圓冪定理講義帶答案

1、圓冪定理STEP 1:進門考理念：1. 檢測垂徑定理的基本知識點與題型。 2. 垂徑定理典型例題的回顧檢測。 3. 分析學生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。（1）例題復習。1. （2015夏津縣一模）一副量角器與一塊含30銳角的三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點C落在量角器的直徑MN上，頂點A，B恰好都落在量角器的圓弧上，且ABMN若AB=8cm，則量角器的直徑MN= cm【考點】M3：垂徑定理的應用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】作CDAB于點D，取圓心O，連接OA，作OEAB于點E，首先求得CD的長，即OE的長，在直角AOE中，利用勾股定理求得半徑OA的長，則MN即可求解【解答】解：作CD

2、AB于點D，取圓心O，連接OA，作OEAB于點E在直角ABC中，A=30，則BC=AB=4cm， 在直角BCD中，B=90A=60，CD=BCsinB=4=2（cm）， OE=CD=2，在AOE中，AE=AB=4cm，則OA=2（cm）， 則MN=2OA=4（cm） 故答案是：4【點評】本題考查了垂徑定理的應用，在半徑或直徑、弦長以及弦心距之間的計算中，常用的方法是轉化為解直角三角形2. （2017阿壩州）如圖將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為（）A2cm BcmC2cm D2cm【考點】M2：垂徑定理；PB：翻折變換（折疊問題）【分析】通過作輔助線，過點O作

3、ODAB交AB于點D，根據(jù)折疊的性質可知OA=2OD，根據(jù)勾股定理可將AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長【解答】解：過點O作ODAB交AB于點D，連接OA，OA=2OD=2cm， AD=（cm），ODAB， AB=2AD=2cm 故選：D【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用，正確應用勾股定理是解題關鍵3. （2014瀘州）如圖，在平面直角坐標系中，P的圓心坐標是（3，a）（a3），半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被P截得的弦AB的長為，則a的值是（）A4 B C D【考點】M2：垂徑定理；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；KQ：勾股定理【專題】11 ：計算題；16 ：壓軸題【分析】PCx

4、軸于C，交AB于D，作PEAB于E，連結PB，由于OC=3，PC=a，易得D點坐標為（3，3），則OCD為等腰直角三角形，PED也為等腰直角三角形由PEAB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE=AB=2，在RtPBE中，利用勾股定理可計算出PE=1，則PD=PE=，所以a=3+【解答】解：作PCx軸于C，交AB于D，作PEAB于E，連結PB，如圖，P的圓心坐標是（3，a）， OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3， D點坐標為（3，3）， CD=3，OCD為等腰直角三角形， PED也為等腰直角三角形，PEAB， AE=BE=AB=4=2， 在RtPBE中，PB=3，PE=， PD=PE=， a=

5、3+ 故選：B【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質4. （2013內江）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx3k+4與O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為 【考點】FI：一次函數(shù)綜合題【專題】16 ：壓軸題【分析】根據(jù)直線y=kx3k+4必過點D（3，4），求出最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A（13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案【解答】解：直線y=kx3k+4=k（x3）+4， k（x3）=

6、y4，k有無數(shù)個值， x3=0，y4=0，解得x=3，y=4，直線必過點D（3，4）， 最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，點D的坐標是（3，4）， OD=5，以原點O為圓心的圓過點A（13，0）， 圓的半徑為13，OB=13， BD=12， BC的長的最小值為24； 故答案為：24【點評】此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質，關鍵是求出BC最短時的位置STEP 2:新課講解教學目標1、 熟練掌握圓冪定理的基本概念。2、 熟悉有關圓冪定理的相關題型，出題形式與解題思路。3、 能夠用自己的話敘述圓冪定理的概念。4、 通過課上例題，結合課下練習。掌握此部分

7、的知識。學習內容1、 相交弦定理相交弦定理（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 幾何語言：若弦AB、CD交于點P，則PAPB=PCPD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2=PAPB（相交弦定理推論） 基本題型：【例1】 （2014秋江陰市期中）如圖，O的弦AB、CD相交于點P，若AP=3，BP=4，CP=2，則CD長為（）A6B12C8D不能確定【考點】M7：相交弦定理【專題】11 ：計算題【分析】

8、由相交線定理可得出APBP=CPDP，再根據(jù)AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的長，從而得出CD即可【解答】解：APBP=CPDP，PD=，AP=3，BP=4，CP=2，PD=6，CD=PC+PD=2+6=8故選C【點評】本題考查了相交線定理，圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等【練習1】 （2015南長區(qū)一模）如圖，矩形ABCD為O的內接四邊形，AB=2，BC=3，點E為BC上一點，且BE=1，延長AE交O于點F，則線段AF的長為（）AB5C+1D【考點】M7：相交弦定理【分析】由矩形的性質和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的長【解答】解：四邊形ABCD是

9、矩形，B=90，AE=，BC=3，BE=1，CE=2，由相交弦定理得：AEEF=BECE，EF=，AF=AE+EF=；故選：A【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理、相交弦定理；熟練掌握矩形的性質和相交弦定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵 綜合題型【例2】 （2004福州）如圖，AB是O的直徑，M是O上一點，MNAB，垂足為NP、Q分別是、上一點（不與端點重合），如果MNP=MNQ，下面結論：1=2；P+Q=180；Q=PMN；PM=QM；MN2=PNQN其中正確的是（）ABCD【考點】M7：相交弦定理；M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理；S9：相似三角形的判定與

10、性質【專題】16 ：壓軸題【分析】根據(jù)圓周角定理及已知對各個結論進行分析，從而得到答案【解答】解：延長MN交圓于點W，延長QN交圓于點E，延長PN交圓于點F，連接PE，QFPNM=QNM，MNAB，1=2（故正確），2與ANE是對頂角，1=ANE，AB是直徑，可得PN=EN，同理NQ=NF，點N是MW的中點，MNNW=MN2=PNNF=ENNQ=PNQN（故正確），MN：NQ=PN：MN，PNM=QNM，NPMNMQ，Q=PMN（故正確）故選B【點評】本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質，垂徑定理求解 與代數(shù)結合的綜合題【例3】 （2016中山市模擬）如圖，正方形ABCD內接于O，點P

11、在劣弧AB上，連接DP，交AC于點Q若QP=QO，則的值為（）ABCD【考點】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理【專題】11 ：計算題【分析】設O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=rm利用相交弦定理，求出m與r的關系，即用r表示出m，即可表示出所求比值【解答】解：如圖，設O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=rm在O中，根據(jù)相交弦定理，得QAQC=QPQD即（rm）（r+m）=mQD，所以QD=連接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，即，解得所以，故選D【點評】本題考查了相交弦定理，即“圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”

12、熟記并靈活應用定理是解題的關鍵 需要做輔助線的綜合題【例4】 （2008秋蘇州期末）如圖，O過M點，M交O于A，延長O的直徑AB交M于C，若AB=8，BC=1，則AM= 【考點】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圓周角定理【分析】根據(jù)相交弦定理可證ABBC=EBBF=（EM+MB）（MFMB）=AM2MB2=8，又由直徑對的圓周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6【解答】解：作過點M、B的直徑EF，交圓于點E、F，則EM=MA=MF，由相交弦定理知，ABBC=EBBF=（EM+MB）（MFMB）=AM2MB2=8，AB是圓O的直徑，AMB=90，由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64

13、，AM=6【點評】本題利用了相交弦定理，直徑對的圓周角是直角，勾股定理求解2、 割線定理割線定理割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA，PDC是O的割線 PDPC=PAPB（割線定理） 由上可知：PT2=PAPB=PCPD 基本題型【例5】 （1998紹興）如圖，過點P作O的兩條割線分別交O于點A、B和點C、D，已知PA=3，AB=PC=2，則PD的長是（）A3B7.5C5D5.5【考點】MH：切割線定理【分析】由已知可得PB的長，再根據(jù)割線定理得PAPB=PCPD即可求得PD的長【解答】解：PA=3，AB=PC=2，PB=5，PA

14、PB=PCPD，PD=7.5，故選B【點評】主要是考查了割線定理的運用【練習2】 （2003天津）如圖，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，以點C為圓心、CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E求AB、AD的長【考點】MH：切割線定理；KQ：勾股定理【分析】RtABC中，由勾股定理可直接求得AB的長；延長BC交C于點F，根據(jù)割線定理，得BEBF=BDBA，由此可求出BD的長，進而可求得AD的長【解答】解：法1：在RtABC中，AC=3，BC=4；根據(jù)勾股定理，得AB=5延長BC交C于點F，則有：EC=CF=AC=3（C的半徑），BE=BCEC=1，BF=BC+CF=7；由割線定理得，

15、BEBF=BDBA，于是BD=；所以AD=ABBD=；法2：過C作CMAB，交AB于點M，如圖所示，由垂徑定理可得M為AD的中點，SABC=ACBC=ABCM，且AC=3，BC=4，AB=5，CM=，在RtACM中，根據(jù)勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，AD=2AM=【點評】此題主要考查學生對勾股定理及割線定理的理解及運用 綜合題型【例6】 （2015武漢校級模擬）如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為16，過小圓上任意一點P作大圓的弦AB，則PAPB的值是（）A16B16C4D4【考點】MH：切割線定理【分析】過P點作大圓的直徑CD，如圖，設大圓半徑為R，小圓半

16、徑為r，根據(jù)相交弦定理得到PAPB=（OCOP）（OP+OD）=R2r2，再利用R2r2=16得到R2r2=16，所以PAPB=16【解答】解：過P點作大圓的直徑CD，如圖，設大圓半徑為R，小圓半徑為r，PAPB=PCPD，PAPB=（OCOP）（OP+OD）=（Rr）（R+r）=R2r2，兩同心圓間的圓環(huán)（即圖中陰影部分）的面積為16，R2r2=16，R2r2=16，PAPB=16故選A【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧也考查了相交弦定理【思考】觀察講義課后練習最后一道題，是否有思路？3、 切割線定理切割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一

17、點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA，PDC是O的割線 PDPC=PAPB（割線定理） 由上可知：PT2=PAPB=PCPD【例7】 （2013長清區(qū)二模）如圖，PA為O的切線，A為切點，O的割線PBC過點O與O分別交于B、C，PA=8cm，PB=4cm，求O的半徑【考點】MH：切割線定理【專題】11 ：計算題【分析】連接OA，設O的半徑為rcm，由勾股定理，列式計算即可【解答】解：連接OA，設O的半徑為rcm，（2分）則r2+82=（r+4）2，（4分）解得r=6，O的半徑為6cm（2分）【點評】本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎知識要熟練掌握【練習3】 （20

18、13秋東臺市期中）如圖，點P是O直徑AB的延長線上一點，PC切O于點C，已知OB=3，PB=2則PC等于（）A2B3C4D5【考點】MH：切割線定理【專題】11 ：計算題【分析】根據(jù)題意可得出PC2=PBPA，再由OB=3，PB=2，則PA=8，代入可求出PC【解答】解：PC、PB分別為O的切線和割線，PC2=PBPA，OB=3，PB=2，PA=8，PC2=PBPA=28=16，PC=4故選C【點評】本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式PC2=PBPA4、 切線長定理切割線定理（1）圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長（2）切線長定理：從

19、圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量（4）切線長定理包含著一些隱含結論：垂直關系三處；全等關系三對；弧相等關系兩對，在一些證明求解問題中經常用到【例8】 （2015秦皇島校級模擬）如圖，一圓內切四邊形ABCD，且BC=10，AD=7，則四邊形的周長為（）A32B34C36D38【考點】MG：切線長定理【分析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等，從而可求得四邊形的周長【解答】解：由題意可

20、得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，所以四邊形的周長=2（7+10）=34故選：B【點評】此題主要考查了切線長定理，熟悉圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關鍵【練習4】 （2015岳池縣模擬）如圖，PA，PB切O于A，B兩點，CD切O于點E交PA，PB于C，D，若O的半徑為r，PCD的周長為3r，連接OA，OP，則的值是（）ABCD【考點】MG：切線長定理；MC：切線的性質【分析】利用切線長定理得出CA=CF，DF=DB，PA=PB，進而得出PA=r，求出即可【解答】解：PA，PB切O于A，B兩點，CD切O于點E交PA，PB于C，D，CA=CF，DF=DB，PA=PB，PC+C

21、F+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，PA=r，則的值是：=故選：D【點評】此題主要考查了切線長定理，得出PA的長是解題關鍵【例9】 （2014秋夏津縣校級期末）如圖，P為O外一點，PA，PB分別切O于A，B，CD切O于點E，分別交PA，PB于點C，D若PA=5，則PCD的周長和COD分別為（）A5，（90+P）B7，90+C10，90PD10，90+P【考點】MG：切線長定理【分析】根據(jù)切線長定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，從而求得三角形的周長=2PA；連接OA、OE、OB根據(jù)切線性質，P+AOB=180，再根據(jù)CD為切線可知COD=AOB【解答】解：PA、PB切O于A

22、、B，CD切O于E，PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；PCD的周長=PD+DE+PC+CE=2PA，即PCD的周長=2PA=10，；如圖，連接OA、OE、OB由切線性質得，OAPA，OBPB，OECD，DB=DE，AC=CE，AO=OE=OB，易證AOCEOC（SAS），EODBOD（SAS），AOC=EOC，EOD=BOD，COD=AOB，AOB=180P，COD=90P故選：C【點評】本題考查了切線的性質，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題，是基礎題型5、 圓冪定理請嘗試解出下列例題：【例10】 （2005廣州）如圖，在

23、直徑為6的半圓上有兩動點M、N，弦AM、BN相交于點P，則APAM+BPBN的值為 【考點】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圓周角定理【專題】16 ：壓軸題；25 ：動點型【分析】連接AN、BM，根據(jù)圓周角定理，由AB是直徑，可證AMB=90，由勾股定理知，BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，APPM=BPPN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+APPM+BP2+BPPN=AP2+BP2+2APPM=AP2+MP2+BM2+2APPM=AP2+（AP+PM）2=AP2+AM2=AB2=36【解答】解：連接AN、BM，AB是直徑，AMB=90BP2=MP2+BM2

24、APPM=BPPN原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+APPM+BP2+BPPN=AP2+BP2+2APPM=AP2+MP2+BM2+2APPM=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36【點評】本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解以上四條定理統(tǒng)稱為圓冪定理。（部分參考書以前三條為圓冪定理）圓冪定理：過平面內任一點P（P與圓心O不重合）做O的（切）割線，交O與點A、B，則恒有。（“”被稱為點P到O的冪。）Practice maSTEP 3:落實鞏固查漏補缺 理念：找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)。STEP 4:總結理念：本結課復習了什么？學到了什么？方法：學生口

25、述+筆記記錄。STEP 5:課后練習一選擇題（共5小題）1如圖所示，已知O中，弦AB，CD相交于點P，AP=6，BP=2，CP=4，則PD的長是（）A6B5C4D3【分析】可運用相交弦定理求解，圓內的弦AB，CD相交于P，因此APPB=CPPD，代入已知數(shù)值計算即可【解答】解：由相交弦定理得APPB=CPPD，AP=6，BP=2，CP=4，PD=APPBCP=624=3故選D【點評】本題主要考查的是相交弦定理“圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”2O的兩條弦AB與CD相交于點P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，則CD=（）A12cmB6cmC8cmD7cm

26、【分析】根據(jù)相交弦定理進行計算【解答】解：由相交弦定理得：PAPB=PCPD，DP=6cm，CD=PC+PD=2+6=8cm故選C【點評】本題主要是根據(jù)相交弦定理“圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”進行計算3如圖，O中，弦AB與直徑CD相交于點P，且PA=4，PB=6，PD=2，則O的半徑為（）A9B8C7D6【分析】根據(jù)相交弦定理得出APBP=CPDP，求出CP，求出CD即可【解答】解：由相交弦定理得：APBP=CPDP，PA=4，PB=6，PD=2，CP=12，DC=12+2=14，CD是O直徑，O半徑是7故選C【點評】本題考查了相交弦定理的應用，關鍵是能根據(jù)

27、定理得出APBP=CPDP4如圖，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是O的切線，B是切點，弦BCOA，連接AC，則陰影部分的面積等于（）ABCD【分析】連接OB，OC，易證：BOC是等邊三角形，且陰影部分的面積=BOC的面積，據(jù)此即可求解【解答】解：連接OB，OC，AB是圓的切線，ABO=90，在直角ABO中，OB=1，OA=2，OAB=30，AOB=60，OABC，COB=AOB=60，且S陰影部分=SBOC，BOC是等邊三角形，邊長是1，S陰影部分=SBOC=1=故選A【點評】本題主要考查了三角形面積的計算，以及切割線定理，正確證明BOC是等邊三角形是解題的關鍵5如圖，PA，PB分

28、別是O的切線，A，B分別為切點，點E是O上一點，且AEB=60，則P為（）A120B60C30D45【分析】連接OA，BO，由圓周角定理知可知AOB=2E=120，PA、PB分別切O于點A、B，利用切線的性質可知OAP=OBP=90，根據(jù)四邊形內角和可求得P=180AOB=60【解答】解：連接OA，BO；AOB=2E=120，OAP=OBP=90，P=180AOB=60故選B【點評】本題考查了切線的性質，切線長定理以及圓周角定理，利用了四邊形的內角和為360度求解二解答題（共3小題）6如圖，P為弦AB上一點，CPOP交O于點C，AB=8，=，求PC的長【分析】延長CP交O于D由垂徑定理可知CP=DP，由AB=8，=，得到AP=AB=2，PB=AB=6再根據(jù)相交弦定理得出PCPD=APPB，代入數(shù)值計算即可求解【解答】解：如圖，延長CP交O于DCPOP，CP=DPAB=8，=，AP=AB=2，PB=AB=6AB、CD是O的兩條相交弦，交點為P，PCPD=APPB，PC2=26，PC=2【點評】本題考查了相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等同時考查了垂徑定理，準確作出輔助線是解題的關鍵7如圖，AB，BC，CD分別與O相切于E，F(xiàn)，G，且ABCD，BO=6cm，CO=8cm求BC的長【分析】根據(jù)切線長定理和平行線的性質定理得到B