高等數(shù)學(xué)公式一元函數(shù)部分

1、高等數(shù)學(xué)公式（一元函數(shù)部分）目 錄第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 集合、映射與函數(shù)第二節(jié) 數(shù)列的極限第三節(jié) 函數(shù)的極限第四節(jié) 無窮小與無窮大第五節(jié) 連續(xù)性第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則第二節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 微分第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理第二節(jié) 洛必達(dá)法則第三節(jié) 泰勒公式第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二 函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三 函數(shù)的極值和最值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四 曲線的凹凸性和拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五 曲線的漸近線導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用六 曲線的曲率第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 原函數(shù) 不定積分 不定積

2、分公式第二節(jié) 不定積分的換元積分法 第一類換元法 (湊微分法) 第二類換元法第三節(jié) 不定積分的分部積分法第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 微積分基本公式第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法第四節(jié) 反常積分第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用 平面圖形的面積 體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 弧長(zhǎng) 旋轉(zhuǎn)曲面的面積第二節(jié) 定積分的物理應(yīng)用 變力做功 抽水做功 水壓力索引第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 集合、映射與函數(shù)鄰域的概念點(diǎn)的鄰域：幾個(gè)重要的分段函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) 性質(zhì)：符號(hào)函數(shù) 符號(hào)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的關(guān)系：符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)：取整函數(shù) = 小于或等于x的最大整數(shù)是左邊的第一個(gè)整數(shù)(向左取整)。是分段

3、函數(shù)：取整函數(shù)的性質(zhì)： 狄利克雷 (Dirichlet) 函數(shù)Dirichlet 函數(shù)有很多“糟糕”的性質(zhì)首先，它沒有具體的表達(dá)式。其次，它沒有圖形：我們無法作出它的圖形，它的圖形是處處間斷的。又，它是沒有最小正周期的周期函數(shù)：每一個(gè)有理數(shù)都是函數(shù)的周期。基本初等函數(shù)：以下五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)：(1) 冪函數(shù)、(2) 指數(shù)函數(shù)、(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)、(4)三角函數(shù)、(5) 反三角函數(shù)(1) 冪函數(shù) (Power function) ()常見的冪函數(shù)： (2) 指數(shù)函數(shù) (Exponential function) 常見的指數(shù)函數(shù)： (3) 對(duì)數(shù)函數(shù) (Logarithmic function)

4、 常見的對(duì)數(shù)函數(shù)：(自然對(duì)數(shù)) (常用對(duì)數(shù)) (4) 三角函數(shù) (Trigonometric function)正弦余弦正切余切正割余割 (5) 反三角函數(shù) (Inverse trigonometric function)反正弦 反余弦反正切反余切初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合，并且能用一個(gè)公式表示的函數(shù)。雙曲函數(shù) (Hyperbolic function)雙曲正弦 (Hyperbolic sine)雙曲余弦 (Hyperbolic cosine)雙曲正切 (Hyperbolic tangent)反雙曲函數(shù) (Inverse hyperbolic function)反雙

5、曲正弦 反雙曲余弦反雙曲正切返回目錄第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的概念數(shù)列：數(shù)列可以看成一個(gè)定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，稱為整標(biāo)函數(shù)：()數(shù)列的單調(diào)性單增數(shù)列 ：?jiǎn)螠p數(shù)列 ：數(shù)列的有界性有界數(shù)列：，使得()。無界數(shù)列：，使得。數(shù)列無界的充分必要條件是存在趨于無窮大的子數(shù)列：數(shù)列有界性的等價(jià)定義數(shù)列有界的充要條件是：，使得()。和分稱為數(shù)列的下界和上界。（數(shù)列有界當(dāng)且僅當(dāng)它既有上界，又有下界。）數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的直觀定義：是指：當(dāng)無限增大()時(shí)，一般項(xiàng)無限地趨于數(shù)()。數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 (定義)：是指：對(duì)于任意給定的，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立。即 一些重要的數(shù)列極限數(shù)列極限說

6、 明 () ()此結(jié)論常用。例如，例如，。 () ()例如，。 ()常用，的特例。 ()常用，的特例。 (，)此極限說明是的高階無窮大。例如，。 ()此極限說明是的高階無窮大。例如，。此極限說明是的高階無窮大。本科不作要求。本科不作要求。重要極限，的定義。的無窮級(jí)數(shù)展開式。調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。歐拉常數(shù) 。*施篤茲定理 施篤茲定 理設(shè)數(shù)列若單調(diào)增加且，若存在，則 施篤茲定理可以用來計(jì)算一些難度較大的數(shù)列極限(型)。由施篤茲定理可以得到的一些極限(1) 若存在，則。前項(xiàng)的算術(shù)平均值的極限等于數(shù)列的極限。(2) 若存在()，則。前項(xiàng)的幾何平均值的極限等于數(shù)列的極限。(3) 若存在()，則。收斂數(shù)列的性質(zhì)

7、數(shù)列極限的性質(zhì)說 明唯一性若數(shù)列收斂，則其極限是唯一的。極限存在必唯一。有界性若數(shù)列收斂，則是有界數(shù)列。收斂數(shù)列必有界。例如，收斂，因此它是有界的。若數(shù)列無界，則發(fā)散。無界數(shù)列必發(fā)散。例如，無界，因此它是發(fā)散的。若數(shù)列有界，則不一定收斂。有界數(shù)列不一定收斂。反例：數(shù)列有界，但它不收斂。保號(hào)性若(或)，則存在，使得當(dāng)時(shí)，都有(或)。收斂于正數(shù)(或負(fù)數(shù))的數(shù)列最終將成為正的(或負(fù)的)數(shù)列(最多有有限項(xiàng)例外)。數(shù)列與子數(shù)列的斂散性關(guān)系若數(shù)列收斂于，則它的任何子數(shù)列也收斂于。整體收斂，部分收斂。若數(shù)列有一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，則也發(fā)散。部分發(fā)散，整體發(fā)散。若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，則也發(fā)散。例如，

8、 數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列和收斂于不同的極限和，故數(shù)列發(fā)散。若子數(shù)列與都收斂于，則數(shù)列也收斂于。奇次項(xiàng)子數(shù)列和偶次項(xiàng)子數(shù)列都收斂于同一極限，則數(shù)列收斂。這是一個(gè)重要的結(jié)論。若，則。證明：利用不等式。逆命題不成立。反例：。數(shù)列收斂的兩個(gè)準(zhǔn)則(1) 夾逼準(zhǔn)則：若 ()且，則。特例 若 ()且，則夾逼準(zhǔn)則的用法：當(dāng)極限難以確定時(shí)，可以將縮放成和()，使得極限和容易求得，并且，則。(2) 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。具體地說：(1) 單調(diào)增加的數(shù)列若有上界，則必有極限，且的最小上界 (上確界)(2) 單調(diào)減少的數(shù)列若有下界，則必有極限，且的最大下界 (下確界)單調(diào)有界準(zhǔn)則的用法：如果能判定數(shù)列單調(diào)增加

9、(或單調(diào)減少)，并且能證明或觀察有上界(或下界)，則必有極限。數(shù)列極限的運(yùn)算法則設(shè)數(shù)列和都收斂，則數(shù)列， ，和()也收斂，且有下列運(yùn)算法則。運(yùn)算法則說 明和差的極限極限的和差數(shù)列極限的線性性質(zhì)倍數(shù)的極限極限的倍數(shù)積的極限極限的積 ()商的極限極限的商 ()倒數(shù)的極限極限的倒數(shù)數(shù)列斂散性的若干性質(zhì)性質(zhì)說 明設(shè)和都收斂，則也收斂。收斂收斂收斂設(shè)收斂，但發(fā)散，則必發(fā)散。收斂發(fā)散發(fā)散設(shè)和都發(fā)散，則不一定發(fā)散。發(fā)散發(fā)散發(fā)散返回目錄第三節(jié) 函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值的函數(shù)極限：（1） 函數(shù)極限的直觀定義：是指：當(dāng)自變量無限地趨于（）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限地趨于數(shù)（），即。（2） 函數(shù)極限的嚴(yán)格定義（定義

10、）是指：對(duì)于任意給定的，總存在，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，就有。即 （3）極限的幾何解釋：表示：，使 （）即對(duì)于任意的，都能確定的一個(gè)去心鄰域，使得在這個(gè)去心鄰域內(nèi)，函數(shù)的圖形位于水平直線和之間的一個(gè)寬為的條形區(qū)域內(nèi)。單側(cè)極限左極限 是指：，總存在，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，就有。右極限 是指：，總存在，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，就有。極限與單側(cè)極限的關(guān)系：極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在并且相等，即或推論 若，則極限不存在。注 這是證明極限不存在的一個(gè)重要方法。函數(shù)在處的單側(cè)極限和極限兩個(gè)基本極限：， （圖形）。函 數(shù)單側(cè)極限極 限圖 形, 不存在下圖1, 不存在下圖2, 不存在下圖3, 不存在下

11、圖4 圖1 圖2 圖3 圖4二、自變量趨于無窮大的函數(shù)極限（1）函數(shù)極限的直觀定義是指：當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大（）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限地趨于數(shù)（），即。（2）函數(shù)極限的嚴(yán)格定義（定義）(3) 單向極限的定義是指：對(duì)于任意給定的，總存在，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，就有。即極限與單向極限的關(guān)系：極限存在的充分必要條件是極限和極限都存在并且相等。即 推論 若，則極限不存在。注 這是證明極限不存在的一個(gè)重要方法。點(diǎn)評(píng) 表示的絕對(duì)值無限增大（可正可負(fù)），表示是正數(shù)且其絕對(duì)值無限增大，表示是負(fù)數(shù)且其絕對(duì)值無限增大。一些單向極限存在但極限不存在的函數(shù) 函數(shù)單向極限極限圖形 不存在圖形 不存在圖形 不存在圖形 不

12、存在圖形 不存在圖形 不存在圖形函數(shù)極限的六種定義 為了便于使用和比較，現(xiàn)將函數(shù)極限的六種定義列表如下：極限類型對(duì)任意給定的都存在當(dāng)時(shí)就有不等式 函數(shù)極限的性質(zhì)由極限的幾何解釋，可以得出函數(shù)極限的若干性質(zhì)。唯一性 若極限存在，則其極限是唯一的。（極限存在必唯一。）局部有界性 若極限存在，則函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)是有界的。（有極限的函數(shù)在附近一定有界（局部有界）。局部保號(hào)性 若（或），則在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)（或）。（以正數(shù)（負(fù)數(shù)）為極限的函數(shù)在附近一定是正函數(shù)（負(fù)函數(shù)）。）若，則在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)。注 是為了方便敘述。實(shí)際上在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)（）。不等式性 若在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)（或），

13、且存在，則（或）。（非負(fù)函數(shù)的極限一定是非負(fù)的。非正函數(shù)的極限一定是非正的。）函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系若，則對(duì)任何收斂于的數(shù)列，都有。（任意方式收斂，特殊方式也收斂。）若存在收斂于的數(shù)列使得數(shù)列發(fā)散，則極限不存在。（特殊方式發(fā)散，任意方式也發(fā)散。）若和都收斂于，但，則極限不存在。（兩種特殊的方式有不同的極限，則極限不存在。）若，則。（任意方式收斂，特殊方式也收斂于同一極限。）注 利用這個(gè)公式可以將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)的極限。點(diǎn)評(píng) 對(duì)于極限也有相應(yīng)的結(jié)論。極限的四則運(yùn)算法則 設(shè)和性 質(zhì)說 明可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的和差?？梢酝茝V到有限個(gè)函數(shù)的乘積。（）若，則此法失效。 （是正整數(shù)）一些基本極限 （

14、是正整數(shù)）返回目錄兩個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限： （這個(gè)極限的重要性在于它涉及到三角函數(shù)和反三角函數(shù)）函數(shù)是偶函數(shù)（如圖） 基本形式 一般形式 一般形式 特例 有關(guān)極限 注意 不是重要極限。返回目錄第二個(gè)重要極限： （這個(gè)極限的重要性在于它涉及到指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)）函數(shù) 定義域 （如圖） 基本形式 等價(jià)形式 數(shù)列形式 一般形式 一般形式 重要公式 等價(jià)形式 常用公式 或 （注意：對(duì)結(jié)果沒有影響。）推廣形式 有關(guān)極限： 數(shù)列單調(diào)增加趨于，而數(shù)列單調(diào)減少趨于。與兩個(gè)重要極限有關(guān)的一些重要極限第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小的定義無窮小就是在自變量的某個(gè)變化過程中，以 0為極限的函數(shù)（或變量）。極限與無窮

15、小的關(guān)系：（）此定理表明：在自變量的某個(gè)變化過程中，；反之，無窮小的比較設(shè)（1）（2）（3）注 （1）根據(jù)定義（2）等價(jià)無窮小也是同階無窮小，但同階無窮小一般不是等價(jià)的。常用的等價(jià)無窮?。〞r(shí)）： 當(dāng)時(shí)，（這個(gè)等價(jià)無窮小很有用。）證明：（）注意 若是型的極限，則。證明： （其中利用了等價(jià)無窮小替換）這是一個(gè)有用的公式，很多型的極限 都可以用這個(gè)公式計(jì)算。若，則或，即兩個(gè)等價(jià)無窮小的差一定是一個(gè)更高階的無窮小。一些更高階的等價(jià)無窮?。〞r(shí)）: （） （） （） （） （）等價(jià)無窮小的替換定理設(shè)，則即，在計(jì)算極限時(shí)，分子、分母中的等價(jià)無窮小乘積因子可以互相替換。注意 即：低階無窮小加高階無窮小等價(jià)于低

16、階無窮小。返回目錄無窮小的運(yùn)算性質(zhì)性 質(zhì)說 明兩個(gè)無窮小的和（差）仍是無窮小。直觀記憶：推論 有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小。但無限個(gè)無窮小的和不一定是無窮小。反例 當(dāng)時(shí)，個(gè)無窮小的和不是無窮小。有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。直觀記憶：一個(gè)非常有用的結(jié)論，常用于極限的計(jì)算。推論 常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。直觀記憶：有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小。直觀記憶：但無限個(gè)無窮小的乘積不一定是無窮小。反例比較復(fù)雜。返回目錄無窮大的定義 無窮大就是在自變量的某個(gè)變化過程中絕對(duì)值無限增大的函數(shù)（或變量）無窮大定義一覽表無窮大有18種，這18種無窮大的定義如下：無窮大的類型對(duì)于任意給定的都存在當(dāng)時(shí)就有不等式

17、返回目錄無窮大的運(yùn)算性質(zhì)性 質(zhì)說 明兩個(gè)無窮大的乘積仍是無窮大：直觀記憶：無窮大與有界函數(shù)的和是無窮大：直觀記憶：無窮大與一個(gè)有非零極限的函數(shù)的乘積是無窮大：直觀記憶：（）兩個(gè)無窮大的和不一定是無窮大：直觀記憶：反例 當(dāng)時(shí)，和都是無窮大，但是不是無窮大。兩個(gè)正無窮大的和仍是正無窮大：直觀記憶：兩個(gè)正負(fù)窮大的和仍是負(fù)無窮大：直觀記憶：無窮大與無窮小的倒數(shù)關(guān)系性 質(zhì)說 明無窮大的倒數(shù)是無窮?。盒蜗笥洃洠?無窮小的倒數(shù)是無窮大：形象記憶： 推論 形象記憶： （）推論 如果分式的極限存在，而分母趨于零，則分子必須趨于零（否則分式的極限為無窮大）。這是一個(gè)很常用的是事實(shí)，尤其是用在極限的反問題中。無窮大

18、與無界函數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)單地說：無窮大一定是無界函數(shù)，但是無界函數(shù)不一定是無窮大。性 質(zhì)說 明若，則在的任何去心鄰域內(nèi)是無界的。記憶口訣： 無窮大必?zé)o界。若在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是無界的，不能得出。記憶口訣： 無界不一定無窮大。無窮大與無界的區(qū)別 對(duì)于任意，要求在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)，都有。而在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是無界，只要求有個(gè)別點(diǎn)滿足，而對(duì)其余的點(diǎn)則可能有。因此，在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是無界不足以保證證明函數(shù)不是無窮大或無界的方法證明的方法：欲證當(dāng)時(shí)，不是無窮大，只需找出一個(gè)區(qū)域的數(shù)列，使得收斂或有界。證明在集合上無界的方法：欲證在集合上無界，只需找出一個(gè)數(shù)列，使得。證明數(shù)列不是無窮大的方法：欲證數(shù)列

19、不是無窮大，只需找出一個(gè)收斂或有界的子數(shù)列。證明數(shù)列無界的方法：欲證數(shù)列無界，只需找出一個(gè)無窮大的子數(shù)列，即。返回目錄第五節(jié) 連續(xù)性連續(xù)的定義 函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)是指：或其中）若函數(shù) f(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù)，則稱 x0 為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。若函數(shù) f(x) 在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱x0 為函數(shù)的間斷點(diǎn)。函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 上連續(xù)是指 f(x) 在該區(qū)間的每一個(gè)點(diǎn)處都連續(xù)。此時(shí)，稱 f(x) 為 (a, b) 上的連續(xù)函數(shù)。(a, b) 上的連續(xù)函數(shù) y = f(x) 的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。間斷點(diǎn)的分類連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè)函數(shù) f(x) 和

20、 g(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù)，則 也在點(diǎn)x0 處連續(xù)。推論 兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）仍為連續(xù)函數(shù)反函數(shù)的連續(xù)性 設(shè) y = f(x) 在區(qū)間 I = (a, b) 上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù) x = f 1(y) 在區(qū)間 J =f(I) 上單調(diào)且連續(xù)。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù) u = g(x) 在點(diǎn)x0 處連續(xù)， y = f(u) 在點(diǎn)u0 = g(x0) 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y = fg(x) 在點(diǎn)x0 處連續(xù)。推論：連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)?；境醯群瘮?shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性

21、質(zhì)有界性 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f(x) 在該區(qū)間上是有界的。最值性 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f(x)一定能在該區(qū)間上取得最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值。零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 f(a) 與 f(b) 異號(hào)，則在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使得 f() = 0。這個(gè)點(diǎn)稱為函數(shù) f(x) 的零點(diǎn)，或方程 f(x)= 0 的根。零點(diǎn)定理的幾何解釋(下左圖)。 零點(diǎn)定理的幾何解釋 介值定理的幾何解釋介值定理設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 M 和 m 分別是函數(shù)在a, b 上的最大值和最小值，則對(duì)任何介于 M 和 m 值的數(shù)

22、C，在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使得 f() = C。介值定理的幾何解釋（上右圖）。返回目錄第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的定義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義為：或 或 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：；如果，則 單側(cè)導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：；右導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在并且相等。即：推論：常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則特例： （倒函數(shù)的求導(dǎo)法則）導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)：或 (線性組合的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的線性組合)多個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)：或 反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)參數(shù)方程確定了函數(shù)，則 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)方程確定了

23、隱函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)有以下求法：(1)直接求導(dǎo)法：方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)，同時(shí)要將視為的函數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)。(2) 微分法：方程兩邊微分(利用微分形式不變性，變量和一視同仁)，得出式子，然后解出導(dǎo)數(shù)。(3) 公式法：求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可得導(dǎo)數(shù) 。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 或 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。逆否命題：若函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定不可導(dǎo)。注意：若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)?？蓪?dǎo)是連續(xù)的充分條件，但不是必要條件。連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。有關(guān)奇函數(shù)、偶函數(shù)和周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)結(jié)論奇函數(shù)和偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)

24、： （下左圖）（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)： （下右圖） 偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù) 奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是周期函數(shù)：返回目錄第二節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè) 函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則在點(diǎn)x0 處的二階導(dǎo)數(shù)為： 或 注：若函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x0有二階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù)。一些常用的n階導(dǎo)數(shù)公式 (是正整數(shù)) 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)設(shè)和二階可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)也二階可導(dǎo)，且 或 參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)設(shè)參數(shù)方程確定了函數(shù)，則 二階

25、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式： 或 二階導(dǎo)數(shù)的求法：三階導(dǎo)數(shù)的求法：隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)設(shè)方程確定了隱函數(shù)，則導(dǎo)數(shù) 。二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式是：返回目錄第三節(jié) 微分微分的定義可微與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)在一點(diǎn)可微的充分必要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，且。函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)和有極限的關(guān)系：或者基本初等函數(shù)的微分公式微分的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分返回目錄第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理羅爾定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿足以下三個(gè)條件:（1）f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);（2）f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo);（3） 端值相等：f(a) = f(b), 則存在, 使得.羅爾定理的幾何解釋：函數(shù)曲線至

26、少存在一條平行于x軸的切線（下左圖）。 羅爾定理的幾何解釋 拉格朗日中值定理的幾何解釋拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿足以下兩個(gè)條件:(1) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；(2) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在, 使得 或 拉格朗日中值定理的幾何解釋：函數(shù)曲線至少存在一條平行于割線AB的切線（上右圖）。拉格朗日中值定理的兩個(gè)重要推論（1）在一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常值函數(shù)。（2）在一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒等的兩個(gè)函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。拉格朗日中值定理可以證明下列不等式或等式：（1）例如， 。（2）例如，（3）例如，?？挛髦兄刀ɡ碓O(shè)函數(shù) f(x) 和F(x) （1

27、）在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)；且 F(x)0 ，則存在, 使得 微分中值定理小結(jié)羅爾定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿足以下三個(gè)條件:（1）f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);（2）f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo);（3）端值相等：f(a) = f(b),則存在, 使得.羅爾在這本書里給出了代數(shù)形式的羅爾定理拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿足以下兩個(gè)條件:(1) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；(2) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在, 使得或 柯西中值定理設(shè)函數(shù) f(x) 和F(x)（1）在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 (

28、a, b)內(nèi)可導(dǎo)且 F(x)0 ，則存在, 使得 三個(gè)微分中值定理之間的關(guān)系返回目錄第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則可以多次使用：其他未定式先轉(zhuǎn)化為基本型，再用洛必達(dá)法則。有三種類型。返回目錄第三節(jié) 泰勒公式泰勒中值定理（1）帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式設(shè)函數(shù) f(x) 在 x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有 0n+1 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)的任何 x，有（2）帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 設(shè)函數(shù) f(x) 在 x0 處有 0n 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)的任何 x，有（3）麥克勞林公式（帶拉格朗日型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)）一些函數(shù)的麥克勞林公式（帶拉格朗日型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)）（帶拉格朗日型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)）（帶

29、皮亞諾型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)） 返回目錄第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 曲線的切線和法線(1) 曲線在點(diǎn)處的切線斜率： 切線方程： 法線斜率： 法線方程：(2) 參數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率： 切線方程： 或 法線斜率： 法線方程： 或 (3) 曲線在點(diǎn)處的切線斜率： 切線方程： 或 法線斜率： 法線方程： 或 返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定定理設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)。（1） 如果在 (a, b) 內(nèi) f (x) > 0，則函數(shù) f(x) 在 a, b 上單調(diào)增加；（2） 如果在 (a, b) 內(nèi) f (x) <

30、 0，則函數(shù) f(x) 在 a, b 上單調(diào)減少。利用單調(diào)性證明函數(shù)不等式返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三 函數(shù)的極值和最值極值的必要條件設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有 f ' (x0) = 0。函數(shù) f(x) 的駐點(diǎn)x0： f ' (x0) = 0。極值的必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。極值的第一充分條件（如圖所示）求連續(xù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的步驟（1）求出函數(shù) f(x) 在區(qū)間內(nèi)的可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）：x1, x2, , xn。這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間。（2）討論導(dǎo)數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，以確定函數(shù)的單調(diào)性。（3）考察導(dǎo)數(shù)在以上可疑點(diǎn)

31、兩側(cè)的符號(hào)，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn) 。極值的第二充分條件設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處二階可導(dǎo)，且f ' (x0) = 0， f ''(x0) 0，則（1）f ''(x0) < 0 f (x0) 為極大值。 （2）f ''(x0) > 0 f (x0) 為極小值。極值的第二充分條件極值的高階充分條件設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處 n 階可導(dǎo)，且f (k)( x0) = 0 (k = 1, n-1)，f (n)( x0) 0。則 （1）n 為偶數(shù)時(shí)，f (x0) 為極值：當(dāng)f (n)( x0) < 0 時(shí)，f x0)

32、為極大值；當(dāng)f (n)( x0) > 0時(shí)， f (x0) 為極小值。（2） n 為奇數(shù)時(shí)，f (x0) 非極值。求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間 a, b 上的最值的方法（1）求出函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn): x1, x2, , xn。（2）比較函數(shù)值：f(x1), f(x2) , , f(xn) , f(a) , f(b) ，其中的最大者為函數(shù)的最大值、最小者為最小值。注意：不必判定 f(x1), f(x2) , , f(xn) 是否為極值。返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四 曲線的凹凸性和拐點(diǎn)凹弧的定義： （下左圖）凸弧的定義： （下右圖） 凹弧的定義 凸弧的定義曲線的拐點(diǎn)：曲

33、線的凹凸性改變的點(diǎn)。利用一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷凹凸性設(shè)函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 單調(diào)增加，則曲線 y = f(x)在 a, b 上是凹的。（2）若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 單調(diào)減少，則曲線 y = f(x)在 a, b 上是凸的。曲線凹凸性的判定定理設(shè)函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo)，那么(1) 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) > 0，則曲線 y = f(x)在 a, b 上是凹的。(2) 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) < 0，則曲線 y = f(x

34、)在 a, b 上是凸的。求連續(xù)曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟（1）求出函數(shù) f(x) 在區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x1, x2, , xn。這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間。（2）討論二階導(dǎo)數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，以確定曲線的凹凸性。（3）考察二階導(dǎo)數(shù)在以上點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，以確定該點(diǎn)是否出現(xiàn)拐點(diǎn)。 返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五 曲線的漸近線漸近線的定義 1. 鉛直漸近線（）（下左圖）。 鉛直漸近線 水平漸近線2. 水平漸近線（）（上右圖）3. 斜漸近線 求斜漸近線的方法：漸近線小結(jié)：返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用六 曲線的曲率曲率是描述曲線彎曲程度的量。弧段彎曲程度越大，轉(zhuǎn)角越大（下左圖）。轉(zhuǎn)

35、角相同時(shí)，弧段越短，彎曲程度越大（下右圖）。 曲率的定義設(shè)動(dòng)點(diǎn)沿曲線 y = f(x) 移動(dòng)了s （弧長(zhǎng)增量），曲線的方向（切線方向）改變了。曲線 y = f(x) 在點(diǎn) (x, y) 處的平均曲率：曲線 y = f(x) 在點(diǎn) (x, y) 處的曲率：曲率的計(jì)算公式曲率圓、曲率中心與曲率半徑曲率中心的公式返回目錄第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)的概念如果在區(qū)間 I 上，則稱 F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)存在定理如果函數(shù) f(x ) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，則在該區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù) F(x), 使得即F(x) 是 f(x ) 在區(qū)間 I 上的一個(gè)

36、原函數(shù)。簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).不定積分的定義在區(qū)間 I 上，函數(shù) f(x) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f(x) 在區(qū)間 I 上的不定積分，記作。就是f(x) 在區(qū)間 I 上的全體原函數(shù)，也就是某一個(gè)原函數(shù)F(x) 加任意常數(shù)：不定積分與微分的關(guān)系不定積分的線性性質(zhì)基本的不定積分公式 特例： 特例： 一些常用的不定積分公式 返回目錄第二節(jié) 不定積分的換元積分法第一類換元法 (湊微分法)湊微分的基本原則：。湊微分的步驟： 常見的湊微分類型返回目錄第二類換元法第二類換元法步驟：第二類換元法的類型有理代換 （）三角代換 （利用） （利用） （利用）雙曲代換 （利用） （利用）倒代換 當(dāng)分母的次

37、冪較高時(shí)可采用倒代換化簡(jiǎn)積分。例如返回目錄第三節(jié) 不定積分的分部積分法分部積分公式 或 分部積分的步驟：分部積分的兩個(gè)原則： 1. dv容易湊出； 。常見的分部積分的類型若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)冪函數(shù)為u，使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))。若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u。利用分部積分法得出的一些重要的積分公式返回目錄第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分是經(jīng)過劃分區(qū)間、任意取點(diǎn)、求和得到近似值、取極限得到精確值這四個(gè)步驟得到的以下和式的極限：其中 定積分的幾個(gè)模型曲邊梯形的面積變速

38、直線運(yùn)動(dòng)的路程變力沿直線所做的功定積分的幾何意義一個(gè)有用的定積分公式根據(jù)定積分的幾何意義，得到以下有用的定積分公式： (半圓的面積（如圖）)推論 （四分之一圓的面積）利用定積分計(jì)算數(shù)列極限根據(jù)定積分的定義，以下數(shù)列極限可以轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算（如下圖）：定積分的性質(zhì)定積分的值與積分變量無關(guān)：（積分變量可以任意更換） （上限和下限相同時(shí)，定積分等于零）（交換上限和下限，積分值反號(hào)）定積分的線性性質(zhì)（和的積分等于積分的和）（常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面） 推論 （0的定積分等于零）（線性組合的定積分定積分的線性組合）定積分的區(qū)間可加性 （1的定積分等于積分區(qū)間的長(zhǎng)度）（下左圖）推論 （下右圖） 幾個(gè)積分

39、不等式 （類似于不等式 ） （定積分估值定理）積分中值定理 若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則存在一點(diǎn)，使得。積分第一中值定理若函數(shù) f(x)和g(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，g(x)在a, b上不變號(hào)，則存在一點(diǎn)，使。返回目錄第二節(jié) 微積分基本公式積分上限函數(shù)的概念設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上可積，定義函數(shù)：（如圖）。由于此函數(shù)的自變量x在積分上限，故稱之為積分上限函數(shù)。積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上可積，則函數(shù)在a, b上連續(xù)。（換言之，積分上限函數(shù)總是連續(xù)的。）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

40、在區(qū)間a, b上可導(dǎo)，且（換言之，的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(x)本身?。┰瘮?shù)存在定理設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則上限函數(shù)就是 f(x) 在區(qū)間a, b上的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)（不定積分）存在定理 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（或不定積分）。不定積分與定積分之間的關(guān)系：積分變限函數(shù)的求導(dǎo)公式上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （將上限代入被積函數(shù)即可）下限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（將下限代入被積函數(shù)，再添加一個(gè)負(fù)號(hào)）上限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（將上限代入被積函數(shù)，再乘以上限的導(dǎo)數(shù)）下限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（將下限代入被積函數(shù)，再乘以下限的導(dǎo)數(shù)，最后添加一個(gè)負(fù)號(hào)）上下限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（“將上限代入被積函數(shù)，乘以上限的導(dǎo)數(shù)”減去“將下

41、限代入被積函數(shù)，乘以下限的導(dǎo)數(shù)”）微積分基本定理設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，F(xiàn)(x) 是 f(x) 在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，則（牛頓-萊布尼茨公式） 牛頓-萊布尼茨公式的另一種寫法：（變化率的定積分等于總量之差！）返回目錄第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法定積分的湊微分公式（定積分的第一類換元法）設(shè)函數(shù)F(x) 是 f(x) 在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，則定積分的換元法（定積分的第二類換元法）定積分換元法步驟一些定積分等式 （幾何解釋如圖）推論 一個(gè)重要公式（定積分的對(duì)稱性）幾何解釋： （幾何解釋如圖）推論 周期函數(shù)的定積分設(shè)函數(shù) f(x) 以T為周期：，則 。（積分

42、區(qū)間為一個(gè)周期的定積分總是相等，與起點(diǎn)無關(guān)。）（幾何解釋如圖）返回目錄定積分的分部積分法一個(gè)有用公式的積分公式 (常用于定積分計(jì)算)返回目錄第四節(jié) 反常積分1無窮限的反常積分無窮限的反常積分的定義(1) 右邊無限 (2) 左邊無限 (3) 兩邊無限 一個(gè)重要的反常積分：p-積分更一般的p-積分由p-積分的斂散性可得另外幾個(gè)重要的反常積分2. 無界函數(shù)的反常積分無界函數(shù)的反常積分的定義(1) 瑕點(diǎn)在右端點(diǎn) (2) 瑕點(diǎn)在左端點(diǎn) (3) 瑕點(diǎn)在中間 一個(gè)重要的無界函數(shù)的反常積分：q-積分更一般的q-積分返回目錄第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用一、 平面圖形的面積1 直角坐標(biāo)情形設(shè). 由

43、 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的曲邊梯形的面積為：設(shè) f(x) 任意. 由 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：設(shè) . 由 y = f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：（大函數(shù)減小函數(shù)，從左積到到右。）設(shè) f(x), g(x) 任意.由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：設(shè).由 x = f(y), x=0, y=c, y=d 所圍成的曲邊梯形的面積為：。返回目錄2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo) 點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中，。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：。極坐標(biāo)系：幾個(gè)圓的極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)

44、方程極坐標(biāo)方程圖 形或或幾條直線的極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程圖 形極坐標(biāo)下的面積公式設(shè)曲線方程由極坐標(biāo)方程給出：。由曲線、直線和所圍成的曲邊扇形的面積為：設(shè)。由曲線、直線和所圍成的圖形的面積為：返回目錄二、體積1. 已知平行截面面積求立體的體積（切片法）設(shè)有位于區(qū)間a, b 上的一立體。，已知立體的垂直于 x 軸的截面的面積為 A(x)，則立體的體積為：（切片法）體積元素：。切片法切片法也稱為卡瓦列里原理： 如果立體的高度相等，并且在每一高度的水平截面的面積也相等，則這兩個(gè)立體的體積一定相等。（如圖）卡瓦列里原理2. 旋轉(zhuǎn)體的體積（1）圓片法 由 y = f(x), y = 0, x = a, x = b 所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體： 其體積為 （圓片法）體積元素為一圓片：由 x=f(y), x=0, y=c, y=d 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體 其體積為 （圓片法）體積元素為一圓片：。（2）墊圈法設(shè)。由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體： 其體積為 （墊圈法）體積元素形如一個(gè)