高中數(shù)學(xué)求值域的10種方法

1、一直接法（觀察法）：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例1求函數(shù)的值域?！窘馕觥?，函數(shù)的值域為?！揪毩暋?求下列函數(shù)的值域：；，。【參考答案】；。二配方法：適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例2求函數(shù)（）的值域?！窘馕觥?。，。函數(shù)（）的值域為。例3求函數(shù)的值域?！窘馕觥勘绢}中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計算不妨設(shè)：配方得：利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得，從而得出：。說明：在求解值域(最值)時，遇到分式、根式、對數(shù)式等類型時要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為：。例4若，試求的最大值?！痉治雠c解】本題可看成第一象限內(nèi)動點在直線上

2、滑動時函數(shù)的最大值。利用兩點，確定一條直線，作出圖象易得：，y=1時，取最大值?！揪毩暋?求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：；，；?！緟⒖即鸢浮浚蝗春瘮?shù)法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。適用類型：分子、分母只含有一次項的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型。例5求函數(shù)的值域。分析與解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出，從而便于求出反函數(shù)。反解得，故函數(shù)的值域為?！揪毩暋?求函數(shù)的值域。2求函數(shù)，的值域?！緟⒖即鸢浮?；。四分離變量法：適用類型1：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一

3、般也可以利用反函數(shù)法。例6：求函數(shù)的值域。解：，函數(shù)的值域為。適用類型2：分式且分子、分母中有相似的項，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常數(shù))的形式。例7：求函數(shù)的值域。分析與解：觀察分子、分母中均含有項，可利用分離變量法；則有。不妨令：從而。注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除，因為作為分母.所以故。另解：觀察知道本題中分子較為簡單，可令，求出的值域，進而可得到的值域?！揪毩暋?求函數(shù)的值域?！緟⒖即鸢浮?五、換元法：對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當根式里是一次式時，用代數(shù)換

4、元；當根式里是二次式時，用三角換元。例8：求函數(shù)的值域。解：令（），則，。當，即時，無最小值。函數(shù)的值域為。例9：求函數(shù)的值域。解：因，即。故可令，。，故所求函數(shù)的值域為。例10.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令X=，則有當時，當時，而此時有意義。故所求函數(shù)的值域為例11. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當時，當時，故所求函數(shù)的值域為。例12. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數(shù)的值域為：六、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例13：求函數(shù)的值域。解：由變形得，

5、當時，此方程無解；當時，解得，又，函數(shù)的值域為七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例14：求函數(shù)的值域。解：當增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。，函數(shù)的值域為。例15. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以在上也為無上界的增函數(shù)所以當x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為適用類型2：用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。（原理：同增異減）例16：求函數(shù)的值域。分析與解：由于函數(shù)本身是由一個對數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：配方得：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增

6、異減）知：。八、利用有界性：一般用于三角函數(shù)型，即利用等。例17：求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域為注：該題還可以使用數(shù)形結(jié)合法。，利用直線的斜率解題。例18：求函數(shù)的值域。解：由解得，函數(shù)的值域為。九、圖像法（數(shù)形結(jié)合法）：其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例19：求函數(shù)的值域。解：，的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)的值域為例20. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點

7、P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為：例21. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為例22. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：例23、：求函數(shù)的值域.分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點求直線的斜率的公式，將原函數(shù)

8、視為定點(2，3)到動點的斜率，又知動點滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點的連線和圓相切時取得，從而解得：點評：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率，結(jié)合圖形，從而使問題得到巧解。例24求函數(shù)的值域。分析與解答：令，則，原問題轉(zhuǎn)化為 ：當直線與圓在直角坐標系的第一象限有公共點時，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當經(jīng)過點時，；當直線與圓相切時，。所以：值域為十：不等式法：利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例25. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數(shù)的值域為：例26. 求函數(shù)的值域。解：當且僅當，即當時，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域為：十一、多種方法綜合運用：例27. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：注：先換元，后用不等式法例28. 求函數(shù)的