線性變換 習(xí)題答案

1、3在中，證明：解題提示直接根據(jù)變換的定義驗(yàn)證即可證明任取，則有，于是 4設(shè)是線性變換，如果，證明：解題提示利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明證明 當(dāng)時(shí)，由于，可得，因此結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即那么，當(dāng)時(shí)，有，即對結(jié)論也成立從而，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對一切結(jié)論都成立特別提醒由可知，結(jié)論對也成立5證明：可逆映射是雙射解題提示只需要說明可逆映射既是單射又是滿射即可證明設(shè)是線性空間上的一個(gè)可逆變換對于任意的，如果，那么，用作用左右兩邊，得到，因此是單射；另外，對于任意的，存在，使得，即是滿射于是是雙射特別提醒由此結(jié)論可知線性空間上的可逆映射是到自身的同構(gòu)6設(shè)是線性空間的一組基，是上的線性變換，證明可逆當(dāng)且僅當(dāng)

2、線性無關(guān)證法1若是可逆的線性變換，設(shè)，即而根據(jù)上一題結(jié)論可知是單射，故必有，又由于是線性無關(guān)的，因此從而線性無關(guān)反之，若是線性無關(guān)的，那么也是的一組基于是，根據(jù)教材中的定理1，存在唯一的線性變換，使得，顯然，再根據(jù)教材中的定理1知，所以是可逆的證法2設(shè)在基下的矩陣為，即由教材中的定理2可知，可逆的充要條件是矩陣可逆因此，如果是可逆的，那么矩陣可逆，從而也是的一組基，即是線性無關(guān)的反之，如果是線性無關(guān)，從而是的一組基，且是從基到的過渡矩陣，因此是可逆的所以是可逆的線性變換方法技巧方法1利用了上一題的結(jié)論及教材中的定理1構(gòu)造的逆變換；方法2借助教材中的定理2，將線性變換可逆轉(zhuǎn)化成了矩陣可逆9設(shè)三維

3、線性空間上的線性變換在基下的矩陣為 1）求在基下的矩陣； 2）求在基下的矩陣，其中且； 3）求在基下的矩陣解題提示可以利用定義直接寫出線性變換的矩陣，也可以借助同一個(gè)線性變換在兩組不同基下的矩陣是相似的進(jìn)行求解解1）由于，故在基下的矩陣為2）由于，故在基下的矩陣為3）由于從到的過渡矩陣為，故在基下的矩陣為方法技巧根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出了1）和2）所求的矩陣；3）借助了過渡矩陣，利用相似矩陣得到了所求矩陣事實(shí)上，這三個(gè)題目都可以分別用兩種方法求解10設(shè)是線性空間上的線性變換，如果，但，求證：（）線性無關(guān)證明由于，故對于任意的非負(fù)整數(shù)，都有當(dāng)時(shí)，設(shè)，用作用于上式，得，但，因此于是，再用

4、作用上式，同樣得到依此下去，可得從而線性無關(guān)16證明：與相似，其中是的一個(gè)排列解題提示利用同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義證法1設(shè)是一個(gè)維線性空間，且是的一組基另外，記，于是，在基下，矩陣對應(yīng)的一個(gè)線性變換，即從而，又因?yàn)橐彩堑囊唤M基，且故與相似證法設(shè) 與 對交換兩行，再交換兩列，相當(dāng)于對左乘和右乘初等矩陣和，而即為將中的和交換位置得到的對角矩陣于是，總可以通過這樣的一系列的對調(diào)變換，將的主對角線上的元素變成，這也相當(dāng)于存在一系列初等矩陣，使得，令，則有，即與相似方法技巧證法利用同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質(zhì)；證法利用了矩陣的相似變換，直接進(jìn)行了證明17如

5、果可逆，證明與相似證明由于可逆，故存在于是，因此，根據(jù)相似的定義可知與相似19求復(fù)數(shù)域上線性變換空間的線性變換的特征值與特征向量已知在一組基下的矩陣為：1）； 4）；5）解1）設(shè)在給定基,下的矩陣為由于的特征多項(xiàng)式為，故的特征值為，當(dāng)時(shí)，方程組，即為解得它的基礎(chǔ)解系為從而的屬于特征值的全部特征向量為，其中為任意非零常數(shù)當(dāng)時(shí)，方程組，即為解得它的基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的全部特征響向量為，其中為任意非零常數(shù)4）設(shè)在給定基下的矩陣為，由于的特征多項(xiàng)式為，故的特征值為，當(dāng)時(shí), 方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值2的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)當(dāng)時(shí), 方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故

6、的屬于特征值的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)當(dāng)時(shí)，方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)5）設(shè)在給定基下的矩陣為，由于的特征多項(xiàng)式為，故的特征值為（二重），當(dāng)時(shí)，方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值1的全部特征向量為其中為任意不全為零的常數(shù)當(dāng)時(shí)，方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值的全部特征向量為，其中為任意非零常數(shù)方法技巧求解一個(gè)線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項(xiàng)式的根，再對每個(gè)根求得所對應(yīng)的特征向量，但一定要注意表達(dá)成基向量的線性組合形式241）設(shè)是線性變換的兩個(gè)不同特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是的特征向量；2）證明：如果線性空間的線性變換以中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么是數(shù)乘變換證明 1）反證法假設(shè)是屬于特征值的特征向量，即而由題設(shè)可知，且，故比較兩個(gè)等式，得到再根據(jù)是屬于不同特征值的特征向量，從而是線性無關(guān)性，因此，即這與矛盾所以不是的特征向量2）設(shè)是的一組基，則它們也是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)它們分別屬于特征值，即，根據(jù)1）即知否則，若，那么，且不是的特征向量，這與中每個(gè)非零向量都是它的特征向量矛盾所以，對于任意的，都有，即是數(shù)乘變換25設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，是上的線性變換，且證明：1）如果是的一個(gè)特征值，那么是的不變子空間；2）至少有一個(gè)公共的特征向量證明 1）設(shè)，則，于是