2016新課標(biāo)創(chuàng)新人教A版數(shù)學(xué)選修41 13 相似三角形的判定及性質(zhì)

1、第1課時相似三角形的判定核心必知1相似三角形知識的回顧(1)定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(2)判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

2、引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊(3)判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似；如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似(2)定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似問題思考1兩個三角形“相似”與兩個三角形“全等”之間有什么關(guān)系？提示：兩個三角形全等是

3、兩個三角形相似的一種特殊情況相似三角形的本質(zhì)特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，當(dāng)兩個相似三角形的相似比為1時，兩個三角形全等2如果兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且有一角相等，那么這兩個三角形相似嗎？提示：不一定只有當(dāng)這個角是對應(yīng)成比例的兩邊的夾角時，這兩個三角形才相似如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3 cm，BC7 cm，B60°，P為下底BC上一點(不與B、C重合)，連接AP，過P點作PE交DC于E，使得APEB.求證：ABPPCE. 精講詳析本題考查相似三角形判定定理1的應(yīng)用解答此題需要根據(jù)已知條件，尋找三角形相似的條件因為BC，所以只需在ABP與PCE中再找到

4、一組對應(yīng)相等的角即可ADBC，PADAPB.BBAD180°，BAPPAD120°.又APBCPE120°.BAPCPE.又BC，ABPPCE.在相似三角形的判定中，應(yīng)用最多的是判定定理1，因為它的條件最容易尋求，實際證明當(dāng)中，要特別注意兩個三角形的公共角判定定理2、3則常見于連續(xù)兩次證明相似時，在第二次使用的情況較多1.如圖，已知：DEAB，EFBC.求證：DEFABC.證明：DEAB，.又EFBC，.由知，而FODCOA，F(xiàn)ODCOA.在ABC和DEF中，有.ABCDEF.如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，頂點D、C分別在AM、BN上運動(點D不與A重合、

5、點C不與B重合)，E是AB邊上的動點(點E不與A、B重合)，在運動過程中始終保持DEEC.求證：ADEBEC. 精講詳析本題考查直角三角形相似的判定方法解答此題需要證明RtADE和RtBEC中，除直角外有一組銳角對應(yīng)相等因為DEEC，所以DEC90°.所以AEDBEC90°.又因為AB90°，所以AEDADE90°.所以BECADE.所以ADEBEC.(1)在證明直角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件的應(yīng)用(2)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似2如圖，BD、CE是ABC的高求證：ADEABC.證明：BD、CE是ABC的高，A

6、ECADB90°.又AA，AECADB，.又AA，ADEABC.如圖，已知在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于點P，交AC于點E.求證：BP2PE·PF.精講詳析本題考查相似三角形的判定及其應(yīng)用，解答本題需要注意AD是等腰ABC底邊上的高，所以PBPC，從而將所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為PC2PE·PF.進(jìn)而可以證明PCEPFC來解決問題連接PC，在ABC中，因為ABAC，D為BC中點，所以AD垂直平分BC.所以PBPC，12.因為ABAC，所以ABCACB，所以ABC1ACB2，即34.因為CFAB，所以3F，所以4F.又因為EPCCPF，所

7、以PCEPFC，所以，所以PC2PE·PF.因為PCPB，所以PB2PE·PF.(1)有兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對應(yīng)邊(2)要說明線段的乘積式abcd，或平方式a2bc，一般都是證明比例式或，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式3.在ABC中，BAC90°，BC邊的垂直平分線EM和AB以及CA的延長線分別交于D、E，連接AM，求證：AM2DM·EM.證明：BAC90°，M是BC邊的中點，AMCM，MACC.又EMBC，EC90°.又BAMMAC

8、90°，EBAM.又EMAAMD，AMDEMA.，AM2DM·EM.相似三角形的判定及應(yīng)用是幾何證明的重點內(nèi)容之一新課標(biāo)全國卷以圓為載體，以解答題的形式考查了直線的平行問題以及相似三角形的判定考題印證(新課標(biāo)全國卷)如圖，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點，直線DE交ABC的外接圓于F，G兩點若CFAB，證明：(1)CDBC；(2)BCDGBD. 命題立意本題考查平行關(guān)系的證明及相似三角形的判定證明(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD.而CFAD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故C

9、DAF.因為CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因為FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB，而DGBEFCDBC，故BCDGBD.一、選擇題1 如圖，銳角三角形ABC的高CD和BE相交于點O，圖中與ODB相似的三角形的個數(shù)是() A1B2C3 D4解析：選CBEAC，CDAB，ODB，ABE，ADC，OCE都是直角三角形又DBOEBA，AA，DOBEOC，ODBAEBADC，ODBOEC，與ODB相似的三角形有3個2 如圖，ADBC于D，CEAB于E，交AD于F，圖中相似三角形的對數(shù)是()A3 B4C5 D6解析：選DCDFC

10、EB，CDFADB，AEFADB，AEFCEB，AEFCDF，ADBCEB.3三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，則這個三角形是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：選D等腰三角形底邊上的高或直角三角形斜邊上的高分得的兩個三角形分別相似4 如圖所示，AOD90°，OAOBBCCD，則下列結(jié)論正確的是()ADABOCABOABODACBACBDADOACABD解析：選C設(shè)OAOBBCCDa，則ABa，BD2a.，且ABCDBA，BACBDA.二、填空題5如圖，已知ABC，DEF均為正三角形，D，E分別在AB，BC上，與DBE相似的三角形的

11、個數(shù)為_解析：在DBE與ECH中，BC60°，BDEBED120°，BEDCEH120°，BDECEH.DBEECH.同理可證ADG和FHG也都和BED相似答案：36如圖所示，在ABC中，點D在線段BC上，BACADC，AC8，BC16，那么CD_解析：先根據(jù)已知條件和隱含條件證明ABCDAC.再根據(jù)相似建立比例式，根據(jù)給出的線段易求出未知線段答案：47(陜西高考)如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知AC，PD2DA2，則PE_解析：由PEBC知，ACPED.在PDE和PEA中，APEEPD，APED，故PDEPEA，則，于是

12、PE2PA·PD3×26，所以PE.答案：8 如圖，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，則AB的長為_解析：DEBC，EFCD，F(xiàn)DEDBC，DFEBDC.FDEDBC，即BD.由，得2.AF2，AB.答案：三、解答題9 如圖，已知：D是ABC內(nèi)的一點，在ABC外取一點E，使CBEABD，BCEBAD.求證：ABCDBE.證明：CBEABD，BCEBAD，ABDCBE，ABCDBE，即，ABCDBE.10.如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB，E為AC的中點，ED，CB延長線交于一點F.求證：FD2FB·FC.證明：E是Rt

13、ACD斜邊中點，EDEA，A1，12，2A，F(xiàn)DCCDB290°2，F(xiàn)BDACBA90°A，F(xiàn)BDFDC.F是公共角，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)D2FB·FC.11.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連接CF交AD于點E.(1)求證：CDEFAE；(2)當(dāng)E是AD的中點，且BC2CD時，求證：FBCF.證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD.又點F在BA的延長線上，DCFF，DFAE，CDEFAE.(2)E是AD的中點，AEDE.由CDEFAE，得.CDFA.ABCDAF，BF2CD，又BC2CD，BCBF，F(xiàn)BCF.第2課時相似三角形的性質(zhì)

14、核心必知1相似三角形的性質(zhì)定理(1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(2)相似三角形周長的比等于相似比；(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方2兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比與相似比的關(guān)系相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方問題思考兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長比、面積比與相似比之間又有什么關(guān)系？提示：相似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方如圖，梯形ABCD，ABCD，E是對角線AC和BD的交點，SDECSDBC13，求：的值 精講詳析本題考查相似三角形的判定及性

15、質(zhì)的應(yīng)用解答本題需要利用相似三角形的性質(zhì)求得之比，進(jìn)而求得的值，最后求得的值SDECSDBC13，DEDB13，即DEEB12.又DCAB，DECBEA.SDECSBEA14.又DEEBCEEA12，SDECSDEA12.SDECSABD16.即.相似三角形的性質(zhì)把相似三角形的高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角的平分線，以及周長、面積都與相似三角形的對應(yīng)邊的比(相似比)聯(lián)系起來，利用相似三角形的性質(zhì)可得到線段的比例，線段的平方比或角相等，有時還可用來計算三角形的面積、周長和邊長1已知：ABC與ABC中，CC90°，AA，BC6，AC8，ABC的周長為72.求ABC各邊的長解：CC90°，

16、AA，ABCABC.在RtABC中，AB10.ABC的周長為681024.3.又AB10，BC6，AC8，AB30，BC18，AC24.如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC200 mm，高AD300 mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，求這個矩形零件的邊長精講詳析本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用解答本題需要設(shè)出所求矩形零件的某一邊長，然后借助AEHABC求解設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點E、H分別在AB、AC上，ABC的高AD與邊EH相交于點P，設(shè)矩形的邊EH的長為x mm.因為EHBC，所以AEHABC.所

17、以.所以，解得x(mm)，2x (mm)答：加工成的矩形零件的邊長分別為 mm和 mm.將實際問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題是解決此題的關(guān)鍵，要注意相似三角形的性質(zhì)在實際問題中的作用2 如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長是2 m.(1)圖中ABC與ADE是否相似？為什么？(2)求古塔的高度解：(1)ABCADE.BCAE，DEAE，ACBAED90°.AA，ABCADE.(2)由(1)得ABCADE，.AC2 m，AE21820 m，BC1.6 m.，DE16

18、m.答：古塔的高度為16 m.如圖，已知矩形ABCD的邊長AB2，BC3，點P是AD邊上的一動點(P異于A、D)，Q是BC邊上的任意一點連AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F.(1)求證：APEADQ；(2)設(shè)AP的長為x，試求PEF的面積SPEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時，SPEF取得最大值？最大值為多少？(3)當(dāng)Q在何處時，ADQ的周長最??？(必須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明) 精講詳析本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用解答問題(1)只需證明APE和ADQ中有兩個角對應(yīng)相等即可；解答問題(2)要注意ADQ的面積為定值，且SPEF(SADQ

19、SAPESPDF)；解答問題(3)可作點A關(guān)于直線BC的對稱點A，利用三點共線解決(1)證明：因為PEDQ，所以APEADQ，AEPAQD，所以APEADQ.(2)因為APEADQ，所以.因為ADBC，所以ADQ的高等于AB.所以SADQ3.所以SAPEx2.同理，由PFAQ，可證得PDFADQ，所以.因為PD3x，所以SPDF(3x)2.因為PEDQ，PFAQ，所以四邊形PEQF是平行四邊形所以SPEFSPEQF(SADQSAPESPDF)x2x.所以當(dāng)x時，即P是AD的中點時，SPEF取得最大值，最大值為.(3)作A關(guān)于直線BC的對稱點A，連接DA交BC于Q，則這個Q點就是使ADQ周長最小

20、的點，此時Q是BC的中點在三角形中有平行于一邊的直線時，通?？紤]三角形相似，利用比值獲得線段的長或三角形的面積3如圖(1)，已知矩形ABCD中，AB1，點M在對角線AC上，AMAC，直線l過點M且與AC垂直，與邊AD相交于點E.(1)如果AD，求證點B在直線l上；(2)如圖(2)，如果直線l與邊BC相交于點H，直線l把矩形分成的兩部分的面積之比為27，求AD的長；(3)如果直線l分別與邊AD，AB相交于E，G.當(dāng)直線l把矩形分成的兩部分的面積之比為16時，求AE的長解：(1)證明：四邊形ABCD為矩形，OAAC.AMAC，AMOM.在RtABD中，AB1，AD，BD2.BOOAAB1，AOB是

21、等邊三角形，又AMOM，BMAO，點B在直線l上(2)設(shè)ADa，則AC.EAMCAD，AMED90°，AEMACD，.又AMAC ，AE.由AEHC，得AEMCHM，HC3AE.又BHBCHCa，而S梯形ABHE(AEBH)·AB·1.S梯形ABHES梯形EHCD27，S梯形ABHES矩形ABCDa，a，解得a3，即AD3.(3)如圖，l分別交AD、AC、AB于E、M、G三點，則有AEGDCA，.DC1，AE.SAEGAE·AG，即.AE2，AE.相似三角形的判定及其在有關(guān)計算問題中的應(yīng)用是高考模擬的熱點內(nèi)容本考題以解答題的形式將相似三角形的判定及性質(zhì)綜

22、合考查，是高考命題的一個新亮點考題印證在ABC中，D是BC邊上中點，且ADAC，DEBC，DE與BA相交于點E，EC與AD相交于點F. (1)證明：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長命題立意本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用解(1)證明：因為ADAC，所以ACBADC.又因為D為BC的中點，EDBC，所以EBEC.所以BECB，所以ABCFCD.(2)如圖，過A作AHBC，垂足為H，因為ADAC，所以DHDCBD.又DEBC，所以BDEBHA90°，BB，所以BDEBHA.所以.因為ABCFCD，所以4.所以SABC4SFCD4×520.又SA

23、BCBC·AH×10×AH20，所以AH4.所以DEAH×4.一、選擇題1ABCABC，AD和AD分別是ABC和ABC的角平分線，且ADAD53，下面給出四個結(jié)論：BCBC53；ABC的周長與ABC的周長之比為53；ABC與ABC的對應(yīng)高之比為53；ABC與ABC的對應(yīng)中線之比為53.其中正確的有()A1個 B2個 C3個 D4個解析：選D由相似三角形的性質(zhì)知4個命題均正確，選D.2D、E、F是ABC的三邊中點，設(shè)DEF的面積為4，ABC的周長為9，則DEF的周長與ABC的面積分別是()A.，16 B9，4 C.，8 D.，16解析：選A如圖，D、E、F

24、分別為ABC三邊中點EF綊BC，ED綊AC，F(xiàn)D綊AB，DEFABC，且.，又lABC9，lDEF.又，且SDEF4，SABC16.3 如圖所示，已知在ABC中，C90°，正方形DEFG內(nèi)接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，則AFFC等于()A13 B14 C12 D23解析：選C設(shè)正方形邊長為x，則由AFEACB，可得AFACFECB，即.所以x，于是.4 如圖所示，D是ABC的AB邊上一點，過D作DEBC交AC于E.已知ADDB13，則ADE與四邊形BCED的面積比為()A13 B19C115 D116解析：選C因為DEBC，所以ADEABC.又因為ADDB13.所以

25、ADAB14，其面積比為116，則所求兩部分面積比為115.二、填空題5已知ABC的三邊長分別為、2，ABC的兩邊長分別為1和.如果ABCABC，那么ABC的第三邊長應(yīng)為_解析：ABCABC，可設(shè)ABC的第三邊長為x，則有，x.答案：6 如圖，ABEFCD，已知AB20，DC80，那么EF的值是_解析：ABEFCD，EFAB×2016.答案：167 如圖，在ABC中，D為AC邊上的中點，AEBC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BGGA31，BC10，則AE的長為_解析：AEBC，BGFAGE.BFAEBGGA31.D為AC中點，1.AECF.BCAE21，BC10，AE5.答案

26、：58.如圖所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形ABCD40 cm2.SABESDBA15，則AE的長為_解析：因為BAD90°，AEBD，所以ABEDBA.所以SABESDBAAB2DB2.因為SABESDBA15，所以ABDB1.設(shè)ABk cm，DBk cm，則AD2k cm.因為S矩形ABCD40 cm2，所以k·2k40，所以k2(cm)所以BDk10 (cm)AD4(cm)又因為SABDBD·AE20，所以·10·AE20.所以AE4 (cm)答案：4 cm三、解答題9.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點，DECD，BE與AD交于點F.(1)求證：ABFCEB；(2)若DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BAFB