高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2ppt課件

1、2.62.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【知識(shí)提煉】【知識(shí)提煉】1.1.平面向量的數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示(1)(1)數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示. .設(shè)向量設(shè)向量a=(x1,y1)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)b=(x2,y2)，那么，那么ab=_.ab=_.x1x2+y1y2x1x2+y1y2(2)(2)模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示. .x1x2x1x2+y1y2=0+y1y2=022xy121222221122x xy y|xyxya ba b2.2.直線的方向向量直線的方向向量(1)(

2、1)定義：與直線定義：與直線l_l_的非零向量的非零向量m m稱(chēng)為直線稱(chēng)為直線l l的方向向量的方向向量. .(2)(2)性質(zhì)：給定斜率為性質(zhì)：給定斜率為k k的直線的直線l l的一個(gè)方向向量為的一個(gè)方向向量為m= _.m= _.共線共線(1(1，k)k)【即時(shí)小測(cè)】【即時(shí)小測(cè)】1.1.思索以下問(wèn)題思索以下問(wèn)題(1)(1)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式適用于任何兩個(gè)向量嗎向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式適用于任何兩個(gè)向量嗎? ?提示提示: :適用適用, ,無(wú)論是零向量無(wú)論是零向量, ,還是非零向量還是非零向量, ,均可運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)均可運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式公式. .(2)(2)假設(shè)直線假設(shè)直線l1,l2l

3、1,l2的方向向量相等的方向向量相等, ,那么那么l1,l2l1,l2有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?提示提示:l1l2:l1l2或或l1l1與與l2l2重合重合. .2.2.知知a=(-3,4),b=(5,2),a=(-3,4),b=(5,2),那么那么abab的值是的值是( () )A.23A.23B.7B.7C.-23C.-23D.-7D.-7【解析】選【解析】選D.D.由向量數(shù)量積的計(jì)算公式由向量數(shù)量積的計(jì)算公式.ab=(-3,4)(5,2)=.ab=(-3,4)(5,2)=-3-35+45+42=-7.2=-7.3.3.知平面向量知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),a=(3,1),

4、b=(x,-3),且且ab,ab,那么那么x x等于等于( () )A.3A.3B.1B.1C.-1C.-1D.-3D.-3【解析】選【解析】選B.B.由于由于ab,ab=0,ab,ab=0,即即3x+13x+1(-3)=0,(-3)=0,解得解得x=1.x=1.4.4.知知a=(3,-1),b=(1,-2),a=(3,-1),b=(1,-2),那么向量那么向量a a與與b b的夾角為的夾角為( () ) 【解析】選【解析】選B.B.設(shè)設(shè)a,ba,b的夾角為的夾角為,那么那么 由于由于0,0,所以所以= .= .A. B. C. D.643222223 1122cos,23112 （） （）（

5、）（）45.5.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(-2,1)A(-2,1)且與向量且與向量a=(3,1)a=(3,1)平行的直線方程為平行的直線方程為_(kāi)._.【解析】設(shè)【解析】設(shè)P(x,y)P(x,y)是所求直線上任一點(diǎn)是所求直線上任一點(diǎn), , =(x+2,y-1), =(x+2,y-1),由于由于 a, a,所以所以(x+2)(x+2)1-3(y-1)=0,1-3(y-1)=0,所以所求直線方程為所以所求直線方程為x-3y+5=0.x-3y+5=0.答案答案:x-3y+5=0:x-3y+5=0AP AP 【知識(shí)探求】【知識(shí)探求】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1 1 數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示察

6、看如下圖內(nèi)容察看如下圖內(nèi)容, ,回答以下問(wèn)題回答以下問(wèn)題: :問(wèn)題問(wèn)題1:1:平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示的特點(diǎn)是什么平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示的特點(diǎn)是什么? ?問(wèn)題問(wèn)題2:2:平面向量的模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示各有何特征平面向量的模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示各有何特征? ?分別有什分別有什么作用么作用? ?【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】1.1.數(shù)量積的坐標(biāo)表示的本質(zhì)與特點(diǎn)數(shù)量積的坐標(biāo)表示的本質(zhì)與特點(diǎn)(1)(1)本質(zhì)本質(zhì): :是將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算是將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算, ,它使得數(shù)量積的計(jì)算更為方它使得數(shù)量積的計(jì)算更為方便便, ,簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單. .(2)(2)特點(diǎn)特點(diǎn): :等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和等

7、于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和. .2.2.向量模的坐標(biāo)運(yùn)算的本質(zhì)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算的本質(zhì)a=(x,y),a=(x,y),那么在平面直角坐標(biāo)系中那么在平面直角坐標(biāo)系中, ,一定存在點(diǎn)一定存在點(diǎn)A(x,y),A(x,y),使得使得 =a =(x,y),=a =(x,y),所以所以 即即|a|a|為點(diǎn)為點(diǎn)A A到原點(diǎn)的間隔到原點(diǎn)的間隔. .OA22OAxy , a3.3.向量的夾角的坐標(biāo)表示向量的夾角的坐標(biāo)表示(1)(1)來(lái)源來(lái)源: :數(shù)量積公式的一個(gè)變形數(shù)量積公式的一個(gè)變形. .(2)(2)適用范圍適用范圍: :由向量坐標(biāo)計(jì)算夾角的一個(gè)公式由向量坐標(biāo)計(jì)算夾角的一個(gè)公式, ,僅適用于兩個(gè)非零僅適用于兩個(gè)

8、非零向量向量. .(3)(3)夾角的取值范圍確實(shí)定夾角的取值范圍確實(shí)定: :由由x1x2+y1y2x1x2+y1y2的取值符號(hào)確定的取值符號(hào)確定角的取值范圍角的取值范圍, ,其中當(dāng)其中當(dāng)x1x2+y1y20 x1x2+y1y20時(shí)時(shí), , 0 ;0 ;當(dāng)當(dāng)x1x2+y1y20 x1x2+y1y20時(shí)時(shí), ;, 0, =(2,3),0,那么那么 =(2,3), =(2,3),又由于又由于 所以所以(2)2+(3)2=(2)2,(2)2+(3)2=(2)2,所以所以2=4,2=4,解得解得=2,=2,所以所以 =(4,6), =(4,6),又由于點(diǎn)又由于點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,-2),(1,

9、-2),設(shè)設(shè)O O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,所以所以 =(1,-2)+(4,6)=(5,4), =(1,-2)+(4,6)=(5,4),所以點(diǎn)所以點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(5,4).(5,4).AB AB2 13 ，AB AB AB OBOAAB 類(lèi)型二類(lèi)型二 向量的夾角與垂直問(wèn)題向量的夾角與垂直問(wèn)題【典例】【典例】1.(20211.(2021長(zhǎng)春高一檢測(cè)長(zhǎng)春高一檢測(cè)) )知三個(gè)點(diǎn)知三個(gè)點(diǎn)A,B,CA,B,C的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),(3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),假設(shè)假設(shè)ABCABC為直角三角形為直角三角形, ,且且AA為直角

10、為直角, ,那么實(shí)數(shù)那么實(shí)數(shù)m m的值為的值為_(kāi)._.2.2.知知a=(1,2),b= a=(1,2),b= 求求a a與與b b的夾角的夾角. .11,2()，【解題探求】【解題探求】1.1.典例典例1 1中由中由AA為直角得出什么樣的結(jié)論為直角得出什么樣的結(jié)論? ?提示提示: :由由AA為直角為直角, ,得出得出 2.2.典例典例2 2中求向量中求向量a a與與b b的夾角需求哪些量的夾角需求哪些量? ?提示提示: :根據(jù)向量的夾角公式需求根據(jù)向量的夾角公式需求|a|,|b|a|,|b|以及以及ab.ab.ABAC.AB AC0. 即【解析】【解析】1.1.由知由知, ,得得 由于由于AB

11、CABC為直角三角形為直角三角形, ,且且AA為直角為直角, ,所以所以 解得解得m= .m= .答案答案: :AB3 1AC2m,1m . （ ，），（）ABAC.AB AC32m1 m0 所以（） （） ，74742.2.由于由于ab=(1,2) =1ab=(1,2) =11-21-2 =0. =0.所以所以a a與與b b垂直垂直, ,即即a a與與b b的夾角為的夾角為9090. .12112( ，)【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(變換條件變換條件) )本例本例2 2中條件中條件“b= “b= 改為改為“b=(1,)“b=(1,). .其他條其他條件不變件不變, ,求求a a與與b

12、 b的夾角為銳角時(shí)的夾角為銳角時(shí),的取值范圍的取值范圍. .112( ，)【解析】設(shè)【解析】設(shè)a a與與b b的夾角為的夾角為,由于由于a a與與b b的夾角為銳角的夾角為銳角, ,所以所以cos0,cos0,且且cos1,cos1,即即ab0ab0且且a a與與b b不同向不同向. .因此因此1+20,1+20,即即- .- .又由于又由于a a與與b b共線且同向時(shí)共線且同向時(shí),=2.,=2.所以所以a a與與b b的夾角為銳角時(shí)的夾角為銳角時(shí), ,的取值范圍為的取值范圍為 (2,+). (2,+).12122(，)2.(2.(改動(dòng)問(wèn)法改動(dòng)問(wèn)法) )探求探求1 1中的條件不變中的條件不變,

13、 ,求求a a與與b b的夾角為鈍角時(shí)的夾角為鈍角時(shí),的取值的取值取圍取圍. .【解析】設(shè)【解析】設(shè)a a與與b b的夾角為的夾角為,由于由于a a與與b b的夾角的夾角為鈍角為鈍角, ,所以所以cos0cos0且且cos-1.cos-1.所以所以ab0ab0且且a a與與b b不反向不反向, ,由由ab0ab0得得1+20,1+20,故故- ,- ,由由a a與與b b共線得共線得=2,=2,故故a a與與b b不能夠反向不能夠反向, ,所以所以的取值范圍為的取值范圍為(-,- ).(-,- ).1212【方法技巧】利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟【方法技巧】利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟類(lèi)型三類(lèi)

14、型三 向量平行和垂直的坐標(biāo)的運(yùn)用向量平行和垂直的坐標(biāo)的運(yùn)用【典例】【典例】1.1.在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,假設(shè)假設(shè) 那么該四邊那么該四邊形形的面積為的面積為( () )A.A. B.2B.2C.5C.5D.10D.10AC1,2 BD( 4,2), ，552.2.知三個(gè)點(diǎn)知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(-1,4).A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)(1)求證求證:ABAD.:ABAD.(2)(2)要使四邊形要使四邊形ABCDABCD為矩形為矩形, ,求點(diǎn)求點(diǎn)C C的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,并求矩形并求矩形ABCDABCD兩對(duì)角線所夾兩對(duì)角線所夾的銳角的余弦值的

15、銳角的余弦值. .【解題探求】【解題探求】1.1.向量向量 垂直嗎垂直嗎? ?提示提示: :由于由于 2.ABAD2.ABAD的等價(jià)條件是什么的等價(jià)條件是什么? ?四邊形四邊形ABCDABCD為矩形的本質(zhì)是什么為矩形的本質(zhì)是什么? ?提示提示:ABAD:ABAD的等價(jià)條件是的等價(jià)條件是 四邊形四邊形ABCDABCD為矩形的本質(zhì)是為矩形的本質(zhì)是 ACBD 與AC BD0ACBD. ，所以AB AD0. AB AD0 DCAB. ，【解析】【解析】1.1.選選C.C.由于由于 所以所以AC,BDAC,BD是相互垂直的對(duì)角線是相互垂直的對(duì)角線, ,所以所以 2.(1)2.(1)由于由于A(2,1),

16、B(3,2),D(-1,4),A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以所以 又由于又由于 =1 =1(-3)+1(-3)+13=0.3=0.所以所以 即即ABAD.ABAD.AC BD0, 11SAC BD52 5522 AB1,1AD3 3 . （），（，）AB AD ABAD ，(2)(2)如圖如圖, ,由四邊形由四邊形ABCDABCD為矩形為矩形, ,知知 設(shè)設(shè)C(x,y),C(x,y),那么那么(x+1,y-4)=(1,1),(x+1,y-4)=(1,1),即即 所以所以C(0,5).C(0,5).所以所以 所以所以 =2 =24+(-4)4+(-4)(-2)=16,(-2)=

17、16,DCAB ，x11,x0,y41,y5, 解得CA24 ,DB42 （ ， ）（ ， ），CA DB 所以所以 所以矩形所以矩形ABCDABCD兩對(duì)角線所夾的銳角的余弦值為兩對(duì)角線所夾的銳角的余弦值為 . .22|CA|242 5DBCA2 5, ，CA DB164cos52 52 5CA DB ，45設(shè)設(shè) 的夾角為的夾角為CA DB ，【延伸探求】本例【延伸探求】本例2 2的條件變?yōu)榈臈l件變?yōu)椤癆(3,4),B(0,0),C(c,0)“A(3,4),B(0,0),C(c,0), ,(1)(1)假設(shè)假設(shè)c=5,c=5,求求sinAsinA的值的值. .(2)(2)假設(shè)假設(shè)A A是鈍角是鈍

18、角, ,求求c c的取值范圍的取值范圍. .【解析】【解析】(1) (1) 當(dāng)當(dāng)c=5c=5時(shí)時(shí), =(2,-4), =(2,-4),所以所以cosA cosA 所以所以sinA= sinA= (2)(2)假設(shè)假設(shè)A A為鈍角為鈍角, ,那么那么 =-3(c-3)+160 =-3(c-3)+16 .c .顯然此時(shí)顯然此時(shí) 不共線不共線. .故當(dāng)故當(dāng)A A為鈍角時(shí)為鈍角時(shí),c,c的取值范圍為的取值范圍為 AB( 34),ACc3, 4 , ，AC AB AC6 165,5520AB AC 22 51 cos A.5AB AC ABAC 與253ABAC 和25.3(，)【方法技巧】三角形或四邊形

19、外形的斷定【方法技巧】三角形或四邊形外形的斷定(1)(1)可先求各邊對(duì)應(yīng)的向量及?？上惹蟾鬟厡?duì)應(yīng)的向量及模, ,看各邊長(zhǎng)度關(guān)系看各邊長(zhǎng)度關(guān)系. .(2)(2)再求它們兩兩的數(shù)量積再求它們兩兩的數(shù)量積, ,從而斷定其內(nèi)角能否為銳角從而斷定其內(nèi)角能否為銳角( (直角、鈍角直角、鈍角).).四邊形還可以從對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量入手四邊形還可以從對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量入手. .【變式訓(xùn)練】如圖【變式訓(xùn)練】如圖, ,四邊形四邊形OABCOABC是平行四邊形是平行四邊形,A(4,0),C(1, ),A(4,0),C(1, ),點(diǎn)點(diǎn)M M是是OAOA的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段BCBC上運(yùn)動(dòng)上運(yùn)動(dòng)( (包括

20、端點(diǎn)包括端點(diǎn)).).(1)(1)求求 的最大值的最大值. .(2)(2)能否存在實(shí)數(shù)能否存在實(shí)數(shù),使使 假設(shè)存在假設(shè)存在, ,求出求出的取值范圍的取值范圍; ;假設(shè)不存在假設(shè)不存在, ,請(qǐng)闡明理由請(qǐng)闡明理由. .3tOP CM OAOPCM? （）【解析】【解析】(1)(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x0, ),P(x0, ),那么那么1x05,1x05,M(2,0), M(2,0), 故故 所以當(dāng)所以當(dāng)x0=5x0=5時(shí)時(shí),t,t的值最大的值最大, ,最大值為最大值為t=2.t=2.3CM1,3 ,0OP CMx3, (2) (2) 由于由于 所以有所以有4-x0+3=0,4-x0+3=0,又由于又由于1

21、x05,1x05,所以所以14+35,14+35,得得 故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí), ,滿足滿足 0OAOP(4x ,3), OAOPCM, （）11.22 1 1, 2 2OAOPCM. （）【補(bǔ)償訓(xùn)練】知在【補(bǔ)償訓(xùn)練】知在ABCABC中中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)C C與與ABAB平行的直線方程平行的直線方程. .【解析】由題意【解析】由題意, ,設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為y=kx+b,y=kx+b,那么該直線的一個(gè)方向向那么該直線的一個(gè)方向向量量a=(1,k),a=(1,k),由于直線與由于直線與ABAB平行平

22、行, ,所以所以a a與與 共線共線. .又又 =(3,2)-(2,-1)=(1,3), =(3,2)-(2,-1)=(1,3),所以所以k=3.k=3.所以直線方程為所以直線方程為y=3x+b,y=3x+b,又直線過(guò)點(diǎn)又直線過(guò)點(diǎn)C(-3,-1),C(-3,-1),所以所以3 3(-3)+b=-1,(-3)+b=-1,即即b=8.b=8.所以直線方程為所以直線方程為y=3x+8,y=3x+8,即即3x-y+8=0.3x-y+8=0.AB AB 規(guī)范解答規(guī)范解答 向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的綜合運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的綜合運(yùn)用【典例】【典例】(12(12分分) )知在知在ABCABC中中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD,A(2,-1),B(3,2),C(-3