新課標(biāo)實驗教材“平面向量”一章的特點與建議

1、新課標(biāo)實驗 教材“平面向量”一章的特點與建議無錫市濱湖區(qū)教育研究發(fā)展中心王華民“平面向量”作為工具內(nèi)容，其聯(lián)系非常廣泛，它溝通了代數(shù)、三角、幾何 等知識.在高中新課標(biāo)下編制的實驗新教材，“平面向量”作為數(shù)學(xué)必修4 （第 4模塊），人教社出版的（A）版，以下簡稱新教材，與2002年人教版相比， 在體系和內(nèi)容上都有些變化，本人想與同行交流幾點教學(xué)設(shè)想，僅供參考.、本章編寫特點1 體系及內(nèi)容有不少變化.在體系上，標(biāo)準(zhǔn)將必修4的內(nèi)容分成三章，依次為“三角函數(shù)”、“平面 向量”及“三角恒等變換”，將原“平面向量”中“正弦定理、余弦定理和解斜 三角形應(yīng)用舉例”兩節(jié)改成“解三角形” 一章放入必修5中.其編排

2、目的：其一，三角函數(shù)與向量都是刻畫和描述現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型.其二，三角與向量的聯(lián)系較緊密，如利用平面向量的數(shù)量積來推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)的公 式很簡潔、流暢，且作為平面向量的一個運用.其三，因為原來的解三角形內(nèi)容側(cè)重點放在邊角關(guān)系的運算上，現(xiàn)在將它作為幾何度量問題來處理.在內(nèi)容上，新教材刪減了“線段的定比分點和平移（公式）”兩節(jié)，增加了 一節(jié)“平面幾何中的向量方法”；把中點坐標(biāo)公式作為學(xué)生的探究內(nèi)容，這樣處 理主要是為降低難度、減少課時、保證重點、突出其幾何意義.2. 創(chuàng)設(shè)了豐富的“問題情境”新的課程目標(biāo)之一：通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和 創(chuàng)造的歷程，并強調(diào)：高中數(shù)學(xué)

3、在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面需要大力加強.而探究和體驗需要一個載體一一合理的“問題情境” 平面向量新教材，在這方面花了一番功 夫，根據(jù)學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)歷，既創(chuàng)設(shè)了物理背景：力、速度、力的合成、分 解，又創(chuàng)設(shè)了有向線段等幾何背景.并且在每一節(jié)的導(dǎo)入、文中以及文末都增加 了不少“探究題”和“思考題”，有物理探究實驗題，有類比探究題：數(shù)的加法 滿足交換律與結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律？請畫圖進(jìn)行探I4、T 呻 T* 4索；還有驗證探究冋題：當(dāng)a,b處于什么位置時，（1） |a b|a| |b|;（2） |a b| =|a -b|(或 |b| -|a|)等等如思考題：如圖(1)(2)，當(dāng)在數(shù)軸上表示

4、兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？本單元還增加了一些含有實際問題的圖 片，如高速公路的彎道，世界地圖等.a+bA bC(1)a+bAC AB(2)新教材在例題和鞏固訓(xùn)練題中，也多了相關(guān)的探究語言，如：“你能利用向量運算自己推導(dǎo)關(guān)于三角形等平面圖形的一些性質(zhì)嗎？” ；還增加了不少作圖 觀察、判斷、猜想后證明的問題如：(原教材) 已知A(1,2), B(2,3), C(_2,5)，求證：ABC是直角三角形.(新教材)已知A(1,2), B(2,3), C(-2,5)，試判斷 ABC的形狀，并給出證明編排目的：不僅讓學(xué)生知道向量的有關(guān)概念源于生活、 實踐，讓其易于理解， 而且通過增加“

5、探究、思考題”，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個個合理的問題環(huán)境，使過渡、 銜接自然，讓學(xué)生自己多動手嘗試、與同伴合作、交流，使其“跳一跳、摘到桃”， 提高了學(xué)生的動手能力、學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性.3. 重視數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系.向量是近代數(shù)學(xué)中重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一， 是溝通代數(shù)與幾何的一種 重要的工具，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.新教材用向量的數(shù)乘和數(shù)量積來刻畫平面 內(nèi)兩條直線平行、垂直以及兩直線所成的角等問題，體現(xiàn)了向量方法在研究和解 決數(shù)學(xué)問題的作用.新教材突出了向量的物理背景和向量在物理中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)科的密切聯(lián)系.4. 加強幾何直觀.新教材在小標(biāo)題中，將原來“向量

6、的加法與減法、實數(shù)與向量的積”“改成“向量加法運算及其幾何意義、向量減法運算及其幾何意義、向量數(shù)乘運算及其 幾何意義”，并增加了“平面幾何中的向量方法”一節(jié)，在“閱讀與思考”中揭 示了 “向量的運算(運算律)與圖形的性質(zhì)”的聯(lián)系，在規(guī)定： a 0 = 0 a二a 后問：你能從向量加法的幾何意義，說明規(guī)定的合理性嗎？等等. 可見，新教 材強調(diào)平面向量概念的幾何背景，強調(diào)理解向量運算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積） 及其性質(zhì)的幾何意義.5. 強調(diào)信息技術(shù)的運用.標(biāo)準(zhǔn)和新教材都鼓勵學(xué)生使用計數(shù)器和計算機(jī)探索、解決問題如：例 題和探究題中，“利用計數(shù)器的cos鍵得”；“利用信息技術(shù)工具，作出，測 量的長度，拖

7、動頂點，動態(tài)觀察，發(fā)現(xiàn)，猜想”；在旁白中提示：有條 件的同學(xué)可用“幾何畫板” “scilab”等進(jìn)行可視化研究，等等.6. 重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo).數(shù)學(xué)4導(dǎo)引“我們將利用內(nèi)在聯(lián)系，特別是蘊涵在數(shù)學(xué)思想方法，啟發(fā) 類比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法，使學(xué)會數(shù)學(xué)思考與推 理，提高數(shù)學(xué)思維能力.”本章引言“向量概念引入后，全等、相似、垂直、勾 股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加、減、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算（運算律），從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系” 可見新教材重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透.之 外，還增加了數(shù)學(xué)方法的總結(jié)提示，“向量的數(shù)量積是否為零是判斷兩直線垂直 的重要方法”、

8、“遇到有關(guān)長度問題時，我們常?？紤]向量的數(shù)量積”等，從學(xué)法 上給予指導(dǎo).、幾點教學(xué)建議1. 教師的觀念需要轉(zhuǎn)變.來自初中新課改的信息，從初中學(xué)生的反饋，絕大部分學(xué)生不愿意僅憑老師 講解，而愿意老師創(chuàng)設(shè)問題情境，讓他們自己先思考、動手探究、相互討論學(xué)習(xí)， 說明新理念反映了他們自身的一種需要.我區(qū)東絳等中學(xué)的數(shù)學(xué)課上普遍能體現(xiàn) 新課改的教學(xué)理念，不僅課堂互動氣氛好，而且今年中考的數(shù)學(xué)成績很理想.教師要通過一系列培訓(xùn)，學(xué)習(xí)新課標(biāo)、真正領(lǐng)會新教材的意圖，觀念來一些 轉(zhuǎn)變；在設(shè)計教學(xué)時，應(yīng)充分利用好新教材的“問題資源”，實驗做起來，圖形 畫起來，腦子動起來，讓一個個問題成為學(xué)生活動和探索的載體， 從中獲

9、取知識、 增長才干，并留下深刻的印象.教師也參與其中，師生交流、生生交流，讓數(shù)學(xué)課堂真正活起來、動起來.2. 教師的綜合素質(zhì)需要提高.新教材鼓勵學(xué)生使用計算機(jī)，那么數(shù)學(xué)教師本身對 Word Excel、幾何畫板 等要有一定的水平，且需要再提高.一些抽象、運動等問題，用課件向?qū)W生演示， 效果會更好新教材也要求教師對相關(guān)學(xué)科基本知識有一定的了解和領(lǐng)悟，如： 物理學(xué)科、人文知識，數(shù)學(xué)史、以及將實際問題數(shù)學(xué)化的能力我覺得平常與其 它學(xué)科老師多加強溝通和聯(lián)系，能相互借鑒，共謀提高.教師還應(yīng)該熟悉初中新課程的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生已學(xué)了直角坐標(biāo)系和線段的長度， 但學(xué)習(xí)的深度如何？ 初中對圓的相關(guān)問題的要求已降低，

10、 我們在“平面幾何中的向量方法”教學(xué)設(shè)計時，就要充分考慮、作好銜接；還要在總結(jié)初中新課改經(jīng)驗的同時， 吸取教訓(xùn).3. 教師需要想學(xué)生所想.“教師想學(xué)生所想”，是新課改“以學(xué)生為本”理念的具體體現(xiàn)，也是“換 位思考” 的要求.學(xué)生在學(xué)習(xí)中有什么困惑、疑難，教師要心中有數(shù)，做到：（1）課上可適當(dāng)留2、3分鐘讓學(xué)生提問題；（2）課后幫助學(xué)生釋疑解惑；（3） 教師作為一個平等的參與者，課后與學(xué)生多溝通、多交流，為其獻(xiàn)技、獻(xiàn)策.這 樣，不僅能反饋信息，而且能成為學(xué)生的良師益友，學(xué)生樂學(xué).比如，當(dāng)我們與 學(xué)生交流時認(rèn)識到：初學(xué)者對理解向量的概念是個難點，在學(xué)到“數(shù)與向量的積”、“數(shù)量積”后，學(xué)生更易混淆，

11、就更引起我們的重視.優(yōu)化設(shè)計：（1）講清概念的內(nèi)涵，向量是既有大小又有方向的量，而數(shù)量只講大小，不管方向；（2）通過向量與數(shù)量的對比，弄清兩者的相同點和不同點；（3）在學(xué)習(xí)“數(shù)量積”后，教 師要反復(fù)對比地問學(xué)生：“數(shù)與向量的積”是什么量？而“數(shù)量積”是什么量？可見，向量的基本概念是貫穿整章的一條主線，務(wù)必要使學(xué)生弄清楚.4. 教師需要重視幾個“點”，滲透數(shù)學(xué)思想方法.（1）重視平面向量基本定理和三點共線條件的運用，滲透方程思想.從原先的教學(xué)反饋，部分學(xué)生和個別教師對平面向量的基本定理不夠重視， 認(rèn)為它只在理論上重要，于解題無補，其實不然；還有的學(xué)生對三點共線條件的 運用缺乏自信.D在三角形AB

12、C的邊BC上，且例1（04年哈爾濱等四市聯(lián)考題）若點CD = 4DB = rAB sAC,則 3r s 的值為（c. 85A. 165解析 由條件及ABC 知,AB, AC不共線，可將AB,AC視為一組基底，聯(lián)想向量的基本定理，考慮將向量設(shè) AB = e<|, AC = q，貝U CD =又CD = re1 se2，比較得r二CD表示成AB,AC的另一個線性組合.4 44啣 4CB（e-i - e2）e e?5 555. 3r s=8，選（C）553例2過AABC的重心G任作一直線分別交A B A于、D E若-p -T -f -r- -AD 二xAB, AE 二 yAC（ xy = 0）

13、,求 的值。x y解析 本題可考慮用特殊位置一一過 G作BC的平行線獲得結(jié)論，再證明。 將AB,AC視為基底，注意利用D、G、F三點共線的條件DG = DE，列出方程 組，待定系數(shù)可得.評注例1的關(guān)鍵是將CD表示成另一個線性組合，例 2的關(guān)鍵是挖掘并大 膽利用D，G，F(xiàn)三點共線的條件，兩題都是根據(jù)向量的基本定理，在一組基底 確定時，系數(shù)1,-2是唯一的，從而列出方程組獲解.可見平面向量的基本定理 不僅在理論上，而且在解決問題上，都很重要，這也充分展示了方程思想的魅力.（2）重視平面向量的幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.因為標(biāo)準(zhǔn)和新教材都強調(diào)平面向量概念、運算及其性質(zhì)的幾何意義，在 解題中，如能經(jīng)

14、常進(jìn)行數(shù)形聯(lián)想，就能拓寬思路.I例3（04年武漢模擬題）如圖，從原點引一向量OA，使其與x軸的夾角為二，III從它的終點引向量AB，使其與OA的夾角為二，同樣引向量BC，使其與AB的 夾角為設(shè) |OA|=|ABF|BC| = a.解析 關(guān)注目標(biāo)：欲求點C坐標(biāo)，可連結(jié)0C,由向量加法的三角形法則，得(I) OC =OA AB BC,只要求出AB,BC，考慮先求出之一：AB ,延長 BA交 Ox軸于點 G ,由平幾知忒 OA AB/AGx - v v, AB = (acos2,asin2R ,= (acosv,asi n v) (acos2v,asi n")= (acos) acos2v

15、,asi nv asi n")同理,BC對應(yīng)的角為2 v -3二，可求出BC 二(acos3r,asin3T)Oc.OB BC=(acosv acos2) acos3asin) asin2) asin3“.C(a cos2)(2cos) 1), as in 2)(2s in v 1)(當(dāng)然，也可由向量加法的平行四邊形法則獲解)(U)易得：v -丄.4評注 聯(lián)想向量加法的幾何意義，并結(jié)合平面幾何性質(zhì)(三角形的外角性質(zhì))， 是解答本題的關(guān)鍵.(3) 重視平面向量的工具作用，滲透轉(zhuǎn)化思想例4 (04年無錫輔仁中學(xué)試題)已知點F(a,0)(a 0)，動點M、P分別在x、y軸上運動，滿足 PM _ PF,N為動點，且| PM鬥PN |.(1) 求點N的軌跡C的方程；(2) 過點F(a,0)的直線I (不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點，設(shè)點K (一a,0) , AKB - v，求證：0 ：2解析(1)易得C： y2二4ax .(2)欲證：0:：:，可聯(lián)想平面向量數(shù)量積的夾角公式.:KA KB =(% a, yj 區(qū) a, y?) =(xa)(X2 a) % y?2 y4a2 y4a2 2a(中 A) %血 a24a 4a=（瀘+（寧）2+如+a2(*)l : y =k(x a),222 八、e2二 ky -4ay-4a k = 0 ,