導數(shù)及其應用教案

1、課題：變化率問題教學目標：1理解平均變化率的概念；2了解平均變化率的幾何意義；3會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率教學重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率； 教學難點：平均變化率的概念教學過程：一、情景導入為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關：一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最

2、有效的工具。導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度二、知識探究探究一：氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么1 當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 探究二：高臺跳水：在高

3、臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?hto 思考計算：和的平均速度在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)。探究

4、（三）：平均變化率1、平均變化率概念：上述問題中的變化率可用式子表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2若設, (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)則平均變化率為yx1Of(x1)f(x2)y=f(x)思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象：平均變化率表示什么?x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)直線AB的斜率x2x3、函數(shù)f(x)從x0到x0x的平均變化率怎么表示？ 三、典例分析例1已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 解：，例2、求在附近的平均變化率。解：，所以 所以在附近的平均變化率為例3、求函數(shù)y5x26在區(qū)間2，2x內(nèi)的平均變化率1.78例4

5、、某盞路燈距離地面高8m，一個身 高1.7m的人從路燈的正底下出發(fā)，以1.4m/s的速度勻速沿某直線離開路燈，求人影長度的平均變化率.解：略四課堂練習1質(zhì)點運動規(guī)律為，則在時間中相應的平均速度為 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲線的割線，求出當x=0.1時割線的斜率.五回顧總結1平均變化率的概念2函數(shù)在某點處附近的平均變化率六布置作業(yè)課后記:課題:導數(shù)的概念教學目標：1了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2理解導數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵；3會求函

6、數(shù)在某點的導數(shù)教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數(shù)的概念； 教學難點：導數(shù)的概念教學過程：一、復習引入1、函數(shù)平均變化率：2、函數(shù)平均變化率的幾何意義：表示曲線上兩點連線(割線)的斜率3、在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映運動員在這段時間里運動狀態(tài).因為運動員從高臺騰空到入水的過程中，不同時刻的速度是不同的。二、知識探究hto 1、引例：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度

7、為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)2、瞬時速度：我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，時的瞬時速度是多少？考察附近的情況：、思考：當趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？、結論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值、從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在時的瞬時速度是、為了表述方便，我們用表示“當，趨近于0時，平均速度趨近于定值”、小結：局部以勻速代

8、替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。3、導數(shù)的概念：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導數(shù)，記作或，即 說明：（1）導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 （2），當時，所以4、一般地，求函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)有哪幾個基本步驟？第一步，求函數(shù)值增量：yf(xx)f(x0)；第二步，求平均變化率：第三步，取極限，求導數(shù)：5、常見結論：（1） （2） （3） （4）三、典例分析例1（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù).分析：先求y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求解：法一（略） 法二：（2

9、）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù) 解： 例2（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導數(shù)定義，所以同理可得:在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況四課堂練習1質(zhì)點運動規(guī)律為，求質(zhì)點在的瞬時速度為2求曲線y=f(x)=x3在時的導數(shù)3例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時

10、變化率，并說明它們的意義五回顧總結1瞬時速度、瞬時變化率的概念2導數(shù)的概念六布置作業(yè)課題：導數(shù)的幾何意義教學目標：1了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2理解曲線的切線的概念；3通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義，并會用導數(shù)的幾何意義解題；教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數(shù)的幾何意義； 教學難點：導數(shù)的幾何意義教學過程：一復習引入1、函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)的含義是什么？2、求函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)有哪幾個基本步驟？3、導數(shù)f(x0)表示函數(shù)f(x)在xx0處的瞬時變化率，這是導數(shù)的代數(shù)意義，導數(shù)是否具有某種幾何意義，是一個需要探究的問題.二知識探究探究一：導數(shù)的幾何意

11、義1、曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？圖3.1-2我們發(fā)現(xiàn),當點沿著曲線無限接近點P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系？ 切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：、設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念：提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導數(shù).、曲線在某點處的切線：、與該點的位置有關；、要根據(jù)割線是否有極限位置來判

12、斷與求解。如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的；如不存在,則在此點處無切線；、曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.2、導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即：說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:、求出P點的坐標;、求出函數(shù)在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率；、利用點斜式求切線方程.探究二；導函數(shù)概念：1、導函數(shù)定義：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當x=x0時,是一個確定的數(shù)，那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).記作：或，即: 注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡

13、稱導數(shù)2、函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù) 3）函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點處的導數(shù)的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點處的導數(shù).解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因為所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即練習：求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在

14、該點處的導數(shù) 解： 例2（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、附近的變化情況解：我們用曲線在、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況（1） 當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降（2） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減（3） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢例3（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位

15、：）變化的圖象根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到）解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的導數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值作處的切線，并在切線上去兩點，如，則它的斜率為：所以 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率0.40-0.7-1.4四課堂練習1求曲線y=f(x)=x3在點處的切線；2求曲線在點處的切線五回顧總結1曲線的切線及切線的斜率；2導數(shù)的幾何意義六布置作業(yè)課后記課題：幾個常用函數(shù)

16、的導數(shù)教學目標：1使學生應用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)、 的導數(shù)公式； 2掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù)教學重點：四種常見函數(shù)、的導數(shù)公式及應用教學難點：四種常見函數(shù)、的導數(shù)公式教學過程：一復習引入1、導數(shù)的幾何意義是什么？2、如何求函數(shù)f(x)的導函數(shù)？3、我們知道，導數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度那么，對于函數(shù)，如何求它的導數(shù)呢？由導數(shù)定義本身，給出了求導數(shù)的最基本的方法，但由于導數(shù)是用極限來定義的，所以求導數(shù)總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù)，這一單元我們將研究比較簡捷的求

17、導數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導數(shù)二知識探究函數(shù)導數(shù)1函數(shù)的導數(shù)根據(jù)導數(shù)定義，因為，所以表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時速度為0，即物體一直處于靜止狀態(tài)函數(shù)導數(shù)2函數(shù)的導數(shù) 因為。所以表示函數(shù)圖像（圖3.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動3函數(shù)的導數(shù)函數(shù)導數(shù)因為所以表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化另一方面，從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當時

18、，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為4函數(shù)的導數(shù)因為所以函數(shù)導數(shù)（2）推廣：若，則三課堂練習1課本P13探究1；2課本P13探究2；3求函數(shù)的導數(shù)四回顧總結五布置作業(yè)課題：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則教學目標：1熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；掌握導數(shù)的四則運算法則；3能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)教學重點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則教學難點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的應用教學過程：一復習引入1、四種常見函數(shù)、的導數(shù)公式及應用二知識探究探究

19、一：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù)探究二：導數(shù)的運算法則導數(shù)運算法則12特別：3三典例分析例1假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關系，其中為時的物價假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？解：根據(jù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式表，有所以（元/年）因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù)（1）（2）y ；（3）y x · sin x · ln x；（4）y ；（5）y （6）y （2 x25 x 1

20、）ex（7） y 說明：求導數(shù)是在定義域內(nèi)實行的求較復雜的函數(shù)積、商的導數(shù)，必須細心、耐心例3、日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用為：求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1） （2）解：略四課堂練習1課本P92練習2已知曲線C：y 3 x 42 x39 x24，求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；（y 12 x 8）五回顧總結（1）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表（2）導數(shù)的運算法則六布置作業(yè)課后記課題：復合函數(shù)的求導法則教學目標：理解并掌握復合函數(shù)的求導法則教學重點：復合函數(shù)的求導方法：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等

21、于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)之積教學難點：正確分解復合函數(shù)的復合過程，做到不漏，不重，熟練，正確教學過程：一復習引入1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù)2、導數(shù)的運算法則導數(shù)運算法則12特別：3二、知識探究1、復合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復合函數(shù)，記作。2、下列函數(shù)可以看成那兩個函數(shù)復合而成？yln(x23) y(2x3)3 ysin(ax1)3、復合函數(shù)的導數(shù)：復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)和的導數(shù)間的關系為，即對的導數(shù)等于對的導數(shù)與對的導數(shù)的乘積若，則三典例分析例1 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y(2x3)3；

22、（2） （3） （4）yln(3x2).例2求y 的導數(shù)例3求y sin4x cos 4x的導數(shù)【解法一】y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x【解法二】y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x例4曲線y x（x 1）（2x）有兩條平行于直線y x的切線

23、，求此二切線之間的距離【解】y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令y1即3 x22 x 10，解得 x 或x 1于是切點為P（1，2），Q（，），過點P的切線方程為，y 2x 1即 x y 10顯然兩切線間的距離等于點Q 到此切線的距離，故所求距離為四課堂練習1求下列函數(shù)的導數(shù) (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)2.求的導數(shù)五回顧總結六布置作業(yè)課題：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)教學目標：1了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系； 2能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；教學重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單

24、調(diào)區(qū)間教學難點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學過程：一情景導入函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解下面，我們運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導數(shù)在研究函數(shù)中的作用二知識探究 1問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)

25、：、運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)相應地，、從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)相應地，2函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系如圖3.3-3，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減結論：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)3求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義

26、域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間三典例分析例1已知導函數(shù)的下列信息：當時，；當，或時，；當，或時，試畫出函數(shù)圖像的大致形狀解：當時，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當，或時，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示（2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所

27、示（3）因為，所以， 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示（4）因為，所以 當，即 時，函數(shù) ；當，即 時，函數(shù) ；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示注：（3）、（4）生練例3 如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像 解：思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢結合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一

28、些如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”例4 求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)證明：因為當即時，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)說明：證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結論：為增函數(shù)，為減函數(shù)例5、已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數(shù)的取值范圍為說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解四課堂練習1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）.f(x

29、)=2x36x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx2課本練習五回顧總結（1）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間（3）證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性六布置作業(yè)課后記課題：函數(shù)的極值（一）教學目標：1、理解函數(shù)的極大值、極小值、極值點的意義.2、掌握函數(shù)極值的判別方法.進一步體驗導數(shù)的作用.教學重點：求函數(shù)的極值.教學難點：嚴格套用求極值的步驟.教學過程：一、復習引入1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有什么關系？2.利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟如何？二、知識探究探究一；函數(shù)的極值的概念1、觀察下圖中的曲線a點的函數(shù)值f

30、(a)比它臨近點的函數(shù)值都大b點的函數(shù)值f(b)比它臨近點的函數(shù)值都小2、觀察函數(shù) f(x)2x36x27的圖象，思考：函數(shù)yf(x)在點x0，x2處的函數(shù)值，與它們附近所有各點處的函數(shù)值，比較有什么特點?（1）函數(shù)在x0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說 f(0) 是函數(shù)的一個極大值；（2）函數(shù)在x2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，則f(2)是函數(shù)的一個極小值函數(shù)y2x36x27 的一個極大值: f (0)； 一個極小值: f (2)函數(shù)y2x36x27 的 一個極大值點: ( 0， f (0) )； 一個極小值點: ( 2， f (2) )3、極值的概念：一般地，設函數(shù)f(

31、x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x) f(x0)我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作：y極大值f(x0)；如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0)，我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作：y極小值f(x0)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值探究二：函數(shù)極值的求解1、觀察下圖中的曲線考察上圖中，曲線在極值點處附近切線的斜率情況上圖中，曲線在極值點處切線的斜率為0，極大值點左側導數(shù)為正，右側為負；極小值點左側導數(shù)為負，右側為正2、利用導數(shù)判別函數(shù)的極大（?。┲担阂话愕?，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，判別f(x0)是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵喝绻趚0

32、附近的左側f '(x)0，右側f '(x)0，那么，f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側f '(x)0，右側f '(x)0，那么，f(x0)是極小值；思考：導數(shù)為0的點是否一定是極值點？（導數(shù)為0的點不一定是極值點）如函數(shù)f(x)x3，x0點處的導數(shù)是0，但它不是極值點說明：、函數(shù)的極值點xi是區(qū)間a, b內(nèi)部的點，區(qū)間的端點不能成為極值點、函數(shù)的極大(小)值可能不止一個，并且函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值、函數(shù)在a, b上有極值，其極值點的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點x1x2x3x4x5x6x7x8三、典例分析例

33、1求函數(shù)解：y¢x24(x2)(x2)令 y¢0，解得 x12，x22當x變化時，y¢，y的變化情況如下表因此，當x2時， y極大值 ，當x2時，y極小值總結：求可導函數(shù)f (x)的極值的步驟： 求導函數(shù)f ¢(x)； 求方程 f ¢(x)0的根； 檢查f ¢(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f (x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f (x)在這個根處取得極小值例2求函數(shù)的極值例3 求函數(shù)y(x21)31的極值解：定義域為R，y¢6x(x21)2.由y¢0可得x11，x20，x31當x變化時

34、，y¢，y的變化情況如下表： 當x0時，y有極小值，并且y極小值0例4的極值例5的極值練習：求函數(shù)的極值四、課堂小結1函數(shù)的極值的定義。2、求函數(shù)極值的基本步驟：確定函數(shù)定義域，求導數(shù)f(x)解方程f(x)0判斷在根附近左右兩側f(x)的符號作出結論.五、課后作業(yè)課后記課題：函數(shù)的極值(二)教學目標：1、理解函數(shù)的極大值、極小值、極值點的意義.2、掌握函數(shù)極值的判別方法進一步體驗導數(shù)的作用.教學重點：求函數(shù)的極值教學難點：嚴格套用求極值的步驟.教學過程：一、復習引入1函數(shù)的極值的定義。略（1）函數(shù)的極值點xi是區(qū)間a, b內(nèi)部的點，區(qū)間的端點不能成為極值點（2）函數(shù)的極大(小)值可能

35、不止一個，并且函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值（3）函數(shù)在a, b上有極值，其極值點的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點2、求函數(shù)極值的基本步驟：確定函數(shù)定義域，求導數(shù)f(x)解方程f(x)0判斷在根附近左右兩側f(x)的符號作出結論.二、講授新課練習：（1）已知函數(shù)f (x)x3ax2bxc，且知當x1時取得極大值7，當x3時取得極小值，試求函數(shù)f (x)的極小值，并求a、b、c的值例5、設a為實數(shù)，函數(shù)f (x) = x3 x2 x + a.，（1）求f (x)的極值；（2）當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y = f (x)與x軸僅有一個交點.例2已知函數(shù)（

36、1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：例3已知在區(qū)間0,1上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又 ()求的解析式; ()若在區(qū)間(m0)上恒有x成立,求m的取值范圍.例4設函數(shù)，其中證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值例5設函數(shù)，其中（）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點；（）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立解：略四、小結五、作業(yè)：見資料課題：函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)教學目標：1、使學生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上所有點（包括端點a,b）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l

37、件；2、使學生掌握用導數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟 教學重點：利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法教學難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系教學過程：一創(chuàng)設情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c，那么在點附近找不到比更大（?。┑闹档?，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小如果是函數(shù)的最大（?。┲担敲床恍。ù螅┯诤瘮?shù)在相應區(qū)間上的所有函數(shù)值二知識探究吧 1、觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象圖中與是極小值，是極大值函數(shù)在上的最大值是，最

38、小值是2、結論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值說明：、如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)（可以不給學生講）、給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；、在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件（可以不給學生講）3、“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系、最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具

39、有相對性、從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；、函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個、極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值3利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：、求在內(nèi)的極值；、將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值三

40、典例分析例1（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當時，有極小值，并且極小值為，又由于，因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是例2 求函數(shù)yx42x25在區(qū)間 0，2上的最大值與最小值.答案：f(x)max=f(2)13，f(x)min=f(1)4.例3 求函數(shù)f(x)sin2xx 在區(qū)間上的最大值與最小值.答案：例4 求函數(shù)在上的最大值.例5已知m1為常數(shù)，求證： xln(xm).例6、若對任意x1，2，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 答案：例7、已知集合，其中a1為常數(shù)，若當x0，1時，求a的取值范圍.答案：例8、若存在正實數(shù)x，使不等式成立，求a的取值范圍.答案：a(

41、0，2).例9已知函數(shù)，其中a0為常數(shù)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，1上的最大值.答案：略四課堂練習1下列說法正確的是( )A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能3函數(shù)y=，在1，1上的最小值為( )A.0 B.2 C.1 D.4求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值五回顧總結1函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；2函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是

42、在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4利用導數(shù)求函數(shù)的最值方法六布置作業(yè)課題：生活中的優(yōu)化問題舉例（一）教學目標：1 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用2 提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力教學重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學過程一、創(chuàng)設情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利

43、用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題二新課講授導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關的最值問題；2、與物理學有關的最值問題；3、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)

44、化問題的答案三典例分析例1海報版面尺寸的設計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？ 解：設版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當時，<0；當時，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切

45、去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 令 0解得x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面同解法一，略）由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處事實上，可導函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點

46、，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例3圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得，則S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，從而h=2即h=2R，因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最省？例4已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y 4x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中

47、面積最大者的邊長【解】設位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x 0，y 0，則另一個在拋物線上的頂點為（x，y），在x軸上的兩個頂點為（x，0）、（x，0），其中0 x 2設矩形的面積為S，則S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的極值點，即是最大值點，所以這種矩形中面積最大者的邊長為和【點評】應用題求解，要正確寫出目標函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件應用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值四課堂練習1把長為60 cm的鐵絲圍成矩形，長、寬、高各為多少時，面積最大？2把長為100 cm的鐵絲分成兩段，各圍成

48、正方形，怎樣分法，能使兩個正方形面積之和最?。?用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積答案：（高為1.2 m，最大容積）五回顧總結建立數(shù)學模型1利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案2解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學模型，再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導數(shù)往往是一個有利的工具。六布置作業(yè)1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（二）教學目標1、使利潤最大、用料最省

49、、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力教學重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學過程一、創(chuàng)設情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題二新課講授導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關的最值問題；2、與物理學有關的最值問題；3、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首

50、先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案三典例分析例1.飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半

51、徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問題：（）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去）當時，；當時，當半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低（1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值（2）半徑為cm時，利潤最大換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當時，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值當時，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最小例2在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，