高考真題——理科數(shù)學(xué)安徽卷

1、數(shù)學(xué)（理科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（ ）（A） （B） （C） （D）（3）設(shè)：，：，則是成立的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（4）下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（ ）（A）（B）（C）（D）（5）已知是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若垂直于同一平面，則與平

2、行（B）若平行于同一平面，則與平行（C）若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（D）若不平行，則與不可能垂直于同一平面（6）若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為（ ） （A）8 （B）15（C）16（D）32（7）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ）（A） （B）（C）（D）（8）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A）（B）（C）（D）（9）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）（A），（B），（C），（D），（10）已知函數(shù)（均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A）（B）（C）（D）二填空題：本大

3、題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。（11）的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字填寫答案）。（12）在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值是_。（13）執(zhí)行如圖所示的程序框圖（算法流程圖），輸出的為_。（14）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于_。（15）設(shè)，其中均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是_（寫出所有正確命題的編號(hào)）。；。三解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)。（16）（本小題滿分12分）在中，在中，點(diǎn)在邊上，求的長(zhǎng)。（17）（本小題滿分12分）已知2件次品和3件正品放在一起

4、，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果。求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）。（18）（本小題滿分12分）設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，證明：。（19）（本小題滿分13分）如圖所示，在多面體中，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于。證明：；求二面角余弦值。（20）（本小題滿分13分）橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)

5、在線段上，滿足，直線的斜率為。求的離心率；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的方程。（21）（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)。討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值；記，求函數(shù)在上的最大值；在中，取，求滿足時(shí)的最大值。2015年普通高校招生全國(guó)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷安徽卷解答一BAACDCBDCA二1135；126；133；4；1516解：設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，由余弦定理得，故。又由正弦定理可得。又，故。所以在中由正弦定理可得。17解：記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件，則；的可能取值為，200300400，。故的分布列如右表，且。18解：由題，

6、故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，從而切線方程為。令，得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由知，故。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以。綜上得證。19解：由正方形的性質(zhì)可知，且，所以四邊形是平行四邊形，從而。又平面，平面，于是平面。又平面，平面平面，所以；因四邊形均為正方形，故，且。以為原點(diǎn)，分別以為軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。可得點(diǎn)的坐標(biāo)，。因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以。設(shè)為平面的法向量，則。因，故。取得。設(shè)為平面的法向量，則。因，故。取得。結(jié)合圖形知二面角余弦值為。20解：由題知，又，故，即，故，；由可知：，。設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)。因在直線上，且，故，解得。所以，從而：。21證明：由題，故。因，故，。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)存在唯一的，使得