電氣自動(dòng)化專升本自動(dòng)控制根軌跡專攻

1、根軌跡法一、本章內(nèi)容提要: 1.介紹了系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)已知的條件下確定閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡法，并分析系統(tǒng)參量變化時(shí)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)位置的影響；2.根據(jù)閉環(huán)特征方程得到相角條件和幅值條件由此推出繪制根軌跡的基本法則；3.根軌跡繪制：常規(guī)根軌跡、參數(shù)根軌跡、零度根軌跡、時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡;4. 根軌跡法分析系統(tǒng)性能二、本章教學(xué)目的及要求: 1.掌握根軌跡的基本概念；正確理解開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)、閉環(huán)零極點(diǎn)及根軌跡的含義；2.掌握控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法；3.正確繪制出不同參量變化對(duì)系統(tǒng)根軌跡圖4. 能夠運(yùn)用根軌跡法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析；5. 明確閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。三、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)1.

2、重點(diǎn)：根軌跡的繪制利用根軌跡分析控制系統(tǒng)2.關(guān)鍵點(diǎn)：根軌跡方程，幅值條件，相角條件3.難點(diǎn)：時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡的繪制四、本章學(xué)習(xí)方法通過(guò)具體習(xí)題練習(xí)掌握根軌跡繪制方法，不要死記硬背各種繪制法則，要多總結(jié)歸納典型極、零點(diǎn)分布對(duì)根軌跡的大致圖形。§4-1 根軌跡的基本概念本節(jié)重點(diǎn):：掌握根軌跡的基本概念本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的正確繪制一問(wèn)題的提出高階系統(tǒng)的平穩(wěn)性、快速性的分析以及暫態(tài)指標(biāo)的估算。引例 K1S Xr(s) XC(s) 特征方程式 ： S+K=0特 征 根 ： S= -K當(dāng)K1由0變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡城根軌跡，不僅直觀的表示了K 變化時(shí)間閉環(huán)特征根的變化，還給出了參數(shù)

3、時(shí)閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響?？膳卸ㄏ到y(tǒng)的穩(wěn)定性，確定系統(tǒng)的品質(zhì)。 J（） 0 二、 定義 指當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K （通常由Kg或K1表示）由零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)（系統(tǒng)特征根）在S平面上變動(dòng)的軌跡。根軌跡是根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)，求出閉環(huán)極點(diǎn)一般方法,是控制系統(tǒng)分析一種圖解方法。 三 根軌跡法的依據(jù)（根軌跡方程）1 已知系統(tǒng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函:閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式:1+W（S）=0 或 W（S）= -1 ， 即 2. 依據(jù)條件幅值條件 ：相角條件： W(S)=±180°（1+2）， =0，1，2或 開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)到S的矢量長(zhǎng)度方程 1 = 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到S的矢量長(zhǎng)度方程 k

4、gm n m n(s+zi) -(s+pj)=i - j = i=1 j=1 i=1 j=1 開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)到S的矢量幅角 j 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到S的矢量幅角 3. 基本思想根據(jù)幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益， 由相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置。小結(jié):根軌跡的依據(jù)§4-2 根軌跡的繪制法則本節(jié)重點(diǎn):：掌握根軌跡的繪制方法本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的出射角和入射角，以及根軌跡和虛軸的交點(diǎn) 一 繪制常規(guī)根軌跡一般法則1. 起點(diǎn) （Kg =0）當(dāng)Kg =0 閉環(huán)系統(tǒng)特征根即由開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征方程式?jīng)Q定 即閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn),根軌跡從開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)。2. 終點(diǎn)（Kg = ） 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有

5、限，無(wú)限）為根軌跡終點(diǎn)。設(shè)N（S）為m階，有m個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，還有n-m個(gè)無(wú)限零點(diǎn)3 、根軌跡數(shù)與對(duì)稱性條數(shù)：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)，n條對(duì)稱性：對(duì)稱于實(shí)軸，特征根為實(shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸4 、實(shí)軸上的根軌跡在S平面實(shí)軸上的線段上存在根軌跡的條件是：線段右側(cè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。 5、 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 滿足： 或 由此求出的要代入Kg中，只有Kg為正時(shí)，才是分離式會(huì)合點(diǎn)。對(duì)于階次較高，可采用圖解法確定重根，在復(fù)平面若有分離點(diǎn)式會(huì)合點(diǎn)，必對(duì)稱于實(shí)軸。6 、漸近線（1）漸近線條數(shù)： n-m條，趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處分之的漸近線漸近線傾角 （2）漸近線交點(diǎn)： 伸向無(wú)窮遠(yuǎn)出與實(shí)軸交于一

6、點(diǎn) 坐標(biāo)（-，j0）7 、根軌跡出射角和入射角出射角 ： 或 ：開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)到被測(cè)起點(diǎn)的矢量幅角。：除被測(cè)起點(diǎn)外，所有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的矢量幅角入射角 ： 8.根軌跡與虛軸交點(diǎn)可用S=j代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)出現(xiàn)虛根，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。故可由此確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)9 、根軌跡的特性連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線。10、 閉環(huán)極點(diǎn)特性（1） 當(dāng)n m2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和且為數(shù) （2） 閉環(huán)極點(diǎn)之積和開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間具有 當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)具有等于零的極點(diǎn)時(shí)即閉環(huán)極點(diǎn)之積與軌跡增益成正比。11輔助定性依據(jù)

7、（1） 對(duì)應(yīng)任一Kg，閉環(huán)極點(diǎn)之和保持不變，即一些閉環(huán)極點(diǎn)向右移動(dòng)，另一些極點(diǎn)向左移動(dòng)（2） 已求得閉環(huán)系統(tǒng)的某些極點(diǎn)，可以求出其他極點(diǎn)（3） 由此可以迅速確定根軌跡大致形狀。二.例題例 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ， 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡草圖解：1+， ， 系統(tǒng)特征方程式 ：1、 起點(diǎn)： （三重極點(diǎn)）； 終點(diǎn) ：無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)2 、實(shí)軸上根軌跡（,- 1/）3 、漸進(jìn)線傾角 ： 與實(shí)軸交點(diǎn)： 根軌跡三條分支，Kg = 0 從開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)Kg ，沿漸進(jìn)線趨向4 、分離點(diǎn)-3（S+1/）2 = 0 可得分離點(diǎn) S = - 1/ 5 、根軌跡與虛軸交點(diǎn) 系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)特征方程式： 解得： ， 三. 常見(jiàn)

8、的幾種根軌跡草圖小結(jié)：根軌跡的繪制§4-3 參數(shù)根軌跡及多回路系統(tǒng)根軌跡本節(jié)重點(diǎn)：參數(shù)根軌跡及多回路系統(tǒng)根軌跡本節(jié)難點(diǎn): 時(shí)滯根軌跡的確定一 參數(shù)根軌跡（廣義根軌跡）1. 概念 以不同于Kg（K1）的參數(shù)為參變量的根軌跡稱為參數(shù)或廣義根軌跡.用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開(kāi)環(huán)零，極點(diǎn)位置，時(shí)間常數(shù)或反饋參數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響2. 繪制方法Kg為可變參量時(shí)，特征方程選其他參數(shù)時(shí)，引入等效傳遞函數(shù)概念把特征方程化為上述形式，以所選參量a代替Kg位置:1+ 可利用繪制常規(guī)根軌跡的各種規(guī)則進(jìn)行繪制。3.例題 K1S(s+a)Xr(s) XC(s) 求： 當(dāng)a 由0閉環(huán)系統(tǒng)特征根變動(dòng)

9、的軌跡？解：1） 系統(tǒng)特征方程：S2 + aS + K1 = 0用不包含a的其余項(xiàng)去除方程兩邊，則有 2） 等效系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： 也稱原系統(tǒng)等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：3） 根軌跡繪制起點(diǎn)：開(kāi)環(huán)極點(diǎn) ；終點(diǎn)：開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 0；分離點(diǎn)：， 即: 分離點(diǎn)應(yīng)在S= -，在負(fù)實(shí)軸上 在分離點(diǎn)處 ： 系統(tǒng)分析：隨著a增大，系統(tǒng)特性變化;即從 a=0時(shí)， 無(wú)阻尼; =0，等幅振蕩2<a<時(shí)， 過(guò)阻尼; >1 單調(diào)上升0<a<2時(shí)， 欠阻尼0<1, 衰減振蕩二 多回路系統(tǒng)根軌跡根軌跡不僅適用于單回路系統(tǒng)，而且適用于多回路系統(tǒng)例1 系統(tǒng)如圖, 試?yán)L制參數(shù)a的根軌跡 K1S(s+a) X

10、r(s) E(s) XC(s) asS(s+a) 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程即 等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù): 令K1為不同的值，在a 取不同參量時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)腶數(shù)值，系統(tǒng)具有較好的相對(duì)穩(wěn)定性。小結(jié)：參數(shù)根軌跡§4-4 時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡本節(jié)重點(diǎn)：時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡本節(jié)難點(diǎn)：時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡繪制一 遲后系統(tǒng)1. 概念時(shí)滯元件的系統(tǒng)稱為時(shí)滯系統(tǒng).eTSW（s） KgN（S）* es D（S） Xr（s） Xc（s） Xr(s) _ XC(s) 2.處理方法(1) 近似法在有些條件下，es可以近似處理，用es使用極不方便，或 或 只取前兩項(xiàng)： (2) 規(guī)則法開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程： 考慮到其中：

11、幅值條件： 幅角條件： 0時(shí)，相角條件取決于，沿虛軸連續(xù)變化，對(duì)一定Kg，不是有幾個(gè)特征根，而是無(wú)限多個(gè)特征根，相應(yīng)存在無(wú)限多條根軌跡。二 正反饋系統(tǒng)根軌跡（零度根軌跡）幅值條件相同零度等相角條件繪制法則：與常規(guī)不同1、 漸近線傾角, k=0，±1，±2，2 、實(shí)軸上，其右方開(kāi)環(huán)零，極點(diǎn)之和為偶數(shù)。3 、出射角 4. 正反饋與負(fù)反饋根軌跡比較小結(jié)：時(shí)滯根軌跡§4-5 根軌跡法分析控制系統(tǒng)應(yīng)用場(chǎng)合:1 、確定閉環(huán)極、零點(diǎn)分布（試探法）2 、參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響3 、估算瞬態(tài)性能，穩(wěn)態(tài)性能4 、設(shè)計(jì)系統(tǒng)，由性能參數(shù)一 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要有兩類：1、非最小相位系統(tǒng)

12、如：2、具有局部正反饋系統(tǒng)例 其根軌跡為： 0 0<K<14 穩(wěn)定64<K<195 14<K<64 不穩(wěn)定K>195二 瞬態(tài)性能分析和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)確定1、 有（閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)張角）超前量因=cos1 2 、由閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部調(diào)節(jié)時(shí)間 3 、由性能指標(biāo)要求閉環(huán)（主導(dǎo)）極點(diǎn)大致位置4 、由瞬態(tài)性能指標(biāo)開(kāi)換系統(tǒng)放大系數(shù)或其他參數(shù)例 若要求閉環(huán)系統(tǒng)等位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量18% ,試確定Kg。解：分離點(diǎn)時(shí)Kg=17，Kg>240 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 由圖查得：60% 做=60度直線，交點(diǎn)A，B為滿足性能指標(biāo)要求的閉環(huán)子系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)：幅值條件：由特性 =常數(shù) -1.2

13、-1.2+j2.1-j2.1+S3= -10 S3= -10+2.4= -7.6 S3為另一閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)極點(diǎn)。小結(jié)：根軌跡分析第四章小結(jié)習(xí)題課例 所示系統(tǒng)同時(shí)滿足下述條件，限用根軌跡法 Xr（s） E(s) Xc(s)1/S（S+3）2K1 1 、單位斜坡轉(zhuǎn)入下的穩(wěn)態(tài)誤差 2 、階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)試確定K1的數(shù)值解 ：求K1應(yīng)滿足兩個(gè)條件：穩(wěn)定性，穩(wěn)定誤差； 階躍響應(yīng)要求 , 應(yīng) 校驗(yàn)K14時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性特征方程 ：D（S）= S（S+3）2 + K1=0 S3 +6S2 +9S+K1=0 S3 1 9 S2 6 K1 S1 （6×9-K）/6 S0 K系統(tǒng)穩(wěn)定條件 6×9-K

14、>0 滿足誤差要求的K K<54 4 K54 要求階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，必須保證閉環(huán)特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)，可由根軌跡法確定K值（1） 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)： P1=0，P2，p3= -3 （2） 分離點(diǎn)： K= -s(s+3) 2 ,分離點(diǎn) d= -1（3） d點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K 1值，d代入模方程 0 閉環(huán)特征根為負(fù)實(shí)根的K 1范圍 0K14故綜上,滿足誤差條件和階躍響應(yīng) K1=4例3 已知控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡解： 1 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，0，-5，-20，-50 零點(diǎn)：-0.125 2 實(shí)軸上根軌跡（-0.125-5）， （-20-50） 3 漸進(jìn)線 4 、確定分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)本題中，零點(diǎn)，極點(diǎn)之間距

15、離相差很大，如零點(diǎn)0.125與極點(diǎn)9之間進(jìn)相距0.125，而零點(diǎn)0.125與極點(diǎn)50之間卻相差49.875，故可做如下簡(jiǎn)化： 在繪制原點(diǎn)附近的軌跡時(shí)，舍去遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)影響；在繪制遠(yuǎn)離原點(diǎn)的軌跡時(shí)，舍去零點(diǎn)和一個(gè)零極點(diǎn)影響。i） 求原點(diǎn)附近根軌跡和會(huì)合點(diǎn) 傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為： 0 略去遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)，原點(diǎn)處有二重極點(diǎn)，右側(cè)無(wú)零點(diǎn)，極點(diǎn)，其分離角±90度，確定會(huì)合點(diǎn)此時(shí)特征方程：S2 +KS +0.125K=0 解之 S1= - 0.25 會(huì)合點(diǎn);S2= 0 重極點(diǎn)分離點(diǎn) ii）求遠(yuǎn)離原點(diǎn)的根軌跡和分離角略去原點(diǎn)附近的開(kāi)環(huán) （零點(diǎn)-0.125和極點(diǎn)）傳遞函數(shù)可化為： K S(S+5)(S

16、+20)(S+50) 特征方程 ： jwS(S+5)(S+20)(S+50)+K=0K=-S(S+5)(S+20)(S+50)由 0 由 得 解之 S1= -2.26 , S2= -40.3難題分析：例1 ，非最小相位系統(tǒng) 試?yán)L制根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kg范圍解：1 、起點(diǎn)：0，1，此處有根號(hào)2 、終點(diǎn)：-13 、漸進(jìn)線 =±60度 ±180度， -= -2/34 、分離點(diǎn) dk1 = 0 ds 3s2 +10s3 +21s2 +24s-16=0 S1=0.45 S 2=-2.55 、交點(diǎn) S(S-1)(S2 +4S+16)+Kg(S+1)=04 -122 +Kg=0 -32 +（Kg-16） =0得 =0，±2.56, ±1.56 , Kg=35.7,23.36. 23.3<Kg<35.7 例4 已知負(fù)反饋系統(tǒng)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡,當(dāng)在負(fù)實(shí)軸上有一個(gè)零點(diǎn)，即 ， 0 a 1，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性解：原系統(tǒng)根軌跡1. 開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 0，0，-12. 漸進(jìn)線;= -1/3 3 分離點(diǎn)