一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用

1、南京理工大學碩士學位論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用姓名：張少欽申請學位級別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學指導(dǎo)教師：黃振友20100623堡主迨奎二耋塹墮絲坌簦至箜堂坌堡壟基型墼壁望堡塑查旦摘要本文主要討論的是矩陣微分算子的譜分解，其中是半直線上的極限點型的非負自伴算子假定只有連續(xù)譜的情況下，分別對的譜下界大于零和等于零的兩種情況作了討論本文將該矩陣算子酉等價于某平方可積函數(shù)空間上的乘法算子，具體構(gòu)造了這個酉等價，利用這個表示方法研究了這類微分算子生成的酉算子群在出射入射空間的作用關(guān)鍵詞：算子；極限點型；譜表示；本性自伴碩士論文，一髓；，婦；齜一咖螂。酞印一鼴，玲，：；聲明本學位論文是我

2、在導(dǎo)師的指導(dǎo)下取得的研究成果，盡我所知，在本學位論文中，除了加以標注和致謝的部分外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機構(gòu)的學位或?qū)W歷而使用過的材料。與我一同工作的同事對本學位論文做出的貢獻均已在論文中作了明確的說明。研究生簽名：毯級二。年鄉(xiāng)月衫日學位論文使用授權(quán)聲明南京理工大學有權(quán)保存本學位論文的電子和紙質(zhì)文檔，可以借閱或上網(wǎng)公布本學位論文的部分或全部內(nèi)容，可以向有關(guān)部門或機構(gòu)送交并授權(quán)其保存、借閱或上網(wǎng)公布本學位論文的部分或全部內(nèi)容。對于保密論文，按保密的有關(guān)規(guī)定和程序處理。研究生簽名：。年月眵日碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用引言算子討論

3、這種類型的算子的動力大致來自如下兩方面本姓要討黼是脅心：卜揀輒是半直線郴一散射在研究波動方程的過程當中，與發(fā)展了一套以他們名字命名的散射理論【】，和其它散射理論，】一樣，散射理論的目的也是構(gòu)造波算子、研究散射矩陣的解析性質(zhì)等，其基礎(chǔ)是他們發(fā)展起來的出射空間和入射空間的技巧稍微具體地講，的方法是用以構(gòu)建具有下面性質(zhì)的物理系統(tǒng)的散射理論：彤是一個空間，【，（），一是澎中的單參數(shù)強連續(xù)酉算子群，這個物理系統(tǒng)的演化可以由這個算子群刻畫澎中存在兩個子空間，分別稱為出射和入射空間，它們滿足下面的性質(zhì)：（）（）一，（，：（）（）一（）；（）腺（力鄉(xiāng)纊炬（）如果和一是正交的，那么：澎（一）是算子群（力的不變子

4、空間，令（力，這里是從澎到子空間的正交投影算子可以證明【】，算子族（）是上的強連續(xù)壓縮半群，將它稱為半群假設(shè)半群（）的生成元是算子曰，那么算子的譜的性質(zhì)和散射理論中的散射矩陣的解析性質(zhì)有密切的聯(lián)系，可以參看【，以及這些文獻中列出的其它資料關(guān)于散射理論的詳細內(nèi)容可以參看文獻，引言碩士論文擗：散射理論是六十年代發(fā)展起來的，爾后，的作，】又進一步發(fā)展了這一理論然而，【指出，想要將后，做了一系列的工作【，他從算子微分方程百）一朋）（）降力掰【，則可將上面的抽象算子微分方程（）化為下面的形式：罨孑一，一】以其中吲，升我們有必要對算子的譜的性質(zhì)做一些討論目前，矩陣中的算子多是全空間（）上的甜算子【，文獻】

5、簡單地討論了三維空間中的表示問題，【】處理的是有阻尼的二階常微分方程，但他們實際上都沒有給出確切的譜表示而關(guān)于算子的譜理論較維空間的砌算子要清楚，所以受虱，的啟發(fā)，本文利用近年來關(guān)于算子的譜和譜表示的理論來討論算子的譜表示利用譜表示，我們可以推導(dǎo)一些）于出射入射空間的結(jié)論，給出有關(guān)抽象理論的一些具體應(yīng)用碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用共振問題另一方面，在共振的研究中也涉及到了這種矩陣微分算子，共振的嚴格數(shù)學理論發(fā)展的時間并不是很長，但是發(fā)展很快，關(guān)于共振的詳細內(nèi)容可以參考，】，和他們列出的參考文獻，以下三方面的工作是本文討論算子的譜分解的又一動力：在文章【】中證明了在一維情

6、況下，具有快速下降的勢函數(shù)的算子（即算子）各種共振的定義是一致的這些定義最終都可以用某些邊值問題來刻畫。與。在【】證明了聊仍）的奇數(shù)維情況下，具有緊支撐勢的算子一導(dǎo)出的矩陣算子（一三】得到的半群的生成元的特征值與一，的預(yù)解式定義的共振點一致，這提供了一種將共振點和某個算子的特征值聯(lián)系起來的方法、缸等人同樣希望用半群的生成元去刻畫共振【，】，但是，一方面他們是直接利用系統(tǒng)的算子而不是轉(zhuǎn)化成矩陣（化成矩陣只是解決問題的一種可能性，至于是轉(zhuǎn)化到矩陣算子還是直接用系統(tǒng)的量臀是需要認真考慮的問題），另一方面他們利用了裝備空間的理論，但值得注意的是在【曾經(jīng)指出裝備空間的方法對共振問題是否有效也是存有疑問的

7、在上面第、點的啟發(fā)下，為了迸一步研究一維共振問題，我們有必要研究是半直線的算子的情況下矩陣微分算子的譜的性質(zhì)及其表示，并預(yù)備知識碩士論文希望在后續(xù)的工作通過研究半群的生成元而能夠得到與瞰】類似的結(jié)論，即用邊值問題去描述共振，這樣可以使實際應(yīng)用更為方便，這也是物理學家感興趣的，本文第一部分介紹文章涉及的一些基本知識，主要是稠定閉算子的性質(zhì)，以及的本性自伴性，第二部分假定是滿足（）（【，）和“）陋，），的半直線上的極限點型算子，利用極限點型算子的譜表示給出了的自伴延拓的譜表示（定理，定理），并且利用這個譜表示研究了算子微分方程導(dǎo)出的酉算子群在出射入射空間的作用（定理，定理）預(yù)備知識自伴算子譜理論這

8、節(jié)介紹有關(guān)對稱算子的一些有關(guān)性質(zhì)由于閉算子、對稱算子、自伴算子的概念在普通的泛函分析的書中都可以找到，這里就不再給出它們的定義，而是著重給出與這些算子的性質(zhì)有關(guān)的定理定理、推論見】的頁，定理見【的頁，定義和定理見【】的頁和頁的注定理設(shè)；是空間上的稠定算子剛（）為閉算子：）可閉的從要條件是（丁）稠，這對于“；（）若可閉則于推論設(shè)是稠定對稱算子，贓可閉定理設(shè)是對稱算子，則下面兩條等價；（）自伴；（）是閉算子，且（）碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用定義船是閉算子，玩為勿（）的線性子空問，若圖（丁玩）在（）中瓤的圖范數(shù)稠，則稱為的核定理圣丁是稠定閉算子，那么（丁?。┌〉囊粋€核下

9、面的定理和推論是關(guān)于對稱算子的譜的刻畫定理設(shè)為閉對稱算子，（）表昶的譜集合，那么（）只有下列情況：（）閉的上半平面；（）閉的下半平面（）全平面（）實數(shù)軸陵上的一個閉集推論設(shè)丁為閉對稱算子，貝歸自伴的充要條件是礦（?。┰谏铣Ｎ⒎炙阕幼V理論在這里就本文涉及到的常微分算子的理論作介紹，所考慮的只是和本文相關(guān)的最簡單的內(nèi)容極限點型算子考慮如下方程（力（）（曲，工，（）】證明了此類方程可以分為極限點和極限圓兩類，本文只涉及該方程的極限點的情況定義方程）有兩個線性無關(guān)序，）解，則稱其在無窮遠點為極限圓型的，否則稱其在無窮遠點為極限點型預(yù)備知識碩士論文邊界條件對方程理論是極為重要的，而微分算子的自伴性可以通

10、過邊條件刻畫，為了描述微分算子的自伴性，還需要一些其他的概念令，即坳），穢定義；：，）上生成的最大的算子?。_定義如下：勿（乃（加）杪，），廣（，），一廣弘，）（肘），（?。樱酉拗圃凇保ǎ┑玫降乃阕拥淖钚￠]延拓成為肘在乎假）上生成的最小算子，記為（）對于極限點型算子，它的自伴邊界條件有如下刻畫：定理設(shè)在無窮遠為極限點型的，是文的伴延拓，則（）（蚴）吖（）一（）自伴的極限點蠶算子的譜表示下面給出極限點型自伴孤算子的譜表示和特征展開定理假設(shè)（，是初始問題瞄），（，抑的解首先給出空間的表示定理定理？存在上的非降函黃劬，稱為譜函數(shù)，使得對任意盼，），存在，（，），使得。一。穴一：（）（，）和抑

11、。，穴加”八曲抑出即（在，（一，）意義下）碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用（稱為韻廣義沌變換）并且有惻仨，呻，咔（局哦坶縱玎等式廠（工）姒）（）一”定理（特征展開定理）若，則粵佃卜一衲吲卜。，即在口【，）的意義，葉八力穴抑伙工，）（），一有了前面這兩個定理，可以定義如下的等距變換定義對任意盼，），定義，那么是等距算子可以證明還是【，）到砰（一，）的酉算子，即下面的定理定理設(shè)硨（一，），則存在丁，），使得，粵佃忙（）（，）刪卜。目艦（）（，）出刪，即在醇（一，）的意義下，刪廠”刪厭蹦）出：穴下面給出關(guān)于極限點型自伴算子的譜的表示定理和相關(guān)推論定理鄺謝是（）的自伴延拓，勿（?。?/p>

12、（孔（膨），（）一，（）預(yù)備知識貝碩士論文（）（），稅，）且（聊（航允）；）（）§弓，）推論航棚和（抑，勿（?。┩普?，（譜分解的乘法算子形式）宦時是（）的自伴延拓，則：，）一鬈（一，），（）（是酉算子，而？與鬈（一，）上的乘法算子（），）砑，），砧，勿（）酉等價矩陣微分算子的本性自伴性設(shè)澆夕是空間，其上的內(nèi)積記為（，）第我們考慮抽象算子微分方程”玎一“，“。多纊，其中是彤上的非負自伴算子，定義域為勿（，那么的譜滿足（）【，），如果假設(shè)岳），那么在其上可以定義范數(shù)屹一（，）澎；勿（碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用記勿（在范數(shù)”毛下的完備化記為）定義新的空間（：“，掰

13、，。彩，“，纊將算子微分方程化為如下形式：筆芋一，一，】其中（蘭小料纜設(shè)的定義域勿（）（叨），直和中的第一個旺）應(yīng)當理解為的子空間，下面是關(guān)于的本性自伴性的結(jié)論定理是茲中的本性自伴算子，記吼西砜先證明是稅中的可閉對稱算子對任意的啷縱咧，（：，（：（：，（：一，力勞么，彤，力厶，澎，一（：】，（，即證得是對稱算子因為勿（）在鯢中稠密，于是是可閉算子（：】，（：）“：】，（：】。規(guī)預(yù)備知識碩士論文下面證明己是自伴的令例一（：二小一（）。囂）！】，（；：?！埃?。，而當比取遍了（）時，犯沁取遍澎，圍（）（）澎于是（芝“】尺口似，“。，（，“勿。，（二：一（二二（，忍研，“，“，勿。而（）（）形，因此

14、；“脅而一（，可見的值域的第一變元只能是勿（）中的元，于是（）（澎因為是的閉延拓，所以碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用且（一訂）在旎中稠密，于是對（：），（：），）（“，（），取遍勿（），則（纜一田，取遍砌，（纜一，于是“，（），同樣的，可以證明（：），由定理，自伴口主要結(jié)果當一鳥時，的譜表示預(yù)備知識中已經(jīng)給出了自伴性的討論，從本節(jié)開始，我們討論為特殊的算子的情形，即澎，），算子一薩為驢，）上的算子，勢函數(shù)留使得是極限點型的，它的邊條件具有下面的形式（加）這里（）一廠（）口），（加），），廠加（【，），丫盯鏟【，），并且勢函數(shù)和邊條件要使得的譜為礦（）【，），這樣的勢函數(shù)和

15、邊條件是存在的并且有具體的例子，例女【】，工口；目（勸，石易；，并附以藝條件，這咖；當（力，工，附以邊條件時，更多的例子可以參見【】我們先假受（）【，），這時此和詎的圖范數(shù)是不同的，而時，此與詎的圖范數(shù)等價【】琨驢限，的定義如前下面的定理給出算子吼的譜的情況，在證明中利用了極限點型算子的譜表示定理主要結(jié)果碩士論文（）掃霹（一，）船（，），委爰。勿（）鬈（一，）砑鬈（一，），碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用協(xié)至（）蘭于是對任意的（：勿?？谙薅x編似（，蚓（認叫訓）礦（，（）（川）牡礦（）（，。）”諏婦咄，記州卜”期，則妒（力一似一們：缸”“（曲瞰，二），而（，所以（妒（力一（

16、）（，辦（礦），將（，（）：的范數(shù)記為，那么礦。刪伙五。上）（批。上）（馳，上）“力。（曲吣，）抓力）廠”“（工）吠五礦）（）”咔。，伙五礦）和（力即（，州們）主要結(jié)果碩士論文另一方面，階：卜（）（，：）（）（，上）批”眠抽一。批，舶?。豪{”批，嘞忙（）（，恤曠榔，批聃“惦因此是勿（口（）到編的等距映射，下面證明它是滿射設(shè)驢編，那么妒（們至半至壘半，礦（曲“（曲（）令絲掣鯉口（工，）和（礦），絲掣吠五，）和（礦）礦、，。、，（）（）、一”¨?！弊C扣又，“、由編的定義比形礦形”絲與筍旦，擬）。腳（力一卅回馴啾）佃于是（從而驢鉍因此是勿（口限）到編的等距同構(gòu)碩士論文一類矩陣微分算子的譜

17、分解及其對散射理論的應(yīng)用注意到勿（）在瑰中稠，下面只要證明編在偎，?！埃┲谐恚瑒t可延拓為纜到弘（酞，“礦）的等距同構(gòu)在證明之前，我們先簡述一下證明的想法由（）和（）式，需要將驢褊分解成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和，即分解為（）式，相應(yīng)地，瘍也分解成奇函數(shù)空間和偶函數(shù)空間的直和粥，鶿，同樣，我們也將平方可積函數(shù)空間限，分解為奇函數(shù)構(gòu)成的空間砰偎，）和偶函數(shù)空間黿皿，）拘直和若磁，在日限，）中稠且鶿（，在黿假，）中稠，則韶在口，）中稠下面是編在口限，（礦）中稠的證明由確的定義，妒的奇函數(shù)部分塑型墨型滿足下面的結(jié)論：卻頇（）令迎裂跚砌佩們蛾甕一。哆認抑咝亟二鍪二亟！，因為為連續(xù)譜，所以（），所以沙在點

18、的取值不影響范數(shù)，那么（）就變?yōu)樯趁?，），壢多（弘（，），于是由定理司得螂，警加咖編卜慟訓，（妒（們一（一一）刪驢編）（）釅（，）由定理，、億（）在弘【，）中稠密，于是，（、敏（）在，）中稠密，因此主要結(jié)果碩士論文在霹（，）中稠密，注意到認力一烈一的對稱性，則可知粥（力一妒（一力¨編）在礙（一，）的全體奇函數(shù)空間寫皿，）中稠密另一方面，確中全體偶函數(shù)空間鶿限制在上構(gòu)成的集合為（們妒（一礦）妒搦）由（）式和推論可得（力妒（一力）。鄉(xiāng)昂）（，）于是鶿中全體函數(shù)限制在上構(gòu)成的集合在鮮（，）中稠密，粥中的偶函數(shù)在黿（，州拘偶函數(shù)構(gòu)成的集合中稠密，因此，編在口但，（力）中稠下面計算的表示，船】

19、（力一打（）（，礦）出一（）（）（，）出（）（，）（）（力鞏五。上）礦（。礦吠五。上）。眠滬，州講可見吼表示為皿，（）的乘法算子注意到函數(shù)，在上是連續(xù)增長的，因此口限，（）上的乘法算子的譜都是連續(xù)譜且為所以吼的譜都是連續(xù)譜且為口知道的本性自伴性，利用吼的譜表示給出算子的定義域的刻畫碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用推論勿（純）留（倆，其中劈仇卜”妒鋤等棚奇函數(shù)，妒參）參：鷺（一，）叫鷺（，），這里積分收斂的是翻的意義下的，記為”妒（壢等和（拋口燭佃妒（怕等和（，勿注事實上若將表示為（）上的乘法算子，則囝是這個乘法算子的定義域證明由定理，（）可以表示為參，于是并且型掣印一）壢型

20、掣刪勿從而，令則（廁反之，對任意的（怕，令妒（力一則西勿舭。華眠礦礎(chǔ)晚心口瓴礦）出，下面刻畫勿（）的第一變元由定理的證明，（吼）的第一變元應(yīng)該變?yōu)橹械钠婧瘮?shù)，因此設(shè)矽是勿中的奇函數(shù)，定義什礙【刪，痂（力巧【刪）注意到似礦）勿兮認）：（怕玩，主要結(jié)果碩士論文于是，討論【，在奇函數(shù)上的作用（見（）式）就是對下式賦以新的收斂意義廣”則）等妒嘞、，（）注意到掣未必屬于【，），由定理，上面的積分交換式（）的定義就成問題了，對上面的變換式賦以新的意義，可以將酉變換表達得更清楚先考慮滿足下面條件的函數(shù)沙：沙玩，沙口，糾，那么沙共伺、陰任廁：去鬈【）；砂鬈【，）；飯沙鬈【，）于是時”則）等咧）且勞（等，等一崛

21、從而般。以抑等和旺鼯。妖刪擬棚。，沙玩，¨驄。崢力等刊卜恐。小馴刪，沙慨于是，由收斂原理，¨等在仇中收斂，記為”則等一洶。等吼口碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用定理設(shè)互是滿足畎均（陋，），的極限點型的自稿算子，那么存在的非降函數(shù)使得與砰（一，）的乘法算子勿（），（，）船霹（一，），拋，（）酉等價，從而的譜集為（一，一口】，）并且都是連續(xù)譜證明因為礦（【口，），所以（，“）彤（佤，佤）彩于是仇（面，說（詞。澎，這時候（）式就可以在旄上定義了：胂礦（）（，）卜批，恤，另外，在口上譜函郯（抑取零，于是相應(yīng)的函數(shù)定義如下：（力，下（），礦詬一牮，礦一垢，證明的其

22、余部分和定理是一樣的對出射入射空間的應(yīng)用由于【】中主要涉及譜下界是零的情況，因此本節(jié)只利用定理得到的譜表示研究吼生成的酉算子群在出射和入射空間上的作用，下面的幾個命題的結(jié)論可以在參考文獻【】中找到，那里需要知道算子半群的技巧、方法，這里由于有定理，為了得到下面的結(jié)論只需要做積分變換和一些簡單的運算勢為零的情況考慮下面的邊值問題荊。，主要結(jié)果碩士論文凇郵鼾訥嗥撇一【三升勰場觚委曼伙，口工）（），工，礦，可以算得譜函數(shù)為】和（礦）萬記饑生成的酉算子群為肌至（，定義恥?。?，定理五（肌。二，】力（一仍曲，。，“一磷，（肌瑤力（二曲一（肌：（）（。，】曲力汐?！皠竦润某鲆弧薄扒?，呻沙“（功（）一據(jù)折

23、“（工）（）鼴（）（）“（妁（）廣”鯽（曲墅塵幽出一。廣”（一以力）墅掣出盯曠廣、）（一以工一力）坐螋出扎，肛碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用于是嘩川功能卜口注從推論可以看到，對中元素的刻畫不是直接的這在，也是如此，因此在參考文獻中得到的結(jié)論雖然比定理全面。但是顯得很抽象，而在后面豹結(jié)論中定理中的情況已經(jīng)足夠雨我們可以通過對算子的譜表示的研究，通過積分變換，在常微分算子理論下得到定理的結(jié)論卻不是很困難推論（），（），證明這是定理的直接推論，只需注意到肌瑤（力是光上的酉算子，于是于是證得?。Γ谝粋€式子的證明只要注意到瓦把函數(shù)的支撐平移至，），詳細的證明可以參看】入射空間為

24、口吲一習一，院一，伍伽。而具有緊支撐勢的情況下面考慮【，】的情況，以記由下面的邊值問題主要結(jié)果碩士論文導(dǎo)的算子求解初值問題而，滬），（，）（，礦）：可得時的解（，礦）已蟣已一柵，其中，一，吠，一）礦（，）伙，礦）礦（，礦）并且可以計算出【】和（）曇而麗妣礦，隊記導(dǎo)出的酉算子群為），可以證明】是相應(yīng)的出射空間，令理戊（），則有下面的結(jié)論一卜匕脅（一囂卜地一碥，證明記那、“【，十）按照定理的證明，只要在譜表示下計算上面算子的作用，并將得到的函數(shù)對其偶函數(shù)部分和奇函數(shù)部分做逆表示既可以得到我們要的結(jié)論因此，只要做下面的計算，過程和定理相似卜南研泖礦曠”“毗，礦）出一”（嵋吠五，）。眠。）礦”姒曲（）

25、碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用沙（礦。聊鋼叫礦“（力（一一坼礦廠”（）（，（）礦，啼）（廣。（妨攀嘶）出（妨掣齜卅出“（砂礦（，）（），呻，葉礦（曲吠，礦）（）廣（勸厭，上）（）（工）礦（，）（）一，廠。一“；（畎，）（似茗）亟生壘（礦）出一。叫，咖（嘶卅華（嘶伽出（一。乃功；們，礦，卜娜（一圳力吲叫二卜扎婦倒嘞注這是文獻，），的結(jié)論那里使用算子半群的理論。在泛函分析的理論下證叨雖簡潔但抽象，也看不出勢函數(shù)支撐的直接影響，而在上面的證明當中只需要將問題換到譜的表示空間上作計算就可以并且可以明顯看到一咣生成的半群一蚪、）在上作用之后可將函數(shù)都平移到勢函數(shù)的支撐外丁這樣當矸，（傲用到跳上去的時候，譜表示的積分就可以從勢函數(shù)的支撐外開始即在定理的證明中積分都是“，就是勢函數(shù)支撐的右端點記珥阢瑤（），注意到忙卜辨勘主要結(jié)果碩士論文其中的定義見定理的證明，那么可以得到與推論類似的結(jié)論推論舢（）：），）：，證明和出射空間的情況就不再這里重復(fù)了，詳細的結(jié)論和過程可以參考】碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對散射理論的應(yīng)用致謝謹在此對我的導(dǎo)師黃振友副教授致以崇高的敬意和衷心的感謝，從論文選題到論文撰寫都得到黃振友老師的悉心指導(dǎo)，特別重要的是在南京理工大學求學的這幾年，