第11章 排隊論

1、第第11章章 排隊論排隊論重慶三峽學院重慶三峽學院 關文忠關文忠http:/ 【知識結構】【知識結構】導入案例：主任醫(yī)師招聘問題導入案例：主任醫(yī)師招聘問題某三甲醫(yī)院肝膽內科有主任醫(yī)師某三甲醫(yī)院肝膽內科有主任醫(yī)師1名，由于他的存在而使前來診療的患名，由于他的存在而使前來診療的患者大增。根據一個月的統計，平均每者大增。根據一個月的統計，平均每h到達醫(yī)院的患者到達醫(yī)院的患者6名，并對各時名，并對各時間段統計，經回歸符合泊松分布；該醫(yī)生每間段統計，經回歸符合泊松分布；該醫(yī)生每h可診療可診療4名，但患者病情名，但患者病情不同，分布也不是均勻的，對每位患者就診時間的統計，經回歸，符合不同，分布也不是均勻的

2、，對每位患者就診時間的統計，經回歸，符合指數分布。指數分布。醫(yī)院配備有電子回饋信息系統，及時觀察到已掛號排隊等候的患者數量。醫(yī)院配備有電子回饋信息系統，及時觀察到已掛號排隊等候的患者數量。當排隊等候人數少于當排隊等候人數少于5人時，掛號系統可以掛號。當前來就診的患者掛人時，掛號系統可以掛號。當前來就診的患者掛上號若醫(yī)生空閑則可直接就診，否則排隊等候。醫(yī)生采取先到先服務的上號若醫(yī)生空閑則可直接就診，否則排隊等候。醫(yī)生采取先到先服務的規(guī)則。若前來就診的患者掛不上號，則立即到鄰近的一家醫(yī)院就診。規(guī)則。若前來就診的患者掛不上號，則立即到鄰近的一家醫(yī)院就診。經統計，經該主任醫(yī)師診療的患者，其診療費、檢驗

3、費、醫(yī)藥費等醫(yī)院經統計，經該主任醫(yī)師診療的患者，其診療費、檢驗費、醫(yī)藥費等醫(yī)院可獲純收入可獲純收入100元；主任醫(yī)師可高薪聘請，其薪金及住房和各種福利年元；主任醫(yī)師可高薪聘請，其薪金及住房和各種福利年均均25萬元，醫(yī)院實行每周萬元，醫(yī)院實行每周5天工作制，年工作日天工作制，年工作日250天，平均每天支付天，平均每天支付1000元的成本。當醫(yī)生過少，由于患者得不到服務離去而產生的損失元的成本。當醫(yī)生過少，由于患者得不到服務離去而產生的損失增加；當醫(yī)生過多，由于醫(yī)生空閑時間的增加也使醫(yī)院的成本增加。問：增加；當醫(yī)生過多，由于醫(yī)生空閑時間的增加也使醫(yī)院的成本增加。問：醫(yī)院應招聘多少名肝膽內科主任醫(yī)師

4、可使得盈利最大？醫(yī)院應招聘多少名肝膽內科主任醫(yī)師可使得盈利最大？導入案例：主任醫(yī)師招聘問題導入案例：主任醫(yī)師招聘問題此類排隊現象在日常生活中經常遇到，如客戶到銀行排隊辦理存貸款業(yè)此類排隊現象在日常生活中經常遇到，如客戶到銀行排隊辦理存貸款業(yè)務，出納員為客戶提供服務；汽車到加油站排隊，加注系統為汽車提供務，出納員為客戶提供服務；汽車到加油站排隊，加注系統為汽車提供加油服務；超市顧客到收銀臺前排隊，收款員為顧客提供交款服務；旅加油服務；超市顧客到收銀臺前排隊，收款員為顧客提供交款服務；旅客到公交車站排隊，公交車為旅客提供位移服務?？偷焦卉囌九抨?，公交車為旅客提供位移服務。排隊論的基本思想是排隊論

5、的基本思想是1910年丹麥電話工程師年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動電埃爾朗在解決自動電話設計問題時開始形成的，當時稱為話務理論。他在熱力學統計平衡理話設計問題時開始形成的，當時稱為話務理論。他在熱力學統計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統計平衡模型，并由此得到一組遞推狀論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導出著名的埃爾朗電話損失率公式。態(tài)方程，從而導出著名的埃爾朗電話損失率公式。自自20世紀初以來，電話系統的設計一直在應用這個公式。世紀初以來，電話系統的設計一直在應用這個公式。20世紀世紀30年年代前蘇聯數學家欣欽把處于統計平衡的電話呼叫流稱為

6、最簡單流；瑞典代前蘇聯數學家欣欽把處于統計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流；瑞典數學家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義；美國數學家費勒數學家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義；美國數學家費勒(W.Feller)關于生滅過程的研究；關于生滅過程的研究；20世紀世紀50年代初，英國數學家年代初，英國數學家D.G.肯肯德爾提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論德爾提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎；奠定了理論基礎；20世紀世紀70年代以來，人們開始研究排隊網絡和復雜年代以來，人們開始研究排隊網絡和復雜排隊問題的漸近解等，成為研究現代排隊論的新趨

7、勢。排隊問題的漸近解等，成為研究現代排隊論的新趨勢。本章主要內容本章主要內容11.1 基本概念基本概念11.1.1 排隊系統的一般表示排隊系統的一般表示11.1.2 排隊系統的三個特征排隊系統的三個特征11.1.3 排隊系統模型的分類排隊系統模型的分類11.1.4 排隊系統的主要性能指標排隊系統的主要性能指標11.1.5 排隊系統的輸入和輸出排隊系統的輸入和輸出11.2 生死過程生死過程11.3 單服務臺排隊系統模型單服務臺排隊系統模型11.3.1 M/M/1/（標準系統）（標準系統）11.3.2 M/M/1/N/（系統容量有限）（系統容量有限）11.3.3 M/M/1/m（顧客源有限）（顧客

8、源有限）11.4 多服務臺排隊系統模型多服務臺排隊系統模型11.4.1 M/M/s/系統系統11.4.2 M/M/s/N/系統系統11.4.3 M/M/s/m系統系統11.5 其他排隊系統模型其他排隊系統模型11.5.1 一般服務時間一般服務時間M/G/1模型模型11.5.2 定長服務時間定長服務時間M/D/1模型模型11.5.3 埃爾朗服務時間埃爾朗服務時間M/Ek/1模型模型11.5.3 具有優(yōu)先服務權的排隊具有優(yōu)先服務權的排隊模型模型11.6 排隊系統的優(yōu)化排隊系統的優(yōu)化11.6.1 M/M/1模型中的最優(yōu)服務模型中的最優(yōu)服務率率11.6.2 M/M/s模型中的最優(yōu)服務模型中的最優(yōu)服務臺

9、數臺數本章小結本章小結11.1.1 排隊系統的一般表示排隊系統的一般表示11.1.2 排隊系統的三個特征排隊系統的三個特征排除系統的三個特征是指：輸入過程、排隊規(guī)則、服務機構。排除系統的三個特征是指：輸入過程、排隊規(guī)則、服務機構。1輸入過程輸入過程輸入是指顧客到達服務系統的情況?？赡苡邢铝星闆r，但并不相互排斥：輸入是指顧客到達服務系統的情況。可能有下列情況，但并不相互排斥：（1）按顧客源總數劃分為有限和無限兩大類。如工廠需要檢修的機器是有）按顧客源總數劃分為有限和無限兩大類。如工廠需要檢修的機器是有限的，準備進京觀光旅游的游客是無限的。限的，準備進京觀光旅游的游客是無限的。（2）按顧客到達的人

10、數可以劃分為單個到達和成批到達。如到超市購買商）按顧客到達的人數可以劃分為單個到達和成批到達。如到超市購買商品的顧客是單個的，到港國際航班等待安檢的旅客是成批的。品的顧客是單個的，到港國際航班等待安檢的旅客是成批的。（3）按顧客到達時間間隔是否固定可以劃分為確定型和隨機型。如定期運）按顧客到達時間間隔是否固定可以劃分為確定型和隨機型。如定期運行的班車、班輪、班機是確定的，到加油站加油的汽車是隨機的。對隨機行的班車、班輪、班機是確定的，到加油站加油的汽車是隨機的。對隨機的顧客到達需要知道單位時間到達的顧客數或時間間隔的概率分布。的顧客到達需要知道單位時間到達的顧客數或時間間隔的概率分布。（4）按

11、接受過服務的顧客對顧客到達數是否有影響，劃分為相互獨立到達）按接受過服務的顧客對顧客到達數是否有影響，劃分為相互獨立到達和非相互獨立到達。如提供優(yōu)質服務的餐飲業(yè)所產生了大量和非相互獨立到達。如提供優(yōu)質服務的餐飲業(yè)所產生了大量“回頭客回頭客”，就屬于非相互獨立到達。我們只討論獨立到達情況。就屬于非相互獨立到達。我們只討論獨立到達情況。（5）按顧客相繼到達間隔時間的分布及其數字特征是否與時間有關可分為）按顧客相繼到達間隔時間的分布及其數字特征是否與時間有關可分為平穩(wěn)與非平穩(wěn)的。相繼到達的間隔時間分布及其數學期望、方差等數字特平穩(wěn)與非平穩(wěn)的。相繼到達的間隔時間分布及其數學期望、方差等數字特征都與時間

12、無關，稱為平穩(wěn)的，否則是非平穩(wěn)的。一般非平穩(wěn)情況的數學征都與時間無關，稱為平穩(wěn)的，否則是非平穩(wěn)的。一般非平穩(wěn)情況的數學處理很困難，我們只討論平穩(wěn)狀況。處理很困難，我們只討論平穩(wěn)狀況。11.1.2 排隊系統的三個特征排隊系統的三個特征2排隊規(guī)則排隊規(guī)則排隊規(guī)則指到達排隊系統的顧客按怎樣的規(guī)則排隊等待。排隊規(guī)則指到達排隊系統的顧客按怎樣的規(guī)則排隊等待。（1）按顧客到達排隊系統時發(fā)現服務設施已被占用是否離去可分為損失制，）按顧客到達排隊系統時發(fā)現服務設施已被占用是否離去可分為損失制，等待制和混合制三種。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客隨即等待制和混合制三種。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用

13、，顧客隨即離去，稱為損失制（或稱即時制、消失制）；當顧客到達時，所有的服務離去，稱為損失制（或稱即時制、消失制）；當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客就排隊等待，直到接受完服務才離去，稱為等待制，例臺均被占用，顧客就排隊等待，直到接受完服務才離去，稱為等待制，例如出故障的機器排隊等待維修就是這種情況；介于損失制和等待制之間的如出故障的機器排隊等待維修就是這種情況；介于損失制和等待制之間的是混合制。是混合制。對于等待制，有下列服務規(guī)則：先到先服務（對于等待制，有下列服務規(guī)則：先到先服務（FCFS） 、先到后服務、先到后服務（LCFS） 、帶優(yōu)先服務權（、帶優(yōu)先服務權（PR） 、隨機服務（、隨

14、機服務（SIRO）等。）等。在后面研究的問題中均假設采取在后面研究的問題中均假設采取FCFS服務規(guī)則。服務規(guī)則。（2）按隊列長度是否有限，可分為隊長有限和隊長無限兩種情況。在限度）按隊列長度是否有限，可分為隊長有限和隊長無限兩種情況。在限度以內就排隊等待，超過一定限度就離去。以內就排隊等待，超過一定限度就離去。（3）按排隊方式分為單列、多列。對于多列排隊的顧客有的可以相互轉移，）按排隊方式分為單列、多列。對于多列排隊的顧客有的可以相互轉移，有的則不能（用欄桿等隔開）；有的排隊顧客因等候時間過長而離開，有有的則不能（用欄桿等隔開）；有的排隊顧客因等候時間過長而離開，有的則不能（如在高速公路行駛的

15、汽車必須堅持到高速出口）。我們所討論的則不能（如在高速公路行駛的汽車必須堅持到高速出口）。我們所討論的問題限制在隊列間不能相互轉移，中途不能退出的情形。的問題限制在隊列間不能相互轉移，中途不能退出的情形。11.1.2 排隊系統的三個特征排隊系統的三個特征3服務機構服務機構從機構形式和工作情況來看有以下幾種：從機構形式和工作情況來看有以下幾種：（1）服務機構可以沒有服務員，也可以有一個或多個服務員）服務機構可以沒有服務員，也可以有一個或多個服務員（服務臺、窗口）。如超市的貨架可以沒有服務員，但交款時可（服務臺、窗口）。如超市的貨架可以沒有服務員，但交款時可能有多個服務員。能有多個服務員。（2）多

16、個服務臺的情況中，可以是平行排列的（并聯），也可）多個服務臺的情況中，可以是平行排列的（并聯），也可以是前后排列的（串聯），也可以是混合的。以是前后排列的（串聯），也可以是混合的。（3）服務方式可以對單個顧客進行，也可成批進行。我們只討）服務方式可以對單個顧客進行，也可成批進行。我們只討論單個服務情況。論單個服務情況。（4）服務時間可分為確定型的和隨機型的。如旅客列車對乘客）服務時間可分為確定型的和隨機型的。如旅客列車對乘客的服務是按列車時刻表進行位移服務的，是確定型的；因患者病的服務是按列車時刻表進行位移服務的，是確定型的；因患者病情不同，醫(yī)生診斷的時間不是確定的，是隨機型的。情不同，醫(yī)生診

17、斷的時間不是確定的，是隨機型的。（5）服務時間的分布總假定是平穩(wěn)的，即分布的期望值、方差）服務時間的分布總假定是平穩(wěn)的，即分布的期望值、方差等參數不受時間的影響。等參數不受時間的影響。S S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S1 S2 S3 S4 S5 (a)單臺單隊 (b)多隊多臺并聯 (c)單隊多臺并聯 (d)單隊多臺串聯 (e)多臺混合 11.1.3 排隊系統模型的分類排隊系統模型的分類肯德爾（肯德爾（Kendall）于）于1953年提出了排隊服務系統的分類記號年提出了排隊服務系統的分類記號 ： 輸入輸入/輸出輸出/并聯的服務站數并聯的服務站數1971年國際排隊符號標準會上肯

18、德爾將上述分類記號擴充到六項，記年國際排隊符號標準會上肯德爾將上述分類記號擴充到六項，記為：輸入為：輸入/輸出輸出/并聯的服務站數并聯的服務站數/系統容量（隊長）系統容量（隊長）/系統狀態(tài)（顧客源數）系統狀態(tài)（顧客源數）/服務規(guī)則服務規(guī)則11.1.4 排隊系統的主要性能指標排隊系統的主要性能指標 求解排隊問題的目的，是研究排隊系統運行的效率，估計服務質量，確求解排隊問題的目的，是研究排隊系統運行的效率，估計服務質量，確定系統參數的最優(yōu)值，以決定系統結構是否合理、研究設計改進措施等。定系統參數的最優(yōu)值，以決定系統結構是否合理、研究設計改進措施等。因此必須確定用以判斷系統運行優(yōu)劣的基本數量指標。因

19、此必須確定用以判斷系統運行優(yōu)劣的基本數量指標。1常用指標常用指標（1）隊長（）隊長（Ls）和排隊長（）和排隊長（Lq）：隊長指系統內顧客數，包括正在接）：隊長指系統內顧客數，包括正在接受服務的顧客與排隊等待服務的顧客數（排隊長），即受服務的顧客與排隊等待服務的顧客數（排隊長），即系統中的顧客數系統中的顧客數=排隊等候服務的顧客數排隊等候服務的顧客數 + 正在接受服務的顧客數正在接受服務的顧客數（2）逗留時間（）逗留時間（Ws）和等待時間（）和等待時間（Wq）：逗留時間指顧客在排隊服）：逗留時間指顧客在排隊服務系統中從進入到服務完畢離去的平均逗留時間；等待時間指顧客排隊務系統中從進入到服務完畢離

20、去的平均逗留時間；等待時間指顧客排隊等待服務的平均等待時間。這對顧客來講是最關心的，每個顧客希望逗等待服務的平均等待時間。這對顧客來講是最關心的，每個顧客希望逗留時間或等待時間越短越好。留時間或等待時間越短越好。（3）服務機構工作強度：指服務機構累計的工作時間占全部時間的比）服務機構工作強度：指服務機構累計的工作時間占全部時間的比例，是衡量服務機構利用效率的指標。即：例，是衡量服務機構利用效率的指標。即：1服務機構用于服務顧客的時間服務設施總的空閑時間工作強度服務設施總的服務時間服務設施總的服務時間11.1.4 排隊系統的主要性能指標排隊系統的主要性能指標 2指標間的關系指標間的關系設：設：表

21、示單位時間內表示單位時間內顧客的平均到達數，則顧客的平均到達數，則1/表示相鄰兩個顧客表示相鄰兩個顧客到達的平均間隔時間；到達的平均間隔時間；表示單位時間內被服表示單位時間內被服務完畢離去的平均顧客務完畢離去的平均顧客數，則數，則1/表示對每個表示對每個顧客的平均服務時間；顧客的平均服務時間；s表示服務系統中并聯表示服務系統中并聯的服務臺數，的服務臺數，Pn(t)在時刻在時刻t系統中恰系統中恰好有好有n個顧客的概率。個顧客的概率。則有下列關系：則有下列關系：,ssLWssLW或,qqLWqqLW或1sqWWsqLL0snnLnP1()qnn sLns P (Little公式)11.1.5 排隊

22、系統的輸入和輸出排隊系統的輸入和輸出排隊系統的輸入和輸出是指顧客到達流和服務時間流，它們的分排隊系統的輸入和輸出是指顧客到達流和服務時間流，它們的分布一般都是非負的隨機變量。最常見的是泊松分布、指數分布和布一般都是非負的隨機變量。最常見的是泊松分布、指數分布和埃爾朗分布。然而在研究具體問題時，究竟是服從哪種分布呢？埃爾朗分布。然而在研究具體問題時，究竟是服從哪種分布呢？通常抽取到達時間間隔和服務時間樣本，統計其分布（經驗分通常抽取到達時間間隔和服務時間樣本，統計其分布（經驗分布），并按照統計學的方法進行檢驗（如布），并按照統計學的方法進行檢驗（如 檢驗），以確定服從檢驗），以確定服從哪種理論分

23、布。為此，我們先介紹常用的泊松分布、指數分布和哪種理論分布。為此，我們先介紹常用的泊松分布、指數分布和埃爾朗分布，之后介紹經驗分布檢驗的埃爾朗分布，之后介紹經驗分布檢驗的Excel操作。操作。1.泊松分布（最簡單流）泊松分布（最簡單流）2.指數分布指數分布3.埃爾朗分布埃爾朗分布4.經驗分布經驗分布21.最簡單流（泊松分布）最簡單流（泊松分布）所謂最簡單流，是指在所謂最簡單流，是指在t這段時間內有這段時間內有k個顧客來到個顧客來到服務系統服務系統的概率的概率服從泊松（服從泊松（Poisson）分布，故也稱為泊松流。即：）分布，故也稱為泊松流。即：1.最簡單流（泊松分布）最簡單流（泊松分布）最簡

24、單流需要滿足以下三個條件：最簡單流需要滿足以下三個條件：（1）平穩(wěn)性）平穩(wěn)性 指在一定時間間隔內，來到服務系統有指在一定時間間隔內，來到服務系統有k個顧客的概個顧客的概率僅與這段時間間隔的長短有關，而與這段時間的起始時刻無關；率僅與這段時間間隔的長短有關，而與這段時間的起始時刻無關；（2）無后效性）無后效性 指在不相交的時間區(qū)間內到達的顧客數是相互獨指在不相交的時間區(qū)間內到達的顧客數是相互獨立的，或者說在區(qū)間立的，或者說在區(qū)間a, a+t來到來到k個顧客的概率與時間個顧客的概率與時間a之前來到之前來到多少個顧客無關；多少個顧客無關；（3）普通性）普通性 指在足夠小的時間區(qū)間內只能有一個顧客到達

25、，不指在足夠小的時間區(qū)間內只能有一個顧客到達，不可能有兩個以上顧客同時到達。可能有兩個以上顧客同時到達。1.最簡單流（泊松分布）最簡單流（泊松分布）最簡單流的一些性質：最簡單流的一些性質：（1）參數）參數代表單位時間內到達顧客的平均數代表單位時間內到達顧客的平均數證證 由于考慮單位時間，取由于考慮單位時間，取t=1，其數學期望為：，其數學期望為： （2）在）在t,t+t 沒有顧客到達的概率為沒有顧客到達的概率為1-t +o(t)證證 在時間在時間t 沒有顧客到達的概率為沒有顧客到達的概率為 ，將右端展開為麥克勞，將右端展開為麥克勞林級數有：林級數有： 當當t0 時，從第時，從第3項開始為項開始

26、為t 的高階無窮小，故結論得證。的高階無窮小，故結論得證。（3）在）在t,t+t 內恰好有內恰好有1個顧客到達的概率為個顧客到達的概率為 t +o(t)證證 在在 t,t+t內恰好有內恰好有1個顧客到達的概率為個顧客到達的概率為 ，將，將的麥克勞林級數代入，結論得證。的麥克勞林級數代入，結論得證。1001(1)!(1)!kkkkkkkPkeekk0( )tP te23()()1().2!3!tttet 1()tPtet te2指數分布的服務時間指數分布的服務時間 指數分布的性質指數分布的性質 3階埃爾朗（階埃爾朗（Erlang）分布）分布4經驗分布經驗分布例例:大連港大連港1979年年500噸

27、以上非定期進港航班噸以上非定期進港航班(數據見下頁數據見下頁)(1)統計頻數分布統計頻數分布(2)檢驗符合泊松分布嗎檢驗符合泊松分布嗎?1979年大連港非定期年大連港非定期500萬噸以上貨船進港航班萬噸以上貨船進港航班第第1步步:求相關參數求相關參數.=AVERAGE(B2:M32)求平均值求平均值=STDEV(B2:M32)求標準差求標準差=MAX(B2:M32)求最大值求最大值第第2步步:統計頻數統計頻數由最大值列出區(qū)間點由最大值列出區(qū)間點由由=frequency(B2:M32,N6:N16)統計頻數統計頻數(Ctrl+Shift+Enter)由由=365poisson(O6,N$3,0)

28、求求泊松律泊松律第第3頻頻:假設檢驗假設檢驗由由=Q6:Q16*O17:P17/Q17求理求理論頻數論頻數由由=chitest(O6:P16,R6:S16)求卡求卡方檢驗的方檢驗的P值值推斷推斷:當當P值值0.05不拒絕泊松分布不拒絕泊松分布的原假設的原假設數據文檔數據文檔(雙擊打開講解演示雙擊打開講解演示)11.2 生死過程生死過程nn+1n-1 t期間期間 t后后(1)生生0死死0 n(2)生生1死死0 n+1(3)生生0死死1 n-1(4)生生1死死1 n生死過程的平衡方程生死過程的平衡方程1 100PP0101PP00221 11 1PPPP221 11 100PPPP11 11 10

29、10PPP1 1P1212PP102021PP 110021nnnPP 同理依次推得11.3.1 標準的標準的M/M/1/系統系統1M/M/1/模型需要滿足的條件模型需要滿足的條件標準的M/M/1/模型是指滿足下列條件的排隊系統：（1）輸入過程：顧客源無限，單個到來，相互獨立，到達平均數為常數，且服從泊松分布，到達過程是平穩(wěn)的。（2）排隊規(guī)則：單隊，隊長不受限制，先到先服務。（3）服務機構：單服務臺、平均服務率為常數，對各顧客服務時間相互獨立，服從相同的指數分布，服務過程也是平穩(wěn)的。2M/M/1/系統運行指標系統運行指標由于到達平均數和服務平均數均為常數，即01112.,.nn11021nnn

30、nnC 于是有1式中稱為業(yè)務密度0011nnnnC001/1nnPC 00(1)nnnnPC PP0snnLnP0(1)nnn10(1)nnn 0(1)nndd 0(1)nndd 1(1)1dd 11ssLW111()qsWW qqLW案例案例11-1（請閱讀教材案例11-1）到達率3臺/天，服務率4臺/天，150臺設備（顧客源150可視為無限）。問題：等待時間過長。要求：顧客的平均等待時間不應超過2h。現問：應如何對問題進行分析？分析分析 每個地區(qū)只有一個技術服務代表，為單服務臺；該地區(qū)用戶150戶，可近似于無窮大，采用M/M/1/排隊系統模型。3343sL0.75 32.25qsLL111

31、43sW0.75qsWW可見，當每天維修電話從3個減少到2個時，顧客平均等待時間為8h的0.25倍，即2h，滿足管理層的要求。排隊等待的顧客數也從平均2.25減少到0.5。決策決策 維修量與顧客總體成正比例，目前每個服務代表負責150個顧客總體，減少到100個，可增加技術服務代表，每個負責有100個用戶的區(qū)域。11.3.2 系統容量有限的系統容量有限的M/M/1/N/系統系統M/M/1/N/模型，由于系統容量有限，當nN，顧客不再進入系統，其他條件同M/M/1/模型。其速率圖如下：01112.,.nn由于 有狀態(tài)轉移差分方程：110210nnnnnnNCnN 當時10nnNCnN0011/1N

32、nnPCN1/(1),0nNnNPnN當時1011NNnnC01011/1NnNnPC10110nNnnnNPC PnN0NsnnLnP11011NnNnn1011NnNndd1011NnNndd111111NNdd11(1)11NNN11(1)limlim111NsNNNNL因所以所以M/M/1/模型是模型是M/M/1/N/的特例。的特例。M/M/1/N/主要指標的計算主要指標的計算11(1)11NsNNLLittle公式是否還適用？答案是肯定的，但由于隊長受限，真正進入服公式是否還適用？答案是肯定的，但由于隊長受限，真正進入服務系統的顧客要小于到達率務系統的顧客要小于到達率，我們稱為有效到

33、達率，我們稱為有效到達率eff1()Nqnn sLns P 2(1)NnnnP22NNnnnnnPP101022NNnnnnPnPPPPP000NNnnnnnPPP0(1)qsLLP0(1)effPsseffLWqqeffLWeffsqLL由前所述由前所述【例【例11-1】某單人美發(fā)店】某單人美發(fā)店有有3把椅子以備顧客休息把椅子以備顧客休息等待。后來的顧客發(fā)現等待。后來的顧客發(fā)現3把椅子都坐滿時就不進店把椅子都坐滿時就不進店等待而離開。顧客平均到等待而離開。顧客平均到達達3人人/h，理發(fā)時間平均，理發(fā)時間平均15min/人。要求：人。要求：（1）某顧客一到達就能）某顧客一到達就能理發(fā)的概率；理

34、發(fā)的概率；（2）有效到達率；）有效到達率； （3）排隊等待顧客的平）排隊等待顧客的平均數；均數；（4）顧客在理發(fā)店平均）顧客在理發(fā)店平均等待時間；等待時間；（5）顧客一到就離開的）顧客一到就離開的概率。概率。11.3.3 顧客源有限的顧客源有限的M/M/1/m系統系統M/M/1/m系統除顧客源有限制外，其余條件與M/M/1/系統相同。設顧客源數（設備數）m，系統中顧客數（等待維修和正在維修的設備數）n，故障率平均服務率011,(1) ,(1)nmmmn 由于11021!,()!0nnnnmnmCmnnm 0001/(1)miinnPCPC Pnm001/mnnPC0nnPC P,(1)nnnP

35、nP0msnnLnP1()mqnn sLns P 0()mnnsnPmL/qqWL/ssWL 主要指標計算過程：【例【例11-2】一名工人負責看管】一名工人負責看管10臺自動機床，在加料或刀具更換時就臺自動機床，在加料或刀具更換時就自動停車，等待工人照管。設平均每臺機床兩次停車間隔時間自動停車，等待工人照管。設平均每臺機床兩次停車間隔時間2h，需，需要工人照管的平均時間為要工人照管的平均時間為12min，設以上兩項時間均服從指數分布，設以上兩項時間均服從指數分布，計算該系統的各項指標。計算該系統的各項指標。解解 單臺平均停車間隔時間單臺平均停車間隔時間2h，則每臺單位時間停車率為，則每臺單位時

36、間停車率為0.5（=0.5）；）；對每臺停車的機床平均照管時間對每臺停車的機床平均照管時間12min，單位時間照管的臺數為，單位時間照管的臺數為5（=5）,/=0.5/5=0.1!,()!nnmCnmmn11.4.1 標準的標準的M/M/s/系統系統1模型需滿足的前提條件標準的多服務設施排隊系統規(guī)定的條件：（1）顧客到達率為常數（n=），服從泊松分布；（2）每臺服務率為常數，服從指數分布；（3）單隊排隊，隊長不受限制，排隊規(guī)則FCFS；（4）各服務臺相互獨立，不搞協作。11.4.1 標準的標準的M/M/s/系統系統2模型指標的計算設服務臺數為s，則有：,nnnssns110211101211!

37、1()()()( !)!nnnnnnnn ssn snssnsnCnssss s 【例11-3】有2個油泵的加油站，平均加注一輛汽車需要1.2min，平均每h有80臺汽車前來加油。到達時間服從泊松分布，服務時間間隔服從指數分布。要求確定：（1）預期在加油站的汽車數；（2）預期汽車在加油站停留多長時間；（3）某個油泵空閑的概率。解 每個油泵服務率50輛/h，到達率80輛/h。1!1!nnnn snsnCnss s11.4.1 標準的標準的M/M/s/系統系統31個M/M/s/系統與多個M/M/1/系統運行指標的比較11.4.2 系統容量有限的系統容量有限的M/M/s/N/系統系統對于容量有限的對于容量有限的M/M/s/N/系統，由于多于系統，由于多于N個時不允許進入服務系統，個時不允許進入服務系統，故有故有1!1!0nnnn snsnCsnNs snN11.4.3 顧客源有限的顧客源有限的M/M/s/m系統系統如如m臺設備臺設備,s個工人看管個工人看管,故障率相同故障率相同,維修水平一樣維修水平一樣.()0nmnnmnm0nnnsssnmnm11021!()! !()! !0nnnnnn smnsmn nCmsnmmn s snm