高考北京理科數(shù)學(xué)試卷

1、一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1.（2017北京卷理）若集合，或，則=（ ）A.B.C.D.【答案】：A【解析】：，故選A【考點(diǎn)】：集合的基本運(yùn)算【難度】：易2.（2017北京卷理）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】：B【解析】：，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以 ，解得：，故選B【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算【難度】：易3.（2017北京卷理）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）B.C.D.【答案】：C【解析】：時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)，成立，第二次進(jìn)入循環(huán),，成立，

2、第三次進(jìn)入循環(huán)， 否，輸出，故選C【考點(diǎn)】：程序框圖【難度】：易4.（2017北京卷理）若，滿足 則的最大值為（ ）A.1 【答案】：D【解析】：如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D【考點(diǎn)】：二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【難度】：易5.（2017北京卷理）已知函數(shù)，則（ ）A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】：A【解析】：，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù),是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)故選A【考點(diǎn)】：函數(shù)奇偶性+單調(diào)性【難度】：易

3、6.（2017北京卷理）設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】：A【解析】：若，使，即兩向量反向，夾角是，那么，反過來，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A【考點(diǎn)】：向量、不等式、邏輯運(yùn)算【難度】：易7.（2017北京卷理）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（ ）A.B.C.D.2【答案】：B【解析】：幾何體是四棱錐，如圖，紅色線為三視圖還原后的幾何體，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線，故選B【考點(diǎn)】：三視圖【難度】：易8（20

4、17年北京理）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為則下列各數(shù)中與最接近的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.【答案】：D【解析】：設(shè) ，兩邊取對(duì)數(shù)，所以，即最接近，故選D【考點(diǎn)】：對(duì)數(shù)運(yùn)算【難度】：中二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分9（2017年北京理）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù) 【答案】：【解析】：根據(jù)題意得且，解得【考點(diǎn)】：雙曲線離心率【難度】：易10（2017年北京理）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則=【答案】：1【解析】：由題意可知：【考點(diǎn)】：等差數(shù)列+等比數(shù)列【難度】：易11(2017年北京理)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

5、的最小值為_【答案】：1【解析】：由題意可知，所以【考點(diǎn)】：極坐標(biāo)【難度】：中12(2017年北京理)在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱若，=【答案】：【解析】：【考點(diǎn)】：三角函數(shù)定義+差角公式【難度】：易13(2017年北京理)能夠說明“設(shè)，是任意實(shí)數(shù)若，則”是假命題的一組整數(shù)，的值依次為_【答案】：，【解析】：取分別為不滿足，故此命題為假命題（此題答案不唯一）【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)易邏輯命題真假判斷【難度】：易14(2017年北京理)三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工

6、人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，記為第名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則，中最大的是_記為第名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則，中最大的是_【答案】：；【解析】：作圖可得中點(diǎn)縱坐標(biāo)比，中點(diǎn)縱坐標(biāo)大，所以第一位選，分別作，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，比較直線，斜率，可得最大，所以選【考點(diǎn)】：實(shí)際應(yīng)用，極坐標(biāo)，對(duì)稱【難度】：中三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題13分）在中，（）求的值；（）若，求的面積【答案】：（）（）【解析】：（）在ABC中，因?yàn)?，所以由正弦定理得（）因?yàn)椋?，由，所以由余弦定理得，解得或（舍）所以ABC的面積【考點(diǎn)】：正弦定理+余弦

7、定理+三角形面積公式【難度】：易16（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，（）求證：為的中點(diǎn)；（）求二面角的大小；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】：（）見解析（）（）【解析】：（）設(shè)交點(diǎn)為，連接因?yàn)槠矫?，平面平面，所以因?yàn)槭钦叫?，所以為的中點(diǎn)，在中，知為的中點(diǎn)（）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)槭钦叫危匀鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，于是平面的法向量為，所以由題知二面角為銳角，所以它的大小為（）由題意知，設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為【考點(diǎn)】：立體

8、幾何+空間向量（二面角、正弦值）【難度】：易17（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選名患者隨機(jī)分成兩組，每組各名，一組服藥，另一組不服藥一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)和的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中 表示服藥者，表示未服藥者（）從服藥的名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)的值小于的概率；（）從圖中四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)的值大于 的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）試判斷這名患者中服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）【答案】：（）（）（）大于【解析】：（）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人

9、，此人指標(biāo)的值小于60的概率為（）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C所以的所有可能取值為0,1,2所以的分布列為012故的期望（）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差【考點(diǎn)】：分布列+數(shù)學(xué)期望+概率【難度】：易18（本小題14分）已知拋物線：過點(diǎn)過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線，交于點(diǎn)，其中為原點(diǎn)（）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證：為線段的中點(diǎn)【答案】：（）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（）見解析【解析】：（）由拋物線C：過點(diǎn)，得所以拋物線的方程為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（）當(dāng)直線的斜率不存

10、在或斜率為0時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線的斜率存在且不為0設(shè)為點(diǎn)，過的直線方程為（），設(shè)，顯然，均不為0由，得考慮，由題意，所以則， 由題意可得，橫坐標(biāo)相等且同為，因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為若要證明為的中點(diǎn)，只需證，即證，即證，將代入上式，即證，即證 將代入得 ，化簡(jiǎn)有恒成立，所以恒成立故A為線段BM的中點(diǎn)【考點(diǎn)】：橢圓的性質(zhì)+直線與橢圓的關(guān)系【難度】：中19（本小題13分）已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】（）因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以曲線

11、在點(diǎn)處的切線方程為（）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減所以對(duì)任意有，即所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為【考點(diǎn)】：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算+導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用【難度】：中20（本小題13分）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（）若，求的值，并證明是等差數(shù)列；（）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列【答案】見解析【解析】（）易知，且，所以，下面證明：對(duì)任意且，都有當(dāng)且時(shí)，且因此對(duì)任意且，則又，故對(duì)均成立，從而是等差數(shù)列（）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，下面我們考慮的取值對(duì)，考慮其中任意項(xiàng)且，下面分，三種情況進(jìn)行討論（1）若，則若，則則對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故是等差數(shù)列，則則對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故是等差數(shù)列此時(shí)取，則是等差數(shù)列，命題成立（2）若，則此時(shí)為一個(gè)關(guān)于的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)故必存在，使得當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，