高中物理競賽-質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動

1、專題專題1 1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)知識與方法知識與方法 三、兩平面運(yùn)動曲線的交點(diǎn)的運(yùn)動三、兩平面運(yùn)動曲線的交點(diǎn)的運(yùn)動一、運(yùn)動分解的任意性一、運(yùn)動分解的任意性二、曲率半徑的物理求法二、曲率半徑的物理求法一、運(yùn)動分解的任意性一、運(yùn)動分解的任意性12rrr12vvv12aaa不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解. . 可以可以根據(jù)解題需要沿選定方向分解根據(jù)解題需要沿選定方向分解. .知識與方法知識與方法 運(yùn)動的分解與合成是不同于參照系變化（運(yùn)動的分解與合成是不同于參照系變化（KK）對運(yùn)動描述的伽）對運(yùn)動描述的伽利略或洛侖茲變換利略或洛

2、侖茲變換, 是在一個參照系中進(jìn)行的是在一個參照系中進(jìn)行的. 例例1 足球運(yùn)動員在球門正前方距離球門足球運(yùn)動員在球門正前方距離球門S遠(yuǎn)處的遠(yuǎn)處的O點(diǎn)踢出一球，球從球門高為點(diǎn)踢出一球，球從球門高為h的橫梁的橫梁下邊沿射入球門下邊沿射入球門. 問球以怎樣的角度問球以怎樣的角度 射出，才能使射出的初速度射出，才能使射出的初速度v0最小？最?。縊CBSxyh解一解一建立如圖的坐標(biāo)系，建立如圖的坐標(biāo)系，則有則有0(cos )svt201(sin)2hvtgt 消去消去t 得：得：2220tan2cosgshsv 進(jìn)而得：進(jìn)而得：22022(tan)cosgsvsh2sin2cos2gsshh222.sin

3、(2gshsh）(arctan)hs其中：022v當(dāng)時(shí)， 有最小值.所以所以42將將v0做水平、豎直的正交分解做水平、豎直的正交分解.v0OCBShxyv0 解二解二如圖，建立坐標(biāo)系如圖，建立坐標(biāo)系.則有則有將將v0、g均沿均沿x、y方向進(jìn)行分解方向進(jìn)行分解.201(cos)( sin )2xvtgt201(sin)( cos )2yvtgt足球到達(dá)足球到達(dá)B時(shí)，時(shí)，0,y 所以有所以有22201(cos )( sin )2shvtgt2010(sin)( cos )2vtgt消去消去t 得：得：222022sin(coscossinsin )cosvshg202sinsin(2) sinco

4、svg所以所以220cossin(2)singv022v當(dāng)時(shí)， 有最小值.此時(shí)此時(shí)111(),2 24211().2 242g22xshOCBShv0 解三解三xy建立如圖的坐標(biāo)建立如圖的坐標(biāo).據(jù)圖中的幾何關(guān)系，據(jù)圖中的幾何關(guān)系，由正弦定理有：由正弦定理有：sinsinsin()BDODOB即即222012sinsinsin()gtv tsh由左邊的等式得：由左邊的等式得：02sinsinvtg將此代入右邊的等式：將此代入右邊的等式：222022sinsinsin()vshg所以所以22220sin2sin() sing shv222sincoscos(2)g sh02v當(dāng)時(shí)， 有最小值.此時(shí)

5、此時(shí)則則x方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動，方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動，y方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動.1()21()2242DOCBShv0Dxy 解四：解四： 例例2 、 彈性小球從高彈性小球從高h(yuǎn)處自由落下，落到與水平面成處自由落下，落到與水平面成角的足夠長的斜面上，碰撞角的足夠長的斜面上，碰撞后以同樣大小的速度彈回來后以同樣大小的速度彈回來. （1）、求每個彈回點(diǎn)（第一點(diǎn)和第二點(diǎn)，第二點(diǎn)和第三點(diǎn)，）、求每個彈回點(diǎn)（第一點(diǎn)和第二點(diǎn)，第二點(diǎn)和第三點(diǎn)，第，第n點(diǎn)和第（點(diǎn)和第（n+1）點(diǎn)）間的距離點(diǎn)）間的距離x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2）、求當(dāng)斜面以勻速度）、求當(dāng)斜面以勻速度u沿

6、豎直方向向上運(yùn)動時(shí)的沿豎直方向向上運(yùn)動時(shí)的x1-2的數(shù)值的數(shù)值.解解h小球第一次與斜面相碰（前、后）的速小球第一次與斜面相碰（前、后）的速度大小為度大小為102.vghxyo 則小球在兩個碰點(diǎn)之間的在則小球在兩個碰點(diǎn)之間的在x、y方向的分方向的分運(yùn)動均是勻變速直線運(yùn)動運(yùn)動均是勻變速直線運(yùn)動.10vgxgyg于是于是1010s2,insinxvvgh1010cos2cos .yvvgh以斜面為參照系以斜面為參照系.建立如圖所示的坐標(biāo)系建立如圖所示的坐標(biāo)系.10 xv10yv第一次碰后（第二次碰前）的運(yùn)動方程為：第一次碰后（第二次碰前）的運(yùn)動方程為：11010sin( sin )xxxvvg tv

7、gt11010cos( cos )yyyvvg tvgt221101011(sin )( sin )22xxxv tg tvtgt221101011(cos )( cos )22yyyvtg tvtgthxyo10vgxgyg10 xv10yv令令 y 1=0，可得第一與第二次碰撞的時(shí)間間隔為，可得第一與第二次碰撞的時(shí)間間隔為101 22vtg代入代入x1的計(jì)算式后可得的計(jì)算式后可得2101 24sinvxg2 2ghg22hg8sinhhxy10vgxgyg10 xv10yv 第二次碰后瞬間的速度大小等于第第二次碰后瞬間的速度大小等于第二次碰前瞬間的速度大?。憾闻銮八查g的速度大?。?020

8、102sin( sin )xvvvgg1020102cos( cos )yvvvgg顯然，顯然，1020,yyvv進(jìn)而可知每相鄰兩次相碰的時(shí)間間隔均相等，進(jìn)而可知每相鄰兩次相碰的時(shí)間間隔均相等，1 222.httg以此類推，以此類推，碰后瞬間在碰后瞬間在y方向的速度大小均相等方向的速度大小均相等.于是于是22 32012xxxvtg t2sin2 2singhgh8 sin8 sinhho可知在每次碰前可知在每次碰前3 2singh2cosgh為為22123 2sin2sin(22hhghggg）12 sin4 sinhh注意：注意：x2-3-x1-2=8hsin ! 會不會每碰一次增加會不會

9、每碰一次增加“ “8hsin ”？hxyo10vgxgyg10 xv10yv小球每一次碰后瞬間的小球每一次碰后瞬間的x方向分速度方向分速度將比前一次增加將比前一次增加2( sin ) 22 2sin .xhg tghgg因而每接連兩次相碰的間距將比相鄰的因而每接連兩次相碰的間距將比相鄰的兩次接連相碰的間距增加兩次接連相碰的間距增加2(2 2sin )(2 2sin ) 28 sin .hghtghhg 所以第所以第n次碰撞與第次碰撞與第(n+1)次碰撞之間的間距為次碰撞之間的間距為(1)8 sin1)8 sinnnxhnh（ 思考思考 能否建立水平方向的能否建立水平方向的 x 坐坐標(biāo)與豎直方向

10、的標(biāo)與豎直方向的y 坐標(biāo)解本題？坐標(biāo)解本題？能否建立斜面方向的能否建立斜面方向的x坐標(biāo)坐標(biāo)與豎直方向的與豎直方向的y坐標(biāo)求解？坐標(biāo)求解？（2）、求當(dāng)斜面以勻速度）、求當(dāng)斜面以勻速度u沿豎直方向向上運(yùn)動時(shí)沿豎直方向向上運(yùn)動時(shí)的的x1-2的數(shù)值的數(shù)值. 此時(shí)，仍以斜面為參照系此時(shí)，仍以斜面為參照系. 則小球第一次與斜則小球第一次與斜面相碰時(shí)速度大小便由（面相碰時(shí)速度大小便由（1）中的）中的v10變成了變成了(v10+u).所以將（所以將（1）中相關(guān)式子中的）中相關(guān)式子中的v0代換為（代換為（v0+u），），能得到對應(yīng)的結(jié)果能得到對應(yīng)的結(jié)果.便便于是于是2101 24sinvxg204()sinvu

11、g24( 2)singhug8sin .nh讓質(zhì)點(diǎn)的做某種軌跡為給定的曲線的運(yùn)動讓質(zhì)點(diǎn)的做某種軌跡為給定的曲線的運(yùn)動確定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動軌跡上各處的確定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動軌跡上各處的v和和a心心由向心加速度公式求由向心加速度公式求在選擇質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)，盡量考慮如何方便在選擇質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)，盡量考慮如何方便 得到曲線各處的得到曲線各處的v和和a心心 二、二、曲率半徑曲率半徑的物理求法的物理求法1、從曲率圓的角度看平面光滑曲線運(yùn)動的速度和加速度、從曲率圓的角度看平面光滑曲線運(yùn)動的速度和加速度aaa切心22va 心|dvadt切表示速度大小的變化快慢表示速度大小的變化快慢表示速度方向的變化快慢表示速度方向的變化快慢y

12、op1p1va切切a心心ax2、由物理運(yùn)動學(xué)求曲率半徑思路：、由物理運(yùn)動學(xué)求曲率半徑思路： 例例3 試求橢圓試求橢圓 的頂點(diǎn)處的曲率半徑的頂點(diǎn)處的曲率半徑.22221xyAB解解橢圓的參數(shù)方程為橢圓的參數(shù)方程為 cosxAtsinyBt可以選擇質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌道的運(yùn)動為：可以選擇質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌道的運(yùn)動為：在在x方向和方向和y方向的分運(yùn)動為簡諧振動的運(yùn)動方向的分運(yùn)動為簡諧振動的運(yùn)動.(其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數(shù)方程其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數(shù)方程)sincos;xyvAtvBt 22cossinxyaAtaBt 于是有于是有在圖中頂點(diǎn)在圖中頂點(diǎn)A處：處：0 xv yvBvB2xaA 0ya

13、2xaaA心xy0ABva心所以所以2Ava心同理可得同理可得2BAB222BA2BA 總是指向輪心但是否總是指向滾輪線的曲率圓圓心？a 例例4 求滾輪線的最高點(diǎn)的曲率半徑和求滾輪線的最高點(diǎn)的曲率半徑和1最低點(diǎn)的曲率半徑最低點(diǎn)的曲率半徑2.解解oPv0為方便計(jì)，設(shè)輪子做勻速的純滾動為方便計(jì)，設(shè)輪子做勻速的純滾動.設(shè)輪心設(shè)輪心O相對地面的速度為相對地面的速度為v0 . P在最高點(diǎn)處相對于地面的速度大小為在最高點(diǎn)處相對于地面的速度大小為102vv P在最低點(diǎn)處相對于地面的速度大小為在最低點(diǎn)處相對于地面的速度大小為20v 00a 由于，aa0.aaa 故故0aaa則PPP ,Pa Pa設(shè) 點(diǎn)相對地面

14、參照系的加速度為點(diǎn)相對輪心參照系的加速度為 ，oooaa輪邊緣上的任意一點(diǎn)P相對輪心O的線速度為多大？故滾輪線最高處的曲率半徑為oPv0aaaa滾輪線最低處的曲率半徑為滾輪線最低處的曲率半徑為PPP在滾輪線的最高點(diǎn)處和最低點(diǎn)處，在滾輪線的最高點(diǎn)處和最低點(diǎn)處，a正好又是指向該處的曲率圓圓心的，a所以在此兩處的完全用作向心加速度，aaa心故故211va心oooaaaa20vR202024vRvR222va心2000vR總結(jié)總結(jié)此兩題的解法屬于物理運(yùn)動學(xué)的求法此兩題的解法屬于物理運(yùn)動學(xué)的求法; ;曲率半徑還有物理動力學(xué)的求法曲率半徑還有物理動力學(xué)的求法這將在以后研究這將在以后研究. .三、三、兩運(yùn)動

15、曲線（包括直線）的交點(diǎn)的運(yùn)動兩運(yùn)動曲線（包括直線）的交點(diǎn)的運(yùn)動注注 意意: 交點(diǎn)并非曲線上的一個固定點(diǎn)，而是兩條曲線相交而成的幾何點(diǎn)交點(diǎn)并非曲線上的一個固定點(diǎn)，而是兩條曲線相交而成的幾何點(diǎn).兩曲線并非均作平動兩曲線并非均作平動.1、幾種交點(diǎn)的運(yùn)動情況幾種交點(diǎn)的運(yùn)動情況Pv2v1（1）直線與直線的交點(diǎn)直線與直線的交點(diǎn)（2）曲線與曲線的交點(diǎn)曲線與曲線的交點(diǎn)（3）直線與曲線的交點(diǎn)直線與曲線的交點(diǎn)2、如何求交點(diǎn)的速度如何求交點(diǎn)的速度Pv1v2決不能決不能 ！12PvvvP（1）、由速度的定義出發(fā)求）、由速度的定義出發(fā)求.（2）、從相對運(yùn)動出發(fā)求）、從相對運(yùn)動出發(fā)求.例例5 、如圖，一平面內(nèi)有、如圖，一

16、平面內(nèi)有l(wèi)1、l2兩細(xì)桿，相交成兩細(xì)桿，相交成角角. 細(xì)桿分別以垂直于自身?xiàng)U長的速度細(xì)桿分別以垂直于自身?xiàng)U長的速度勻速運(yùn)動勻速運(yùn)動. 求兩桿的交點(diǎn)求兩桿的交點(diǎn)P相對于紙面的速率相對于紙面的速率.解一解一AB由定義出發(fā)求速度由定義出發(fā)求速度l1l2Pv1v2P2P3設(shè)經(jīng)過時(shí)間t, 交點(diǎn)P勻速直線運(yùn)動至P1處.21csccsc ,PPAPvt1232csccscPPPPPBvt2212122122cos()PPP PPPP P PP在圖中：在圖中：由余弦定理有由余弦定理有所以所以（求出交點(diǎn)相對某一曲線的速度，再疊加上此曲線的速度）（求出交點(diǎn)相對某一曲線的速度，再疊加上此曲線的速度）1P22121

17、22coscscvvvvt 22121 22coscscvvvv1PPPvtP1PPP2 ， P1P2如何求得如何求得P1P ？l1l2Pv1v2P1ABP2P3解二解二由相對運(yùn)動出發(fā)求速度由相對運(yùn)動出發(fā)求速度先求出交點(diǎn)相對于桿先求出交點(diǎn)相對于桿l1的速率的速率v1：在圖中：在圖中：1122APPPAP所以所以11APvt 進(jìn)一步得交點(diǎn)進(jìn)一步得交點(diǎn)P相對于地面的速率：相對于地面的速率：21csccotv tv t32PPAPcsccotPBAP12cotcscvv22121 22coscscvvvv2211Pvvv22112(cotcsc )vvv 例例6 、 如圖如圖, 在在o-xy平面內(nèi)有

18、一個圓平面內(nèi)有一個圓, 在在y軸上放一根細(xì)桿軸上放一根細(xì)桿,從從t=0開始開始, 細(xì)桿以速度細(xì)桿以速度v0朝朝x軸正方向勻速平動軸正方向勻速平動. 試求細(xì)桿與第一象限內(nèi)的圓弧的交點(diǎn)的向心加速度與時(shí)間試求細(xì)桿與第一象限內(nèi)的圓弧的交點(diǎn)的向心加速度與時(shí)間t的關(guān)系的關(guān)系.xyOv0解一解一交點(diǎn)的運(yùn)動方向總是沿圓的切線方向交點(diǎn)的運(yùn)動方向總是沿圓的切線方向. 設(shè)在設(shè)在t 時(shí)刻交點(diǎn)在時(shí)刻交點(diǎn)在P點(diǎn)，經(jīng)過小量時(shí)間點(diǎn)，經(jīng)過小量時(shí)間t，交點(diǎn)由交點(diǎn)由P點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動到P1點(diǎn)點(diǎn).P0則則1PPR而121323PPPPP PP2P3當(dāng)極小時(shí)，有122 (cos )2PPR由、消去 ：121,cosPPPP將將22 20

19、cosRv tR代入即得代入即得022 20Pv RvRv t所以所以22022 20.PPv RvaRRv t心（其中（其中 ）0Rv t由速度定義出發(fā)解答由速度定義出發(fā)解答.2 cos()sin22Rsin()sinRR所以所以1121cosPPPPtt，0.cosPvv即PP1xyOv0PP1P2P0P3121cosPPPP如圖，如圖， 在在 PP1P2中，中，11212cosPPPPPPP1PP當(dāng) 無限趨近于 時(shí)，有12coscosPPP11,PPPP于是有于是有如何直接得出如何直接得出121cosPPPPP1P2PxyOv0PP0 解二解二由相對運(yùn)動出發(fā)解由相對運(yùn)動出發(fā)解.vPvP3

20、.v設(shè) 為交點(diǎn)相對于細(xì)桿的速度則0Pvvv0vv因?yàn)椋?.Pvvv所以便是以 、 為邊的矩形的對角線所以便有所以便有0cosPvv進(jìn)一步便可得到交點(diǎn)進(jìn)一步便可得到交點(diǎn) P 的向心加速度的向心加速度.v0（3）、兩平面光滑曲線交點(diǎn)速度的最簡求法研究）、兩平面光滑曲線交點(diǎn)速度的最簡求法研究2v1v1l2l21v22v12v11vPv2v1L2L1vP如圖，如圖，L1、L2的交點(diǎn)的交點(diǎn)P相對地面的速度為相對地面的速度為 .Pv121212 vvLLPPP、 分別為 、 上的與交點(diǎn) 重合的點(diǎn)、的速度.分別作分別作L1、L2的切線的切線l1、l2.取與取與L1上的上的P1點(diǎn)一起以速度點(diǎn)一起以速度 運(yùn)動的

21、參照系，運(yùn)動的參照系，1v在此參照系中在此參照系中P點(diǎn)以速度點(diǎn)以速度 沿沿l1運(yùn)動運(yùn)動. 1v則11Pvvv取與取與L2上的上的P2點(diǎn)一起以速度點(diǎn)一起以速度 運(yùn)動的參照系，運(yùn)動的參照系，2v在此參照系中在此參照系中P點(diǎn)以速度點(diǎn)以速度 沿沿l2運(yùn)動運(yùn)動. 2v則22Pvvv在地面參照系中沿在地面參照系中沿l1、l2方向分解方向分解 1:v11112vvv在地面參照系中沿在地面參照系中沿l1、l2方向分解方向分解 2:v22122vvv由圖可知由圖可知1221Pvvv重解重解例例5：l1l2Pv1v2121cscvv212cscvv由余弦定理求合：由余弦定理求合：22122112 212cos()

22、Pvvvv vv112vv221vPv22121 22coscsc .vvv v重解重解例例6：xyOv0PP0v0v01001cosvv，所以所以01Pvv進(jìn)一步便可得到交點(diǎn)進(jìn)一步便可得到交點(diǎn) P 的向心加速度的向心加速度.總結(jié)與思考總結(jié)與思考該方法僅局限于光滑平面運(yùn)動曲線的交點(diǎn)該方法僅局限于光滑平面運(yùn)動曲線的交點(diǎn)100.v0=.cosv疑難題目研究疑難題目研究 例例7 、 如圖，光滑水平面上兩根剛性細(xì)桿如圖，光滑水平面上兩根剛性細(xì)桿OM、ON成成15 夾角交于夾角交于O點(diǎn)，小球在點(diǎn)，小球在OM的內(nèi)側(cè)與的內(nèi)側(cè)與O相距相距l(xiāng)=20cm的的P點(diǎn)處，以與點(diǎn)處，以與MO成成30 角方向的初速朝角方向

23、的初速朝ON桿運(yùn)動，初速度大桿運(yùn)動，初速度大小為小為v0=10cm/s. 試問小球能否回到試問小球能否回到P處？若能，則須經(jīng)多少時(shí)間回到處？若能，則須經(jīng)多少時(shí)間回到P處？處？解解小球作的是勻速折線運(yùn)動小球作的是勻速折線運(yùn)動.MNPOl300150 而光線經(jīng)鏡面反射后的行進(jìn)等效而光線經(jīng)鏡面反射后的行進(jìn)等效于光線沿原入射方向的行進(jìn)于光線沿原入射方向的行進(jìn). 因此光線在兩平面鏡之間的不斷因此光線在兩平面鏡之間的不斷反射可等效為光線沿反射可等效為光線沿PP直線傳播直線傳播. 可將小球的運(yùn)動類比為光線在平可將小球的運(yùn)動類比為光線在平面鏡面鏡M、N之間的反射之間的反射.由于4 1560POP ，因此光線能

24、夠沿原路返回到因此光線能夠沿原路返回到P點(diǎn)點(diǎn).PP090 .PP O所以鏡面反射后的光線的行進(jìn)可等效處理為在鏡面反射后的光線的行進(jìn)可等效處理為在虛像空間中光線沿原入射方向的直線行進(jìn)虛像空間中光線沿原入射方向的直線行進(jìn)P1MNP2P3P4M NM P2P3P4P3P4P4（1）光線光線1在鏡面在鏡面N的的P1點(diǎn)發(fā)生反射點(diǎn)發(fā)生反射,其其反射光線反射光線2的行進(jìn)等效于在虛像空間中光的行進(jìn)等效于在虛像空間中光線線2的行進(jìn)的行進(jìn). 1234233444（2）光線光線2在鏡面在鏡面M的的P2點(diǎn)發(fā)生反射后點(diǎn)發(fā)生反射后得到反射光線得到反射光線3，相應(yīng)地光線，相應(yīng)地光線2在虛鏡面在虛鏡面M 上的上的P2點(diǎn)發(fā)生反

25、射后得到反射光線點(diǎn)發(fā)生反射后得到反射光線3，反射光線反射光線3的行進(jìn)等效于在虛像空間中的行進(jìn)等效于在虛像空間中光線光線3的行進(jìn)的行進(jìn).N （3）光線光線3在鏡面在鏡面N的的P3點(diǎn)反射后得到光點(diǎn)反射后得到光線線4，相應(yīng)地光線，相應(yīng)地光線3在虛鏡面在虛鏡面N的的P3點(diǎn)發(fā)點(diǎn)發(fā)生反射得到光線生反射得到光線4，相應(yīng)地光線，相應(yīng)地光線3在虛鏡在虛鏡面面N的的P3點(diǎn)發(fā)生反射得到光線點(diǎn)發(fā)生反射得到光線4，反射，反射光線光線4的行進(jìn)等效于在虛像空間中光線的行進(jìn)等效于在虛像空間中光線4的行進(jìn)的行進(jìn). MNPOlP300150P 所以小球從所以小球從P點(diǎn)出發(fā)到又回點(diǎn)出發(fā)到又回到到P點(diǎn)，總的路程即為點(diǎn)，總的路程即為P

26、P=2PP.所經(jīng)歷的時(shí)間為所經(jīng)歷的時(shí)間為02PPtv002 cos30lv2 3( ) s本題還有另一種常規(guī)解法：本題還有另一種常規(guī)解法：1、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰2、確定在什么位置正碰、確定在什么位置正碰3、算出所有折線段的總長、算出所有折線段的總長4、計(jì)算時(shí)間、計(jì)算時(shí)間但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答.總結(jié)與思考總結(jié)與思考這種解法的實(shí)質(zhì)就是將折線運(yùn)動等效變?yōu)橹本€運(yùn)動從而使問題得以簡化這種解法的實(shí)質(zhì)就是將折線運(yùn)動等效變?yōu)橹本€運(yùn)動從而使問題得以簡化.00022().33CtKTTKTSS（a）（

27、b） 取取t = 0時(shí)白色點(diǎn)在時(shí)白色點(diǎn)在A位置位置.ABC00011().33BtKTTKT（K=0、1、2、3、）001Tf設(shè)為圓盤轉(zhuǎn)動的周期.解解 例例8 、 圖（圖（a）中的黑色圓盤上有白色點(diǎn)）中的黑色圓盤上有白色點(diǎn)S，盤繞中心軸以，盤繞中心軸以 f0= 50He的頻率旋轉(zhuǎn)，如的頻率旋轉(zhuǎn)，如果用頻率為果用頻率為 f 的頻閃光去照射該盤，在盤上能看到穩(wěn)定地出現(xiàn)如圖（的頻閃光去照射該盤，在盤上能看到穩(wěn)定地出現(xiàn)如圖（b）的三個白色）的三個白色點(diǎn)點(diǎn). 請算出兩種可能的請算出兩種可能的 f 值，其一大于值，其一大于f0，其二小于，其二小于f0 . 又若取又若取f = 51He，那么在盤上能，那么在

28、盤上能觀察到什么現(xiàn)象？觀察到什么現(xiàn)象？則白點(diǎn)在則白點(diǎn)在B位置的時(shí)刻：位置的時(shí)刻：（K=0、1、2、3、）白點(diǎn)在白點(diǎn)在C位置的時(shí)刻：位置的時(shí)刻：120012001200則白點(diǎn)在則白點(diǎn)在A位置的時(shí)刻：位置的時(shí)刻：0.AtKT（K=0、1、2、3、）（1）若白點(diǎn)在若白點(diǎn)在B處處這要求頻閃周期為這要求頻閃周期為011331ffTK1022(2)3tTKT在時(shí)刻頻閃光照亮?xí)r：白點(diǎn)在白點(diǎn)在C位置位置.1033(3)3tTKT在時(shí)刻頻閃光照亮?xí)r：白點(diǎn)在白點(diǎn)在A位置位置.則頻閃光第二次照亮圓盤時(shí)：則頻閃光第二次照亮圓盤時(shí)：即有即有SS（a）（b）ABC120012001200設(shè)設(shè)t = 0時(shí)頻閃光第一次照亮圓

29、盤（即看見白色點(diǎn)在時(shí)頻閃光第一次照亮圓盤（即看見白色點(diǎn)在A）.如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點(diǎn)如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點(diǎn).1 0013TK TT（K 1=0、1、2、3、）.101()3KT，頻閃光的頻率還有頻閃光的頻率還有沒有其他可取值？沒有其他可取值？2 001022()33TK TTKT，（b）ABC （2）若頻閃光第二次照亮?xí)r，白點(diǎn)在若頻閃光第二次照亮?xí)r，白點(diǎn)在C處處 這要求頻閃周期為這要求頻閃周期為（K2=0、1、2、3、）021332ffTK20012(21)3tTKTT在時(shí)刻頻閃光照亮?xí)r：白點(diǎn)在白點(diǎn)在 B位置位置.203(32)tTKT在時(shí)刻頻閃光照亮?xí)r：白點(diǎn)在

30、白點(diǎn)在 A位置位置. 綜上可知，頻閃光的可取頻率范圍為：綜上可知，頻閃光的可取頻率范圍為：000013331 :3 , ()4731ffffK（ ），；0000233331 : , ().25832ffffK（ ），其中，大于其中，大于f0 的的 f 有：有：0033(150) (75)2fHefHe，；003(37.5) (30),4fHefHe ，等無窮多. 小于小于f0 的的 f 有：有：如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點(diǎn)如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點(diǎn).即有即有圖（圖（c）A 若若f 稍大于稍大于f0 (如如f =51He)，則，則T 稍小于稍小于T0 ，這意味著白點(diǎn)，這意味

31、著白點(diǎn)在在A位置被照亮后，經(jīng)過時(shí)間位置被照亮后，經(jīng)過時(shí)間T 順時(shí)針將轉(zhuǎn)過大半周（順時(shí)針將轉(zhuǎn)過大半周（T/T0周）周）. 白點(diǎn)倒退一周所需的時(shí)間為白點(diǎn)倒退一周所需的時(shí)間為0001T TTTTTTT退 倒退的頻率為倒退的頻率為0000011151 501He1TTfffffTTTf f退退 這相當(dāng)于逆時(shí)針轉(zhuǎn)過小半周這相當(dāng)于逆時(shí)針轉(zhuǎn)過小半周即（即（1-T/T0 ）周）周又被照亮，又被照亮，故會看見白點(diǎn)逆時(shí)針倒退故會看見白點(diǎn)逆時(shí)針倒退. 總結(jié)總結(jié) 通過該題知道了：通過該題知道了：為什么看電影時(shí)，為什么看電影時(shí)，有時(shí)看見汽車前有時(shí)看見汽車前進(jìn)進(jìn)而車輪卻反轉(zhuǎn)？而車輪卻反轉(zhuǎn)？ 例例9 、 如圖，如圖，OAB

32、C是一桌球臺面是一桌球臺面. 取取OA為為 x 軸軸，OC為為y 軸軸，P是紅球，坐標(biāo)為是紅球，坐標(biāo)為(x, y), Q是白球，坐標(biāo)為（是白球，坐標(biāo)為（x, y ), (圖中未畫出圖中未畫出Q球在臺面上的位置）球在臺面上的位置）. 已知已知OA=BC=25分米，分米，AB=OC=12分米分米. ABCOPQxy(x, y) NM （1）、若）、若P球的坐標(biāo)為：球的坐標(biāo)為：x=10分米，分米，y=8分米分米. 問問Q球的位置在什么范圍內(nèi)時(shí)，可使擊出的球的位置在什么范圍內(nèi)時(shí)，可使擊出的Q球順次與球順次與AB、BC、CO和和OA四壁碰撞反彈，最后擊中四壁碰撞反彈，最后擊中P球？球？ （2）、）、P球

33、有沒有一些位置是球有沒有一些位置是Q球無論在什么位置球無論在什么位置出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍.（白球（白球Q同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很小，可看作質(zhì)點(diǎn)小，可看作質(zhì)點(diǎn).）ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)給球桌各頂點(diǎn)及紅球的位置標(biāo)注上坐標(biāo)給球桌各頂點(diǎn)及紅球的位置標(biāo)注上坐標(biāo)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)（1）1、如果白球?qū)χ?/p>

34、鏡像點(diǎn)、如果白球?qū)χR像點(diǎn)P1擊在擊在OA上就能擊中上就能擊中P；如果白球?qū)χR像點(diǎn)如果白球?qū)χR像點(diǎn)P2擊在擊在CO上就能射向上就能射向P1;如果白球?qū)χR像點(diǎn)如果白球?qū)χR像點(diǎn)P3擊在擊在OC上就能射向上就能射向P2；如果白球?qū)χR像點(diǎn)P4擊在BA上就能射向P3.ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)F 2、為了保證白球能對著、為了保證白球能對著P4點(diǎn)且擊在點(diǎn)且擊在BA上，白球應(yīng)該放在什么區(qū)域？上，白球應(yīng)該放在什么區(qū)域？ 3、白球放在該區(qū)域是否能保證經(jīng)、白球放在該區(qū)域是否能保

35、證經(jīng)BA反彈后能擊在反彈后能擊在BC上？上？ 4、白球是否擊在、白球是否擊在BC上任何地方都能反彈后又擊在上任何地方都能反彈后又擊在CO上？比如放在圖中所示的點(diǎn)處？上？比如放在圖中所示的點(diǎn)處？ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E 5、白球應(yīng)該對著、白球應(yīng)該對著P3擊在擊在BC上的什么地方才能保證經(jīng)上的什么地方才能保證經(jīng)BC反彈后能擊在反彈后能擊在CO上？上？作直線作直線P2O交交CB于于E點(diǎn)，點(diǎn)， E點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(15,12).(15,12)FABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)D (25,4) 6、白球應(yīng)該對著、白球應(yīng)該對著P4擊在擊在BA上的什么地方才能保證經(jīng)上的什么地方才能保證經(jīng)BA反彈后能擊在反彈后能擊在EC上