 【變式題組】01若 的解集為1x2，則a_，b_02已知：關(guān)于x的不等式組的解集為3x5，則的值為（） A2BC4D 03若關(guān)于x的不等式組的解集為x2，則a的取值范圍是_ 04已知：不等式組 的解庥為1x2，求（a+b）2008的值 【例5】（永春）商場(chǎng)正在銷(xiāo)售“福娃”玩具和徽章兩種奧運(yùn)商品，已知購(gòu)買(mǎi)1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；購(gòu)買(mǎi)2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格各是多少元？(2)某公司準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)這兩種奧運(yùn)商品共20盒送給幼兒園（要求每種商品都要

7、購(gòu)買(mǎi)），且購(gòu)買(mǎi)金額不能超過(guò)450元，請(qǐng)你幫該公司設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案【解法指導(dǎo)】本題屬材料選擇類(lèi)的方程與不等式結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用題，但方程組與不等式組是分開(kāi)的分析可知：第(1)問(wèn)只需依照題目主干所提供的兩個(gè)等量關(guān)系即可列出二元一次方程組第(2)問(wèn)由題目所給不等關(guān)系“購(gòu)買(mǎi)金額不能超過(guò)450元”及第(1)問(wèn)所求出的數(shù)據(jù)列出不等式，從而求解解：(1)設(shè)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格分別為x元和y元依題意，得 解得答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格分別是125元和10元(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)“福娃”玩具m盒，則購(gòu)買(mǎi)徽章（20m）盒 由題意，得125m+10（20m）450，解得m2.17所以m可以取1，2答：該公司有兩

8、種購(gòu)買(mǎi)方案方案一：購(gòu)買(mǎi)“福娃”玩具1盒，徽章19盒；方案二：購(gòu)買(mǎi)“福娃”玩具2盒,徽章18盆【變式題組】01(益陽(yáng))開(kāi)學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品,小芳用18元錢(qián)買(mǎi)了1支鋼筆和3本筆記本;小亮用31元買(mǎi)了同樣的鋼筆2支和筆記本5本(1)求每支鋼筆和每本筆記本的價(jià)格；(2)校運(yùn)會(huì)后，班主任拿出200元學(xué)校獎(jiǎng)勵(lì)基金交給班長(zhǎng)，購(gòu)買(mǎi)上述價(jià)格的鋼筆和筆記本共48件作為獎(jiǎng)品， 獎(jiǎng)給校運(yùn)會(huì)中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購(gòu)買(mǎi)方案？請(qǐng)你一一寫(xiě)出02 (眉山)漁場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種魚(yú)苗共6000尾，甲種魚(yú)苗每尾0.5元，乙種魚(yú)苗每尾0.8元相關(guān)資料表明：甲、乙兩種魚(yú)苗的成活率分別

9、為90%和95%若購(gòu)買(mǎi)這批魚(yú)苗共用了 2600元，求甲、乙兩種魚(yú)苗各購(gòu)買(mǎi)了多少尾？若購(gòu)買(mǎi)這批魚(yú)苗的錢(qián)不超過(guò)4200元，應(yīng)如何選購(gòu)魚(yú)苗？若要使這批魚(yú)苗的成活率不低于93%，且購(gòu)買(mǎi)魚(yú)苗的總費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購(gòu)魚(yú)苗？03（鹽城）整頓藥品市場(chǎng)，降低藥品價(jià)格是國(guó)家的惠民政策之一根據(jù)國(guó)家的藥品政府定價(jià)辦法，某省有關(guān)部門(mén)規(guī)定：市場(chǎng)流通藥品的零售價(jià)格不得超過(guò)進(jìn)價(jià)的15%根據(jù)相關(guān)信息解決下列問(wèn)題：降價(jià)前，甲乙兩種藥品每盒的出廠價(jià)格之和為6.6元經(jīng)過(guò)若干中間環(huán)節(jié)，甲種藥品每盒的零售價(jià)格比出廠價(jià)格的5倍少2.2元，乙種藥品每盒的零售價(jià)格是出廠價(jià)格的6倍，兩種藥品每盒的零售價(jià)格之和為33.8元那么降價(jià)前甲、乙兩種藥品

10、每盒的零售價(jià)格分別是多少元？降價(jià)后，某藥品經(jīng)銷(xiāo)商將上述的甲、乙兩種藥品分別以每盒8元和5元的價(jià)格銷(xiāo)售給醫(yī)院，醫(yī)院根據(jù)實(shí) 際情況決定：對(duì)甲種藥品每盒加價(jià)15%對(duì)、乙種藥品每盒加價(jià)10%后零售給患者實(shí)際進(jìn)藥時(shí)，這兩種藥品均以每10盒為1箱進(jìn)行包裝近期該醫(yī)院準(zhǔn)備從經(jīng)銷(xiāo)商處購(gòu)進(jìn)甲乙兩種藥品共100箱，其中乙種藥品不少于40箱，銷(xiāo)售這批藥品的總利潤(rùn)不低于900元請(qǐng)問(wèn)購(gòu)進(jìn)時(shí)有哪幾種搭配方案？【例6】認(rèn)真閱讀下面三個(gè)人的對(duì)話小朋友：阿姨，我買(mǎi)一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢(qián)入）售貨員：本來(lái)你用10元錢(qián)買(mǎi)一盒餅干是多余的，但再買(mǎi)一袋牛奶就不夠了不過(guò)今天是兒童節(jié)，我給你買(mǎi)的餅干打九折，兩樣?xùn)|西請(qǐng)拿好，還有找你的

11、8角錢(qián)旁邊者：一盒餅干的標(biāo)價(jià)可是整數(shù)哦！根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少？【解法指導(dǎo)】本題的條件蘊(yùn)藏在對(duì)話中，應(yīng)學(xué)會(huì)從對(duì)話中獲取信息，“用10元錢(qián)買(mǎi)一盒餅干是多余的”， 說(shuō)明一盒餅干的售價(jià)小于10元，此不等關(guān)系之一；“但再買(mǎi)一袋牛奶就不夠了 ”，說(shuō)明一盒餅干和一袋牛奶的價(jià)格之和大于10元，此不等關(guān)系之二對(duì)話中還包含有一個(gè)等量關(guān)系，就是用10元錢(qián)買(mǎi)上述兩樣?xùn)|西剩余0.8 元錢(qián)，即是說(shuō)一袋牛奶與一盒餅干的價(jià)格之和等于10元減去0.8元，由一個(gè)方程和兩個(gè)不等式結(jié)合最終可求出答案解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋元.根據(jù)題意，得由，得y9.29x將其代入，得x+9.29x10，解

12、得：x8所以綜合可知8x10又因?yàn)閤為整數(shù)，所以x9，y9.29x1.1即餅干的標(biāo)價(jià)為每盒9元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋1. 1元【變式題組】01某次足球聯(lián)賽A組共6隊(duì)，比賽規(guī)定采取小組循環(huán)賽的形式，取前3名進(jìn)人決賽，記分方法為勝1場(chǎng)得2 分，負(fù)1場(chǎng)扣1分，平1場(chǎng)不得分，問(wèn)該小組共需比賽幾場(chǎng)？某隊(duì)得了 7分，則它是幾勝幾負(fù)？能否進(jìn)人決賽？02(杭州)宏志高中高一年級(jí)近幾年來(lái)招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到550名，其中有面向全省招收的“宏志班” 學(xué)生，也有一般普通班學(xué)生由于場(chǎng)地、師資等條件限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學(xué)生可多招20%，“宏志班”學(xué)生可多招10%問(wèn)今年最少可招收“宏志班”學(xué)

13、生多少名？03把一些書(shū)分給幾個(gè)學(xué)生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每個(gè)學(xué)生分5本，那么最后一個(gè)同學(xué)分不到3本，這些書(shū)有多少本？學(xué)生有多少人？【例7】(北京市競(jìng)賽題)已知：a、b、c是三個(gè)非負(fù)數(shù)，并且滿(mǎn)足3a+2b+c5，2a+b3c1，設(shè)m3a+b7 c，設(shè)x為m的最大值，y為m的最小值求xy的值【解法指導(dǎo)】要求某一代數(shù)式的最大(或最小)值，往往依題意構(gòu)建一個(gè)不等式組：若smt，則m的最小值為s，最大值為t本題思路亦類(lèi)此，首先利用前兩個(gè)等式，將c看作已知量，解關(guān)于a、b的二元一次方程組，得到用含c的式子表示a、b的形式，代入第三個(gè)等式，得到用含c的式子表示m的形式，同時(shí)依據(jù)a、b、c均

14、為非負(fù)數(shù)，得到c的范圍，代入m與c的關(guān)系式，得m的范圍，因而x、y可求解：由條件得：解得： 則m3a+77c3(7c3)+ (711 c) 7 c 3 c2由a0，b0，c0得解得，c從而x，y故xy【變式題組】01若a、b 滿(mǎn)足3a+5b7，S2a23b，則 S 的取值范圍是 02已知：x、y、z是三個(gè)非負(fù)有理數(shù)，且滿(mǎn)足3 x+2 y+z5，x+yz2，若S3 x+ yz，則S的取值范圍是 演練鞏固 反饋提高一、填空題01方程3x+y 10的解有 個(gè)，其正整數(shù)解有 個(gè)02若關(guān)于x的不等式(a1)a+5和2x4的解集相同，則a的值為 03已知：關(guān)于x的不等式2xa3的解集如圖所示，則a 04已

15、知方程組，若未知數(shù)x、y滿(mǎn)足尤x+y0，則m的取值范圍是 05若方程組的解滿(mǎn)足無(wú)x1且y0，則整數(shù)k的個(gè)數(shù)是 06若1則x的取值范圍是 二、選擇題07已知：關(guān)于尤的不等式組的解為3x5，則的值為( )A2 B2 C2 D108若x+11x，3x+43x+4則x取值范圍是( )Ax1 Bx1 Cx1 Dx109已知：m、n是整數(shù)，3 m +25n+3，且3 m +230，5n+340，則mn的值是A70 B72 C77 D8410某次測(cè)驗(yàn)共20道選擇題，答對(duì)一題記5分，答錯(cuò)一題記2分，不答記0分，某同學(xué)得48分，那么他答對(duì)的題目最多是（ ）道A9 B10 C11 D12三、解答題11學(xué)校舉辦奧運(yùn)

16、知識(shí)競(jìng)賽，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)共12名，獎(jiǎng)品發(fā)放方案如下表：一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)1盒福娃和1枚徽章1盒福娃1枚徽章用于購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不少于1000元但不超過(guò)1100元，小明在購(gòu)買(mǎi)“福娃”和徽章前，了解到圖所示的信息：求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？若本次活動(dòng)設(shè)一等獎(jiǎng)2名，則二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)應(yīng)各設(shè)多少名？12（宿遷）某花農(nóng)培育甲種花木2株，乙種花木3株，共需成本1700元；培育甲種花木3株，乙種花木1 株，共需成本1500元求甲、乙兩種花木每株成本分別為多少元；據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，1株甲種花木的售價(jià)為760元，1株乙種花木的售價(jià)為540元該花農(nóng)決定在成本不超過(guò)30000元的前提下培育甲乙兩種花木，若培育乙種

17、花木的株數(shù)是甲種花木的3倍還多10株，那么要使總利潤(rùn)不少于21600元，花農(nóng)有哪幾種具體的培育方案？13項(xiàng)維修工程，若由甲工程隊(duì)單獨(dú)做，則40天可以完成，需費(fèi)用24萬(wàn)元；若由乙工程隊(duì)單獨(dú)做，則60天可以完成，需費(fèi)用21萬(wàn)元現(xiàn)打算由甲、乙兩工程隊(duì)共同完成，要使該項(xiàng)目的總費(fèi)用不超過(guò)22萬(wàn)元，則乙工程隊(duì)至少要施工多少天？14足球聯(lián)賽得分辦法是勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分在一次足球賽中，南方足球隊(duì)參加了 14場(chǎng)比賽，至少負(fù)了 1場(chǎng)，共積分19分試推算南方足球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場(chǎng)15（溫州）某工廠用如圖甲所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋紙盒.現(xiàn)有正方形

18、紙板162張，長(zhǎng)方形紙板340張若要做兩種紙盒共100個(gè)，設(shè)做豎式紙盒x個(gè)根據(jù)題意，完成以下表格：盒紙板豎式紙盒（個(gè)）橫式紙盒（個(gè)）x正方形紙板（張）2(100x)長(zhǎng)方形紙板（張）4x按兩種紙盒的生產(chǎn)個(gè)數(shù)來(lái)分，有哪幾種生產(chǎn)方案？(2)若有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完已知290a306則求a的值(寫(xiě)出一個(gè)即可)培優(yōu)升級(jí) 奧賽檢測(cè)01若方程組的解滿(mǎn)足條件0x+y1，則k的取值范圍是( )A4k1 B4k0 C0k9 Dk402（浙江省競(jìng)賽題)要使方程組的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，則a的取值范圍是( )Ak3 Ba Ca3 Da或a303已知a+b+c0，abc，則 的取值范圍是 04(新加坡競(jìng)賽題）正整數(shù)m、n滿(mǎn)足8m+9nmn+6，則m的最大值是 05（“希望杯”邀請(qǐng)賽初一試題）（中國(guó)古代問(wèn)題）唐太宗傳令點(diǎn)兵，若一千零一卒為一營(yíng)，則剩余一人；若一千零二卒為一營(yíng)，則剩余四人，此次點(diǎn)兵至少有 人06（第22屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）若正整數(shù)x、y滿(mǎn)足2004x15y，則x+y的最小值為 07（北京