直線和平面的位置關(guān)系

1、直線和平面的位置關(guān)系一、選擇題(本題每小題5分,共60分1.當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為60°時(shí),要使一根長(zhǎng)為2m 的細(xì)桿的影子最長(zhǎng),則細(xì)桿 與水平地面所成的角為 ( A .15°B .30°C .45°D .60°2.正方體ABCD -A 1B 1C 1D 1中,對(duì)角線AC 1與底面ABCD 所成的角的正切等于( A .1B .2C .22 D .33 3.長(zhǎng)方體ABCD -A 1B 1C 1D 1中,對(duì)角線AC 1與面ABCD 、面BCC 1B 1所成的角分別 為、,面對(duì)角線BC 1與面ABCD 所成的角為,則有 ( A .sin =sin

2、 sin B .cos =sin cos C .cos =cos cos D .sin =cos sin 4.空間四邊形的與各頂點(diǎn)等距離的截面共有 ( A .7個(gè) B .4個(gè) C .3個(gè) D .1個(gè)5.圖中給出的是長(zhǎng)方體形木料想象沿圖中平面所示位置截長(zhǎng)方體,若那么截面圖形是下面四個(gè)圖形中的 A B C D6.Rt ABC 的斜邊BC 在平面內(nèi),A ,設(shè)A 在上的射影為A ,則由A 'B ,A 'C ,BC 組成的圖形是( A .直角三角形B .銳角三角形C .線段或銳角三角形D .線段或鈍角三角形7.正方體最長(zhǎng)的對(duì)角線所在的直線與正方體各條棱所成的角的弧度值的種數(shù)是 ( A .

3、1B .2C .3D .48.空間五個(gè)點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的連線都與其他三個(gè)點(diǎn)確定的平面垂直,則這五個(gè)點(diǎn)( A .存在,且其中任意四個(gè)點(diǎn)不共面. B .存在,其中可能有四個(gè)點(diǎn)共面.C .不存在,但在任意兩個(gè)點(diǎn)確定的10條直線中可以有8條分別與另外三個(gè)點(diǎn)確定的平面垂直.D .不存在,且在任意兩個(gè)點(diǎn)確定的10條直線中至少有7條分別與另外三個(gè)點(diǎn)確定的平面垂直.9.設(shè)P 是平面外一點(diǎn),且P 到平面內(nèi)的四邊形的四條邊的距離都相等,則四邊形是( A .梯形B .圓外切四邊形C .圓內(nèi)接四邊形D .任意四邊形 10.若a ,b 是異面直線,P 是a ,b 外的一點(diǎn),有以下四個(gè)命題:過(guò)P 點(diǎn)可作直線k 與a ,b

4、 都相交; 過(guò)P 點(diǎn)可作平面與a ,b 都平行; 過(guò)P 點(diǎn)可作直線與a ,b 都垂直;過(guò)P 點(diǎn)可作直線k 與a ,b 所成角都等于50.這四個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是 ( A .、 B .、 C . D .、11.若一個(gè)長(zhǎng)方體共點(diǎn)的三個(gè)表面的對(duì)角線長(zhǎng)分別為a 、b 、c ,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是( A .222c b a +B .2222c b a + C .ca bc ab + D .2(3ca bc ab +12.已知四棱錐底面四邊形中順次三個(gè)內(nèi)角的大小之比為2:3:4,此棱錐的側(cè)棱與底面所成的角相等,則底面四邊形的最小角是 ( A .11180B .60C .13180D .無(wú)法確定的二、填

5、空題(本題每小題4分,共16分13.若兩直線a ,b 在平面上的射影a ',b '是平行的直線,則a ,b 的位置關(guān)系是 . 14.正方形ABCD 在平面的同側(cè),若A 、B 、C 三點(diǎn)到的距離分別為2,3,4,則BD所在直線與平面的位置關(guān)系是 . 15.設(shè)正方體1111D C B A ABCD -,恰好到其中5個(gè)面所在平面的距離都相等的點(diǎn)共有 個(gè),平面M 與各條棱所成的角都等于,則=sin .16.在體對(duì)角線長(zhǎng)為l 的長(zhǎng)方體中,體對(duì)角線在相鄰三個(gè)面內(nèi)的射影長(zhǎng)的和的最大值等于_ .三. 解答題(共74分17.(10分已知四邊形ABCD 中,ABC=BCD=CDA=DAB=90&#

6、186;,求證:四邊形是矩形.18.(12分如圖,P 是ABC 所在平面外一點(diǎn),M ,N 分別是PA 和A B 的中點(diǎn),試過(guò)點(diǎn)M ,N 做平行于AC 的平面,要求:(1畫出平面分別與平面ABC ,平面PBC ,平面PAC 的交線; (2試對(duì)你的畫法給出證明. 19.(12分有一條東西方向的河流,在岸邊設(shè)探照燈P ,PO 垂直于地面XOY ,燈光PA射向正東北方向,且與地面成60º角,求燈光PA 與河岸OX 所成角的余弦.C20.(10分直角三角形ABC中,A=90º,AB=2AC,Q為AB上一點(diǎn),QB=54AC,P為平面ABC外一點(diǎn),且PB=PC,求證:PQBC.21.(1

7、4分若直線L與平面內(nèi)三條兩兩相交的直線a,b,c所成的角相等.求證:L. 22.(16分正方形ABCD中,AB=2,E、F分別是邊AB及BC的中點(diǎn),將AED及DCF折起(如圖,使A、C點(diǎn)重合于A'點(diǎn).(證明A'DEF;(求三棱錐A'EFD的體積;(求A'D與平面DEF所成角的正切值. 參考答案 一、 選擇題（本題每小題 5 分，共 60 分） BCDA 3解 ADAA BDBB 取 AB=1，AD=2， AA1 = 1 ，驗(yàn)算即得僅 D 適合 3 ，因此所成角的弧度數(shù)只有 1 種 3 7解 由于所成角的余弦值都是 8解 取銳角ABC，設(shè)其垂心為 H，過(guò) H 作直

8、線 k，使 k 與平面 ABC 垂直，設(shè) CP 是ABC 的一條高，在 l 上取一點(diǎn) D，使DPC 是銳角三角形，并作 CQ DP，CQ 與 l 交于 E，則 A、B、C、D、E 這五個(gè)點(diǎn) 10 解 當(dāng)直線 a 與 P 點(diǎn)確定的平面 與 b 平行時(shí)，過(guò) P 點(diǎn)所作的與 a 相交的直線都在 內(nèi)，不可能與 b 相交，因此命題不正確；同樣，在這種情況下，過(guò) P 點(diǎn)作與 b 平行的平面恰是 ， 通過(guò) a 與 a 并不平行，因此命題也不正確 12解 因?yàn)槔忮F的各側(cè)棱與底面所成角相等，所以頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面四邊形的外接圓圓心，底 設(shè) B： 3： 由于 A+C=180 ， 因此 A=60 ， C=12

9、0 ， B=D=90 ， 面四邊形 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形。 A： C=2： 4， 最小角為 A=60 二、填空題（本題每小題 4 分，共 16 分） 13解 14解 平行或異面 BD/ ；由圖可知 B，D 兩點(diǎn)到平面 的距離都是 3，故 BD/ C D 中任意兩點(diǎn)的連線與其他三點(diǎn)確定的平面垂直 o o o o o B A 15解 6； 3 . 提示：正方體的中心 O 關(guān)于六個(gè)面的對(duì)稱點(diǎn)均合條件，故所求的點(diǎn)共有 6 個(gè)；平面 M 有 3 無(wú)數(shù)個(gè)，其中一個(gè)是平面 AB1C ，恒有 sin = 3 . 3 16解 6l . 2 設(shè)長(zhǎng)方體中過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是 x，y，z，則體對(duì)角線 l=

10、 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 + y2 + z 2 注意到由 a +b 2ab，b +c 2bc，c +a 2ca 可導(dǎo)出 2（a +b +c ） 2（ab+bc+ca） x 2 + y 2 = a, y 2 + z 2 = b, z 2 + x 2 = c 代入上式， 3 2+y2） 便得 （x ） 2， 2 3 a2+b2+c2） （a+b+c） 以 （ +（y2+z2）+（z2+x2） 即 6l2 （ （ x2 + y2 + y2 + z2 + z2 + x2 x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 ）2 ， x 2 + y 2 + y 2 + z

11、2 + z 2 + x 2 6l 6 不等式左端即體對(duì)角線在相鄰三個(gè)面上的射影的和 三、解答題（共 74 分） 17證明 若四點(diǎn) A，B，C，D 不在同一平面內(nèi)，設(shè) A 點(diǎn)在平面 BCD 內(nèi)的射影（垂足）為 O，則 AOBC， 又BCAB，BC面 AOB，BCOB； 同理 DCOD BD 但 OB 2 = BO 2 + DO 2 , BD 2 = AB 2 + AD 2 ; < AB, OD < AD, OB 2 + OD 2 < AB 2 + AD 2 , BD 2 BD 2 ，矛盾故四點(diǎn) A，B， C，D 在同一平面內(nèi)，即四邊形 ABCD 是矩形 18解 （1）過(guò) N 點(diǎn)

12、作 NE/AC 交 BC 于 E，過(guò) M 點(diǎn)作 MF/AC 交 PC 于 F，連結(jié) EF，則平面 MNEF 為平 行于 AC 的平面 ，NE，EF，MF 分別是平面 與平面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交線 （2）NE/AC，MF/AC，NE/MF. 直線 NE 與 MF 共面，NE，EF，MF 分別是平面 MNEF 與平 面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交線 NE/AC，NE 平面 MNEF，AC/平面 MNEF平面 MNEF 為所求的平面 解 PO平面 XOY，PAO 是燈光 PA 和地面所成的角，從而PAO=60º，AOX=45º。作 ABOY 于

13、 B，AB/OX，故PAB 是燈光與河岸所成的角設(shè) PA=a,則 OA=PAcos60º= 1 2 a,AB=OAsin45º= 2 4 a.在 RtPBA 中 cosPAB= AB 2 = 。 PA 4 5 5 3 ，AB=2AC=2，QA=2- = 。 4 4 4 20證明：取 BC 中點(diǎn) M，連接 PM，QM，令 AC=1，則 BQ= 2 設(shè)直線 a,b,c 都過(guò) L 與平面 的交點(diǎn) O。在 a,b,c 上分別 A，B，C，使得 OA=OB=OC。在 L 上取一點(diǎn) P，則 5 3 QC= QA + AC = + 1 = 。QC=QB，QMBC。又PMBC，BC平面 P

14、MQ，BCPQ 4 4 2 1 證明 直線 L 與平面 內(nèi)的兩兩相交的直線 a,b,c 所成的角相等，L ，L 與 相交不妨 2 2 POA=POB=POC，POAPOBPOC，則 PA=PB=PC。取 AB，BC 的中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)，則 PEAB， PFBC，且 OEAB，OFBC，又PEOE=E，PFOF=F，AB平面 POE，BC平面 POF.則 LAB，LBC 而 ABBC=B，L 7 P O A E a B b F C c 22證明 A E， A D A F， A D平面 A EF， A DEF （） A D平面 A EF A D 的長(zhǎng)為三棱錐 D A EF 的高. A E= A F=1，又 EF = 2 ， （） A D E A F=90°， （）取 EF 中點(diǎn) G，連 V A EFD = VD AEF