線性代數(shù)論文(矩陣在自己專業(yè)中的應(yīng)用及舉例)

1、矩陣在自己專業(yè)中的應(yīng)用及舉例摘要： I、矩陣是線性代數(shù)的基本概念，它在線性代數(shù)與數(shù)學(xué)的許多分支中都有重要的應(yīng)用，許多實際問題可以用矩陣表達并用相關(guān)的理論得到解決。 II、文中介紹了矩陣的概念、基本運算、可逆矩陣、矩陣的秩等內(nèi)容。20 III、矩陣在地理信息系統(tǒng)中也有許多的應(yīng)用，比如文中重點體現(xiàn)的在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 矩陣 可逆矩陣 圖形學(xué) 圖形變換 正文：第一部分 引言 在線性代數(shù)中，我們主要學(xué)習(xí)了關(guān)于行列式、矩陣、方程、向量等相關(guān)性比較強的內(nèi)容，而這些內(nèi)容在我們專業(yè)的其他一些學(xué)科中應(yīng)用也是比較廣泛的，是其它一些學(xué)科的很好的輔助學(xué)科之一。因此，能夠?qū)⑽覀兯鶎W(xué)的東西融會貫通是一件非常有

2、意義的事，而且對我們的學(xué)習(xí)只會有更好的促進作用。在計算機圖形學(xué)中矩陣有一些最基本的應(yīng)有，但是概念已經(jīng)與線性代數(shù)中的有一些不同的意義。在計算機圖形學(xué)中，矩陣可以是一個新的額坐標系，也可以是對一些測量點的坐標變換，例如：平移、錯切等等。在后面的文章中，我通過查詢一些相關(guān)的資料，對其中一些內(nèi)容作了比較詳細的介紹，希望對以后的學(xué)習(xí)能夠有一定的指導(dǎo)作用。在線性代數(shù)中，矩陣也占據(jù)著一定的重要地位，與行列式、方程、向量、二次型等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，在解決一些問題的思想上是相同的。尤其他們在作為處理一些實際問題的工具上的時候。 圖形變換是計算機圖形學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的主要內(nèi)容之一，為方便用戶在圖形交互式處理過程中度圖形

3、進行各種觀察，需要對圖形實施一系列的變換，計算機圖形學(xué)主要有以下幾種變換：幾何變換、坐標變換和觀察變換等。這些變換有著不同的作用，卻又緊密聯(lián)系在一起。第二部分 研究問題及成果 1. 矩陣的概念定義：由個數(shù)排列成的m行n列的矩陣數(shù)表 稱為一個矩陣，其中an表示位于數(shù)表中第i行第j列的數(shù)，i=1,2,3，n，又稱為矩陣的元素。A,B元素都是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣。元素屬于復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。下面介紹幾種常用的特殊矩陣。（1） 行距陣和列矩陣 僅有一行的矩陣稱為行距陣（也稱為行向量），如 A=(a11 a12 . a1n),也記為 a=(a11,a12,.a1n).僅有一列的矩陣稱為列矩陣（也稱為列

4、向量），如 a= 。(2) 零矩陣 A=記為o或者0. (3) 方陣。行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣.例如： A= 為矩陣，稱為n階方陣或者n階矩陣，簡記為A=（an）n，過元素a11，a22，a33,a44,.ann,的直線為主對角線，主對角線上的元素為主對角元。按方陣的元素排列所構(gòu)造的行列式稱為方陣的行列式。（4） 對角矩陣。主對角意外的元素全部為零的方陣稱為對焦矩陣，常記為： A= (5） 單位矩陣。主對角線上的元素全部為1的對角矩陣稱為單位矩陣，簡記為E或者I： A= (6) 數(shù)量矩陣 。主對角線上全相等的對角矩陣。例如： （其中c為常數(shù)） 為一階數(shù)量矩陣。（7） 三角矩陣。主對角線上方

5、或下方的元素全部為零的方陣稱為上（下）三角矩陣。 為n階上三角矩陣。（8） 對稱矩陣與反對稱矩陣，在方陣A=（aij）n，中，如果aij=aji（ij=1,2,3.。），則稱A為對稱矩陣，如果A還為實矩陣，那么A為實對稱矩陣。如果aij=-aji，則稱A為反對稱矩陣。 定義：兩個同類型的矩陣，如果對應(yīng)的元素相等，則稱矩陣A等于矩陣B。 2 .矩陣的運算 2.1 矩陣的加法A+B=B|+A(加法交換律)(A+B)+C=A+(B+C)（加法結(jié)合律）A+0=0+A=AA+(-A)=0. 2.2 數(shù)乘矩陣定義1：數(shù)乘一矩陣等于這個數(shù)乘以矩陣中的每一個元素。 定義2：設(shè)A B為同類型的矩陣，k，l為常數(shù)

6、，則1A=A k（lA）=（kl）A k（A+B)=KA+KB (K+L)A=KA+LA. 2.3 矩陣的乘法（1） 矩陣的乘法不滿足交換律。（2） 兩個非零矩陣的乘積可能為零矩陣。（3） 矩陣的乘法不滿足消去律。命題：（1）設(shè)A為矩陣，則 ,(2) 設(shè)A為矩陣，則 其中E為單位陣（3） 設(shè)A為m*p矩陣，B為p*q矩陣，k為數(shù)，則 A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)(4) J矩陣滿足數(shù)乘的分配律，矩陣乘積的行列式等于矩陣對應(yīng)行列式的乘積。 2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.7 稱矩陣 的轉(zhuǎn)置為 命題：設(shè)A,B,C,是矩陣，且讓它們相應(yīng)的行數(shù)和列數(shù)使相應(yīng)的運算有意義，k是數(shù)，則

7、（1） A的轉(zhuǎn)置的裝置等于A（2） B與C的和的轉(zhuǎn)置等于它們轉(zhuǎn)置的和（3）（4）（5） 若A為n階矩陣，則（6） A為對稱矩陣的充要條件是,A為反對稱矩陣的充要條件為 2.5 可逆矩陣定義 設(shè)A為n階矩陣，若存在n階矩陣B，使得 ,則稱矩陣A可逆,B是A的可逆矩陣，記作定理 如果n階矩陣A可逆，則它的逆矩陣唯一。定義 設(shè)為n階矩陣，為中的元素的代數(shù)余子式，ij=1.2.3.n，則稱矩陣 為A的伴隨矩陣，記為.由伴隨矩陣的定義，不難驗證定理 n階矩陣A可逆的充要條件為，如果A可逆，則 . 若n階矩陣A的行列式不為零，即,即稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣，由上述公式可以求出A的伴隨矩陣。推論

8、 對n階矩陣A，若有n階矩陣B使得 或者,則稱矩陣A可逆，且.克拉默法則 設(shè) ，如果矩陣A可逆，則線性方程組Ax=存在唯一解。 2.6 可逆矩陣的性質(zhì)命題 設(shè)A，B,為n階可逆矩陣，k為非零常數(shù)，則也是可逆矩陣，且（1） ;（2）（3）（4）（5）（6） m為正整數(shù)。 3 .矩陣的初等變換與矩陣的秩 3.1 矩陣的初等變換定義 對矩陣的行（列）實行下列三種操作（或變換）之一，稱為對矩陣實行了一次初等行（列）變換：（1） 交換矩陣的兩行（列）；（2） 矩陣的某一行（列）的元素乘以一個不等于零的數(shù)；（3） 將矩陣某一行（列）的元素加上另一行（列）對應(yīng)元素相同的倍數(shù)。定義 滿足一下條件的矩陣稱為行階

9、梯型矩陣，簡稱為階梯型矩陣；（1） 非零行（元素不全為零的行）的標號小于零行（元素為零的行）的標號；（2） 設(shè)矩陣有r個非零行，第i個非零行的第一個非零元素所在的列號為，則定理 任何矩陣都可以經(jīng)過單純的初等行變換化為階梯形矩陣。定義 一個階梯型矩陣如果滿足：（1） 每一個非零行的第一個元素都為1；（2） 每一個非零行的第一個元素所在的列的其他元素都為零，則稱它為簡化的階梯型矩陣（也稱為規(guī)范的階梯型矩陣），定義 如果一個非零矩陣的左上角為單位矩陣，其他位置的元素都為零，則稱這個矩陣為標準型矩陣。 3.2 矩陣的秩定義 在矩陣中任取k行和k列位于這k行和k列的交叉點的個元素，按照它們在矩陣A中的相

10、對位置組成的k階行列式稱為矩陣A的一個k階子式。定義 若矩陣中有一個r階子式不為零，而A中所有的r+1階子式（如果存在的話）都為零，則稱r為矩陣A的秩，記為或規(guī)定零矩陣的秩為零。命題 （1）一個矩陣的秩是唯一的。（2） 設(shè)則的充要條件是A=0.（3） 若矩陣A中有一個r階子式不為零，則若矩陣A中所有的r階子式全為零，則（4） 在矩陣A中，任選s行t列，位于這s行t列交叉上的元素按它們在A中的相對位置所構(gòu)成的矩陣稱為A的一個子矩陣。若是A的一個子矩陣，則（5）（6） 階梯型矩陣的秩等于它非零行的個數(shù)。設(shè)如果則稱A為行（列）滿秩矩陣，簡稱滿秩矩陣。定理 初等變換不改變矩陣的秩。 3.3 初等矩陣的

11、概念與性質(zhì)定義 單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣都是初等矩陣。定理 用一個m階初等矩陣左乘一個階矩陣A，相當于對矩陣A進行相應(yīng)的初等行變換；用一個n階初等矩陣右乘一個階矩陣進行初等列變換。推論 初等矩陣都是可逆矩陣。定理 對于任意的階矩陣A，存在m階初等矩陣使得為階梯型矩陣（或簡化的階梯型矩陣）；存在n階初等矩陣使得 其中推論1 對任何階矩陣A，存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q，使得 推論2 對任何n階矩陣A，A可逆的充要條件為A的標準型矩陣為n階單位矩陣。推論3 矩陣A可逆的充要條件為其中是初等矩陣。推論4 任何一個可逆矩陣A經(jīng)過單純的初等行變換都可以化為單位矩陣。推論5 設(shè)矩陣A為 矩

12、陣，P為m階可逆矩陣，Q為n階可逆矩陣，則 矩陣的等價定義 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊，則稱矩陣A與矩陣B等價（或相抵）。 4. 二維變換及觀察圖形變換是計算機圖形學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一。為方便用戶在圖形交互式處理過程中對圖形進行各種觀察，需要對圖形實施一系列變換。計算機圖形學(xué)中圖形變換主要有幾何變換、坐標變換和觀察變換。這些變換有著不同的作用，卻又緊密聯(lián)系在一起。而這些變換正是通過矩陣的變換來實現(xiàn)的，因此，線性代數(shù)中的矩陣方面與計算機圖形學(xué)聯(lián)系還是很緊密的，不可分離的。 4.1 幾何變換一般來說，圖形的幾何變換是指圖形的幾何信息通過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。也就是圖形在

13、方向、尺寸和形狀方面的變換，需要改變圖形對象的坐標描述。應(yīng)對應(yīng)幾何變換可以使靜止的圖形按照一定的幾何規(guī)則運動，從而更加有利于形體的設(shè)計。復(fù)雜圖形的幾何變換可以通過變換矩陣對構(gòu)成圖形的基本元素（點，線和面）的作用而實現(xiàn)，其中點的矩陣變換是這些變換的基礎(chǔ)。例如：對于線框圖的變換，以點的變換為基礎(chǔ)，將圖形學(xué)的一系列點作幾何變換后，根據(jù)原因的拓撲關(guān)系連接新的頂點即可產(chǎn)生新的圖形。對于參數(shù)方程的描述的圖形，可以對參數(shù)方程作幾何變換，實現(xiàn)圖形的變換。 4.2 齊次坐標 齊次坐標技術(shù)是從幾何學(xué)發(fā)展起來的。齊次坐標表示在投影幾何中是一種證明定理的工具。有時在n維空間中比較難解決的問題，轉(zhuǎn)換到n+1維空間比較容

14、易解決。通過齊次坐標技術(shù)應(yīng)用到計算機圖形學(xué)中，使圖形變換轉(zhuǎn)化為表示圖形的點集矩陣與某一變換矩陣相乘這一單一問題，因而可以借助計算機的高速計算功能，很快得到變換后的圖形，從而為高速動態(tài)的計算機圖形提供了可能性。 所謂齊次坐標表示就是n+1維向量表示n維向量。例如：二維平面上的點P（x，y）的齊次坐標表示。這里，h是任一不為零的比例系數(shù)。類似地三維空間中坐標點的齊次坐標表示為。推而廣之，n維空間中的坐標點的齊次坐標表示為，其中。這里要注意，n維空間用非齊次坐標表示一個點向量具有n個坐標分量且是唯一的。若用齊次坐標表示該向量則有n+1個坐標分量且不唯一。例如，二維點（x，y）的齊次坐標表示為.（10

15、,20,4），（6,10,2）和（3,5,1）均為（3,5）這一二維點的齊次坐標表示。為了簡化計算，這里采用規(guī)范化齊次坐標表示來保證唯一性。規(guī)范化齊次坐標表示就是的齊次坐標表示。從其次坐標轉(zhuǎn)換到規(guī)范化齊次坐標的方法如下：一個n維向量的齊次坐標表示為，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)范化齊次坐標為，即，如此就完成了它到規(guī)范化齊次坐標表示的轉(zhuǎn)換。規(guī)范化齊次坐標表示提供了用矩陣運算將二維，三維甚至更高維空間中的一點集從一個坐標系轉(zhuǎn)化另一個坐標系的方法。 4.3 二維變換矩陣 假設(shè)點為xoy平面上二維圖形變換的一點，變換后該點變?yōu)?。在引入?guī)范化齊次坐標表示后，點p可以用一個矩陣表示，這個矩陣可以是行向量矩陣，也可以是列向

16、量矩陣，即 或 這里用行向量矩陣形式。 這樣，二維空間中的可以表示成點的齊次坐標矩陣與三階矩陣相乘，即式中，為二維齊次坐標變換矩陣，簡稱二維變換矩陣。 從功能上可以將分為4個子矩陣。其中，是對圖形進行比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切等變換，是對圖形進行平移變換；是對圖形進行投影變換；是對圖形進行整體比例變換。 5 基本幾何變換 基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換，有平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射和錯切等。在本章后面的內(nèi)容中，如果沒有特別說明，均假定用表示xoy平面上一個未被轉(zhuǎn)換的點，該點經(jīng)某種變換后變?yōu)樾碌狞c，用表示。 5.1 平移變換 平移是指將p點沿直線路徑從一個坐標位置移到另一個坐標位置

17、的重定位過程。其中稱為平移矢量，表示沿著坐標軸正方向分別平移了的距離。P點經(jīng)過平移變換后有 平移是一種不產(chǎn)生變形而移動物體的剛性變換，即物體上的每一個點移動相同的數(shù)量的坐標。引入規(guī)范齊次化坐標表示和二維矩陣后，平移變換的計算形 5.2 比例變換 這里的比例變換是指對p點相對于坐標原點沿著x方向縮放倍，沿著y方向縮放倍，其中稱為比例系數(shù)。對于p點來說，經(jīng)過變換后有 比例變換的齊次坐標計算形式如下： 比例變換改變的是物體的大小。當時，圖形沿著兩個坐標軸方向等比例放大；反之，圖形沿著坐標軸方向等比例縮??；當二者不相等時，圖形沿著兩個坐標軸做非均勻的比例變換，這時相對于原來圖形會產(chǎn)生一定的變形。 當時

18、，變換稱為整體比例變換，可以利用一下矩陣進行計算：式中，齊次坐標與表示同一個點，因此用等號。 整體比例變換時，若s大于1，圖形整體縮小，否則圖形整體放大，若s小于0，發(fā)生相對于原點對稱的等比例變換。 5.3 旋轉(zhuǎn)變換 二維旋轉(zhuǎn)是指將p點繞坐標原點轉(zhuǎn)動某個角度得到新的的重定位過程，對于給定的點，其繞極坐標形式為： 于是表示為 由于旋轉(zhuǎn)變換通過圍繞原點旋轉(zhuǎn)某一個角度得到，因此需要規(guī)定旋轉(zhuǎn)角的方向。通常規(guī)定，圖形圍繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度為正，順勢針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度為負。在xoy平面上，二維圖形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角的齊次坐標計算形式為 二維圖形繞原點順時針旋轉(zhuǎn)齊次坐標形式為 值得注意的是，在動畫及其它包含

19、許多小旋轉(zhuǎn)角的應(yīng)用中，必須考慮旋轉(zhuǎn)變換的計算效率?？紤]到當不間斷的旋轉(zhuǎn)一個物體時，為了使旋轉(zhuǎn)過程連續(xù)、逼真，每次所轉(zhuǎn)過的角度必須很小，此時有且這里為弧度值，于是旋轉(zhuǎn)變換的矩陣計算形式可以寫成 當然，實際系統(tǒng)中還必須考慮積累誤差的問題，即在誤差積累變得太大時，需要重新計算物體的位置。 5.4 對稱變換 對稱變換也叫做反射變換或鏡像變換，變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點的鏡像。（1）.關(guān)于x軸對稱 點p經(jīng)過關(guān)于x軸的對稱變換后形成點，則且，寫成齊次坐標形式為 類似的，可以寫出關(guān)于原點、y軸，軸以及軸的對稱變換矩陣的計算形式。（2）.關(guān)于y軸對稱 （3）.關(guān)于原點對稱 （4）.關(guān)于軸對稱 （5

20、）.關(guān)于軸對稱 5.5 錯切變換在圖形學(xué)應(yīng)用中，有時需要產(chǎn)生彈性物體的變形處理，這就是錯切變換，也稱為剪切或錯位變換，在前述變換中，變換矩陣的非對角線元素大都為0，若變換矩陣中非對角元素不為0，則意味著x，y同時對圖形的變換起作用，也就是說，變換矩陣中非對角線元素起著把圖形沿著x方向或者y方向錯切的作用。X值y值越小，錯切量越小；x值y值越大，錯切來量越大。其變換矩陣為 （1）.沿x方向的錯切當時，有此時，圖形的y坐標不變，x坐標值隨初值（x，y）及其變換系數(shù)c作線性變換。 （2）.沿兩個方向錯切當，且時，有 圖形沿x，y兩個方向作錯切位移。以上分析均以點的變換為基礎(chǔ)，但所得到的變換矩陣計算形

21、式可以推廣到直線、多邊形等二維圖形的幾何變換中，即二維圖形的幾何變換均可以表示成齊次坐標與三階的二維變換矩陣T的乘法形式。5.6二維圖形幾何變換的計算一般地，幾何變換均可表示成P'=PT的形式，其中，P為變換前二維圖形的規(guī)范化齊次坐標矩陣，P'為變換后圖形的規(guī)范化齊次坐標矩陣，T為變換矩陣。 （1）.點的變換首先將點表示成規(guī)范化齊次坐標的矩陣形式，則P'=PT可以寫成 = T（2）.直線的變換直線的變換是將變換矩陣作用于直線的兩個端點，按照新的端點坐標繪制即得到變換后的直線。將直線兩個端點表示成規(guī)范化齊次坐標的矩陣形式然后與變換矩陣相乘，此時的P'=PT,即=T （3）.多邊形的變換多邊形的變換是將變換矩陣作用到每個頂點的坐標位置，并按照新的頂點坐標值和當前屬性設(shè)置來生成新的多邊形。具體操作如下：首先將各個頂點坐標寫成矩陣形式，然后集中在一起與變換矩陣相乘。例如，有n個頂點的多邊形，表示成規(guī)范化齊次坐標的矩陣形式=然后與變換矩陣相乘，則,即=T （4）.曲線的變換 通常，曲線的變換可以通過變換曲線的每一點并依據(jù)這些點重新畫線來完成。但對某些特殊曲線，該過程可以得到簡化。如圓的平移與旋轉(zhuǎn)，可以在平移與旋轉(zhuǎn)圓心后