高等數(shù)學公式一元函數(shù)部分

1、高等數(shù)學公式（一元函數(shù)部分）目 錄第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 集合、映射與函數(shù)第二節(jié) 數(shù)列的極限第三節(jié) 函數(shù)的極限第四節(jié) 無窮小與無窮大第五節(jié) 連續(xù)性第二章 導數(shù)與微分第一節(jié) 導數(shù)及求導法則第二節(jié) 高階導數(shù)第三節(jié) 微分第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié) 微分中值定理 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理第二節(jié) 洛必達法則第三節(jié) 泰勒公式第四節(jié) 導數(shù)的應用導數(shù)的應用一 曲線的切線和法線導數(shù)的應用二 函數(shù)的單調性導數(shù)的應用三 函數(shù)的極值和最值導數(shù)的應用四 曲線的凹凸性和拐點導數(shù)的應用五 曲線的漸近線導數(shù)的應用六 曲線的曲率第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質 原函數(shù) 不定積分 不定積

2、分公式第二節(jié) 不定積分的換元積分法 第一類換元法 (湊微分法) 第二類換元法第三節(jié) 不定積分的分部積分法第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質第二節(jié) 微積分基本公式第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法第四節(jié) 反常積分第六章 定積分的應用第一節(jié) 定積分的幾何應用 平面圖形的面積 體積 旋轉體的體積 弧長 旋轉曲面的面積第二節(jié) 定積分的物理應用 變力做功 抽水做功 水壓力索引第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 集合、映射與函數(shù)鄰域的概念點的鄰域：幾個重要的分段函數(shù)絕對值函數(shù) 性質：符號函數(shù) 符號函數(shù)與絕對值函數(shù)的關系：符號函數(shù)的性質：取整函數(shù) = 小于或等于x的最大整數(shù)是左邊的第一個整數(shù)(向左取整)。是分段

3、函數(shù)：取整函數(shù)的性質： 狄利克雷 (Dirichlet) 函數(shù)Dirichlet 函數(shù)有很多“糟糕”的性質首先，它沒有具體的表達式。其次，它沒有圖形：我們無法作出它的圖形，它的圖形是處處間斷的。又，它是沒有最小正周期的周期函數(shù)：每一個有理數(shù)都是函數(shù)的周期。基本初等函數(shù)：以下五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)：(1) 冪函數(shù)、(2) 指數(shù)函數(shù)、(3) 對數(shù)函數(shù)、(4)三角函數(shù)、(5) 反三角函數(shù)(1) 冪函數(shù) (Power function) ()常見的冪函數(shù)： (2) 指數(shù)函數(shù) (Exponential function) 常見的指數(shù)函數(shù)： (3) 對數(shù)函數(shù) (Logarithmic function)

4、 常見的對數(shù)函數(shù)：(自然對數(shù)) (常用對數(shù)) (4) 三角函數(shù) (Trigonometric function)正弦余弦正切余切正割余割 (5) 反三角函數(shù) (Inverse trigonometric function)反正弦 反余弦反正切反余切初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合，并且能用一個公式表示的函數(shù)。雙曲函數(shù) (Hyperbolic function)雙曲正弦 (Hyperbolic sine)雙曲余弦 (Hyperbolic cosine)雙曲正切 (Hyperbolic tangent)反雙曲函數(shù) (Inverse hyperbolic function)反雙

5、曲正弦 反雙曲余弦反雙曲正切返回目錄第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的概念數(shù)列：數(shù)列可以看成一個定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，稱為整標函數(shù)：()數(shù)列的單調性單增數(shù)列 ：單減數(shù)列 ：數(shù)列的有界性有界數(shù)列：，使得()。無界數(shù)列：，使得。數(shù)列無界的充分必要條件是存在趨于無窮大的子數(shù)列：數(shù)列有界性的等價定義數(shù)列有界的充要條件是：，使得()。和分稱為數(shù)列的下界和上界。（數(shù)列有界當且僅當它既有上界，又有下界。）數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的直觀定義：是指：當無限增大()時，一般項無限地趨于數(shù)()。數(shù)列極限的嚴格定義 (定義)：是指：對于任意給定的，總存在正整數(shù)，使得當時，不等式都成立。即 一些重要的數(shù)列極限數(shù)列極限說

6、 明 () ()此結論常用。例如，例如，。 () ()例如，。 ()常用，的特例。 ()常用，的特例。 (，)此極限說明是的高階無窮大。例如，。 ()此極限說明是的高階無窮大。例如，。此極限說明是的高階無窮大。本科不作要求。本科不作要求。重要極限，的定義。的無窮級數(shù)展開式。調和級數(shù)發(fā)散。歐拉常數(shù) 。*施篤茲定理 施篤茲定 理設數(shù)列若單調增加且，若存在，則 施篤茲定理可以用來計算一些難度較大的數(shù)列極限(型)。由施篤茲定理可以得到的一些極限(1) 若存在，則。前項的算術平均值的極限等于數(shù)列的極限。(2) 若存在()，則。前項的幾何平均值的極限等于數(shù)列的極限。(3) 若存在()，則。收斂數(shù)列的性質

7、數(shù)列極限的性質說 明唯一性若數(shù)列收斂，則其極限是唯一的。極限存在必唯一。有界性若數(shù)列收斂，則是有界數(shù)列。收斂數(shù)列必有界。例如，收斂，因此它是有界的。若數(shù)列無界，則發(fā)散。無界數(shù)列必發(fā)散。例如，無界，因此它是發(fā)散的。若數(shù)列有界，則不一定收斂。有界數(shù)列不一定收斂。反例：數(shù)列有界，但它不收斂。保號性若(或)，則存在，使得當時，都有(或)。收斂于正數(shù)(或負數(shù))的數(shù)列最終將成為正的(或負的)數(shù)列(最多有有限項例外)。數(shù)列與子數(shù)列的斂散性關系若數(shù)列收斂于，則它的任何子數(shù)列也收斂于。整體收斂，部分收斂。若數(shù)列有一個發(fā)散的子數(shù)列，則也發(fā)散。部分發(fā)散，整體發(fā)散。若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，則也發(fā)散。例如，

8、 數(shù)列有兩個子數(shù)列和收斂于不同的極限和，故數(shù)列發(fā)散。若子數(shù)列與都收斂于，則數(shù)列也收斂于。奇次項子數(shù)列和偶次項子數(shù)列都收斂于同一極限，則數(shù)列收斂。這是一個重要的結論。若，則。證明：利用不等式。逆命題不成立。反例：。數(shù)列收斂的兩個準則(1) 夾逼準則：若 ()且，則。特例 若 ()且，則夾逼準則的用法：當極限難以確定時，可以將縮放成和()，使得極限和容易求得，并且，則。(2) 單調有界準則：單調有界數(shù)列必有極限。具體地說：(1) 單調增加的數(shù)列若有上界，則必有極限，且的最小上界 (上確界)(2) 單調減少的數(shù)列若有下界，則必有極限，且的最大下界 (下確界)單調有界準則的用法：如果能判定數(shù)列單調增加

9、(或單調減少)，并且能證明或觀察有上界(或下界)，則必有極限。數(shù)列極限的運算法則設數(shù)列和都收斂，則數(shù)列， ，和()也收斂，且有下列運算法則。運算法則說 明和差的極限極限的和差數(shù)列極限的線性性質倍數(shù)的極限極限的倍數(shù)積的極限極限的積 ()商的極限極限的商 ()倒數(shù)的極限極限的倒數(shù)數(shù)列斂散性的若干性質性質說 明設和都收斂，則也收斂。收斂收斂收斂設收斂，但發(fā)散，則必發(fā)散。收斂發(fā)散發(fā)散設和都發(fā)散，則不一定發(fā)散。發(fā)散發(fā)散發(fā)散返回目錄第三節(jié) 函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值的函數(shù)極限：（1） 函數(shù)極限的直觀定義：是指：當自變量無限地趨于（）時，相應的函數(shù)值無限地趨于數(shù)（），即。（2） 函數(shù)極限的嚴格定義（定義

10、）是指：對于任意給定的，總存在，使得當滿足不等式時，就有。即 （3）極限的幾何解釋：表示：，使 （）即對于任意的，都能確定的一個去心鄰域，使得在這個去心鄰域內(nèi)，函數(shù)的圖形位于水平直線和之間的一個寬為的條形區(qū)域內(nèi)。單側極限左極限 是指：，總存在，使得當滿足不等式時，就有。右極限 是指：，總存在，使得當滿足不等式時，就有。極限與單側極限的關系：極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在并且相等，即或推論 若，則極限不存在。注 這是證明極限不存在的一個重要方法。函數(shù)在處的單側極限和極限兩個基本極限：， （圖形）。函 數(shù)單側極限極 限圖 形, 不存在下圖1, 不存在下圖2, 不存在下圖3, 不存在下

11、圖4 圖1 圖2 圖3 圖4二、自變量趨于無窮大的函數(shù)極限（1）函數(shù)極限的直觀定義是指：當自變量的絕對值無限增大（）時，相應的函數(shù)值無限地趨于數(shù)（），即。（2）函數(shù)極限的嚴格定義（定義）(3) 單向極限的定義是指：對于任意給定的，總存在，使得當滿足不等式時，就有。即極限與單向極限的關系：極限存在的充分必要條件是極限和極限都存在并且相等。即 推論 若，則極限不存在。注 這是證明極限不存在的一個重要方法。點評 表示的絕對值無限增大（可正可負），表示是正數(shù)且其絕對值無限增大，表示是負數(shù)且其絕對值無限增大。一些單向極限存在但極限不存在的函數(shù) 函數(shù)單向極限極限圖形 不存在圖形 不存在圖形 不存在圖形 不

12、存在圖形 不存在圖形 不存在圖形函數(shù)極限的六種定義 為了便于使用和比較，現(xiàn)將函數(shù)極限的六種定義列表如下：極限類型對任意給定的都存在當時就有不等式 函數(shù)極限的性質由極限的幾何解釋，可以得出函數(shù)極限的若干性質。唯一性 若極限存在，則其極限是唯一的。（極限存在必唯一。）局部有界性 若極限存在，則函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)是有界的。（有極限的函數(shù)在附近一定有界（局部有界）。局部保號性 若（或），則在的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)（或）。（以正數(shù)（負數(shù)）為極限的函數(shù)在附近一定是正函數(shù)（負函數(shù)）。）若，則在的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)。注 是為了方便敘述。實際上在的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)（）。不等式性 若在的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)（或），

13、且存在，則（或）。（非負函數(shù)的極限一定是非負的。非正函數(shù)的極限一定是非正的。）函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系若，則對任何收斂于的數(shù)列，都有。（任意方式收斂，特殊方式也收斂。）若存在收斂于的數(shù)列使得數(shù)列發(fā)散，則極限不存在。（特殊方式發(fā)散，任意方式也發(fā)散。）若和都收斂于，但，則極限不存在。（兩種特殊的方式有不同的極限，則極限不存在。）若，則。（任意方式收斂，特殊方式也收斂于同一極限。）注 利用這個公式可以將數(shù)列的極限轉化成函數(shù)的極限。點評 對于極限也有相應的結論。極限的四則運算法則 設和性 質說 明可以推廣到有限個函數(shù)的和差?？梢酝茝V到有限個函數(shù)的乘積。（）若，則此法失效。 （是正整數(shù)）一些基本極限 （

14、是正整數(shù)）返回目錄兩個重要極限第一個重要極限： （這個極限的重要性在于它涉及到三角函數(shù)和反三角函數(shù)）函數(shù)是偶函數(shù)（如圖） 基本形式 一般形式 一般形式 特例 有關極限 注意 不是重要極限。返回目錄第二個重要極限： （這個極限的重要性在于它涉及到指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)）函數(shù) 定義域 （如圖） 基本形式 等價形式 數(shù)列形式 一般形式 一般形式 重要公式 等價形式 常用公式 或 （注意：對結果沒有影響。）推廣形式 有關極限： 數(shù)列單調增加趨于，而數(shù)列單調減少趨于。與兩個重要極限有關的一些重要極限第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小的定義無窮小就是在自變量的某個變化過程中，以 0為極限的函數(shù)（或變量）。極限與無窮

15、小的關系：（）此定理表明：在自變量的某個變化過程中，；反之，無窮小的比較設（1）（2）（3）注 （1）根據(jù)定義（2）等價無窮小也是同階無窮小，但同階無窮小一般不是等價的。常用的等價無窮小（時）： 當時，（這個等價無窮小很有用。）證明：（）注意 若是型的極限，則。證明： （其中利用了等價無窮小替換）這是一個有用的公式，很多型的極限 都可以用這個公式計算。若，則或，即兩個等價無窮小的差一定是一個更高階的無窮小。一些更高階的等價無窮?。〞r）: （） （） （） （） （）等價無窮小的替換定理設，則即，在計算極限時，分子、分母中的等價無窮小乘積因子可以互相替換。注意 即：低階無窮小加高階無窮小等價于低

16、階無窮小。返回目錄無窮小的運算性質性 質說 明兩個無窮小的和（差）仍是無窮小。直觀記憶：推論 有限個無窮小的和仍是無窮小。但無限個無窮小的和不一定是無窮小。反例 當時，個無窮小的和不是無窮小。有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。直觀記憶：一個非常有用的結論，常用于極限的計算。推論 常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。直觀記憶：有限個無窮小的乘積仍是無窮小。直觀記憶：但無限個無窮小的乘積不一定是無窮小。反例比較復雜。返回目錄無窮大的定義 無窮大就是在自變量的某個變化過程中絕對值無限增大的函數(shù)（或變量）無窮大定義一覽表無窮大有18種，這18種無窮大的定義如下：無窮大的類型對于任意給定的都存在當時就有不等式

17、返回目錄無窮大的運算性質性 質說 明兩個無窮大的乘積仍是無窮大：直觀記憶：無窮大與有界函數(shù)的和是無窮大：直觀記憶：無窮大與一個有非零極限的函數(shù)的乘積是無窮大：直觀記憶：（）兩個無窮大的和不一定是無窮大：直觀記憶：反例 當時，和都是無窮大，但是不是無窮大。兩個正無窮大的和仍是正無窮大：直觀記憶：兩個正負窮大的和仍是負無窮大：直觀記憶：無窮大與無窮小的倒數(shù)關系性 質說 明無窮大的倒數(shù)是無窮?。盒蜗笥洃洠?無窮小的倒數(shù)是無窮大：形象記憶： 推論 形象記憶： （）推論 如果分式的極限存在，而分母趨于零，則分子必須趨于零（否則分式的極限為無窮大）。這是一個很常用的是事實，尤其是用在極限的反問題中。無窮大

18、與無界函數(shù)的關系簡單地說：無窮大一定是無界函數(shù)，但是無界函數(shù)不一定是無窮大。性 質說 明若，則在的任何去心鄰域內(nèi)是無界的。記憶口訣： 無窮大必無界。若在的某個去心鄰域內(nèi)是無界的，不能得出。記憶口訣： 無界不一定無窮大。無窮大與無界的區(qū)別 對于任意，要求在的某個去心鄰域內(nèi)的所有點，都有。而在的某個去心鄰域內(nèi)是無界，只要求有個別點滿足，而對其余的點則可能有。因此，在的某個去心鄰域內(nèi)是無界不足以保證證明函數(shù)不是無窮大或無界的方法證明的方法：欲證當時，不是無窮大，只需找出一個區(qū)域的數(shù)列，使得收斂或有界。證明在集合上無界的方法：欲證在集合上無界，只需找出一個數(shù)列，使得。證明數(shù)列不是無窮大的方法：欲證數(shù)列

19、不是無窮大，只需找出一個收斂或有界的子數(shù)列。證明數(shù)列無界的方法：欲證數(shù)列無界，只需找出一個無窮大的子數(shù)列，即。返回目錄第五節(jié) 連續(xù)性連續(xù)的定義 函數(shù) f(x) 在點 x0 處連續(xù)是指：或其中）若函數(shù) f(x) 在點x0處連續(xù)，則稱 x0 為函數(shù)的連續(xù)點。若函數(shù) f(x) 在點x0處不連續(xù)，則稱x0 為函數(shù)的間斷點。函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 上連續(xù)是指 f(x) 在該區(qū)間的每一個點處都連續(xù)。此時，稱 f(x) 為 (a, b) 上的連續(xù)函數(shù)。(a, b) 上的連續(xù)函數(shù) y = f(x) 的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。間斷點的分類連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的四則運算 設函數(shù) f(x) 和

20、 g(x) 在點x0處連續(xù)，則 也在點x0 處連續(xù)。推論 兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）仍為連續(xù)函數(shù)反函數(shù)的連續(xù)性 設 y = f(x) 在區(qū)間 I = (a, b) 上單調且連續(xù)，則其反函數(shù) x = f 1(y) 在區(qū)間 J =f(I) 上單調且連續(xù)。復合函數(shù)的連續(xù)性 設函數(shù) u = g(x) 在點x0 處連續(xù)， y = f(u) 在點u0 = g(x0) 處連續(xù)，則復合函數(shù) y = fg(x) 在點x0 處連續(xù)。推論：連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。基本初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性

21、質有界性 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f(x) 在該區(qū)間上是有界的。最值性 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f(x)一定能在該區(qū)間上取得最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值。零點定理設函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 f(a) 與 f(b) 異號，則在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少存在一點 ， 使得 f() = 0。這個點稱為函數(shù) f(x) 的零點，或方程 f(x)= 0 的根。零點定理的幾何解釋(下左圖)。 零點定理的幾何解釋 介值定理的幾何解釋介值定理設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 M 和 m 分別是函數(shù)在a, b 上的最大值和最小值，則對任何介于 M 和 m 值的數(shù)

22、C，在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少存在一點 ， 使得 f() = C。介值定理的幾何解釋（上右圖）。返回目錄第二章 導數(shù)與微分第一節(jié) 導數(shù)及求導法則導數(shù)的定義 函數(shù)在點處的導數(shù)定義為：或 或 函數(shù)在處的導數(shù)：；如果，則 單側導數(shù)：左導數(shù)：；右導數(shù)：導數(shù)存在的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)存在并且相等。即：推論：常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式導數(shù)的四則運算法則特例： （倒函數(shù)的求導法則）導數(shù)的線性性質：或 (線性組合的導數(shù)導數(shù)的線性組合)多個函數(shù)乘積的導數(shù)：或 反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的導數(shù)公式參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)設參數(shù)方程確定了函數(shù)，則 隱函數(shù)的求導法則設方程確定了

23、隱函數(shù)，則導數(shù)有以下求法：(1)直接求導法：方程兩邊對自變量求導，同時要將視為的函數(shù)，然后解出導數(shù)。(2) 微分法：方程兩邊微分(利用微分形式不變性，變量和一視同仁)，得出式子，然后解出導數(shù)。(3) 公式法：求二元函數(shù)的偏導數(shù)，可得導數(shù) 。對數(shù)求導法冪指函數(shù)的導數(shù)： 或 函數(shù)可導與連續(xù)的關系：函數(shù)在一點可導，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。逆否命題：若函數(shù)在一點不連續(xù)，則函數(shù)在該點一定不可導。注意：若函數(shù)在一點連續(xù)，則函數(shù)在該點不一定可導?？蓪沁B續(xù)的充分條件，但不是必要條件。連續(xù)是可導的必要條件，但不是充分條件。有關奇函數(shù)、偶函數(shù)和周期函數(shù)的導數(shù)的幾個結論奇函數(shù)和偶函數(shù)的導數(shù)（1）偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)

24、： （下左圖）（2）奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)： （下右圖） 偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù) 奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)周期函數(shù)的導數(shù)周期函數(shù)的導數(shù)仍然是周期函數(shù)：返回目錄第二節(jié) 高階導數(shù)f(x) 的二階導數(shù)的定義：設 函數(shù) f (x) 在點 x0 的某個鄰域內(nèi)可導，則在點x0 處的二階導數(shù)為： 或 注：若函數(shù) f (x) 在點x0有二階導數(shù)，則函數(shù) f (x) 在點x0的某個鄰域內(nèi)可導，且導數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù)。一些常用的n階導數(shù)公式 (是正整數(shù)) 高階導數(shù)的運算法則反函數(shù)的高階導數(shù)復合函數(shù)的二階導數(shù)設和二階可導，則復合函數(shù)也二階可導，且 或 參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導數(shù)設參數(shù)方程確定了函數(shù)，則 二階

25、導數(shù)的計算公式： 或 二階導數(shù)的求法：三階導數(shù)的求法：隱函數(shù)的二階導數(shù)設方程確定了隱函數(shù)，則導數(shù) 。二階導數(shù)的計算公式是：返回目錄第三節(jié) 微分微分的定義可微與可導的關系函數(shù)在一點可微的充分必要條件是：函數(shù)在該點可導，且。函數(shù)可微、可導、連續(xù)和有極限的關系：或者基本初等函數(shù)的微分公式微分的四則運算法則復合函數(shù)的微分返回目錄第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié) 微分中值定理羅爾定理設函數(shù) f(x) 滿足以下三個條件:（1）f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);（2）f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導;（3） 端值相等：f(a) = f(b), 則存在, 使得.羅爾定理的幾何解釋：函數(shù)曲線至

26、少存在一條平行于x軸的切線（下左圖）。 羅爾定理的幾何解釋 拉格朗日中值定理的幾何解釋拉格朗日中值定理設函數(shù) f(x) 滿足以下兩個條件:(1) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；(2) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導，則存在, 使得 或 拉格朗日中值定理的幾何解釋：函數(shù)曲線至少存在一條平行于割線AB的切線（上右圖）。拉格朗日中值定理的兩個重要推論（1）在一區(qū)間上導數(shù)恒為零的函數(shù)必為常值函數(shù)。（2）在一區(qū)間上導數(shù)恒等的兩個函數(shù)只相差一個常數(shù)。拉格朗日中值定理可以證明下列不等式或等式：（1）例如， 。（2）例如，（3）例如，?？挛髦兄刀ɡ碓O函數(shù) f(x) 和F(x) （1

27、）在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導；且 F(x)0 ，則存在, 使得 微分中值定理小結羅爾定理設函數(shù) f(x) 滿足以下三個條件:（1）f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);（2）f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導;（3）端值相等：f(a) = f(b),則存在, 使得.羅爾在這本書里給出了代數(shù)形式的羅爾定理拉格朗日中值定理設函數(shù) f(x) 滿足以下兩個條件:(1) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；(2) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導，則存在, 使得或 柯西中值定理設函數(shù) f(x) 和F(x)（1）在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 (

28、a, b)內(nèi)可導且 F(x)0 ，則存在, 使得 三個微分中值定理之間的關系返回目錄第二節(jié) 洛必達法則洛必達法則可以多次使用：其他未定式先轉化為基本型，再用洛必達法則。有三種類型。返回目錄第三節(jié) 泰勒公式泰勒中值定理（1）帶拉格朗日型余項的泰勒公式設函數(shù) f(x) 在 x0 的某個鄰域內(nèi)有 0n+1 階導數(shù)，則對該鄰域內(nèi)的任何 x，有（2）帶皮亞諾型余項的泰勒公式 設函數(shù) f(x) 在 x0 處有 0n 階導數(shù)，則對該鄰域內(nèi)的任何 x，有（3）麥克勞林公式（帶拉格朗日型余項）（帶皮亞諾型余項）一些函數(shù)的麥克勞林公式（帶拉格朗日型余項）（帶皮亞諾型余項）（帶拉格朗日型余項）（帶皮亞諾型余項）（帶

29、皮亞諾型余項）（帶皮亞諾型余項） 返回目錄第四節(jié) 導數(shù)的應用導數(shù)的應用一 曲線的切線和法線(1) 曲線在點處的切線斜率： 切線方程： 法線斜率： 法線方程：(2) 參數(shù)曲線在點處的切線斜率： 切線方程： 或 法線斜率： 法線方程： 或 (3) 曲線在點處的切線斜率： 切線方程： 或 法線斜率： 法線方程： 或 返回目錄導數(shù)的應用二 函數(shù)的單調性函數(shù)單調性的判定定理設函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b) 內(nèi)可導。（1） 如果在 (a, b) 內(nèi) f (x) > 0，則函數(shù) f(x) 在 a, b 上單調增加；（2） 如果在 (a, b) 內(nèi) f (x) <

30、 0，則函數(shù) f(x) 在 a, b 上單調減少。利用單調性證明函數(shù)不等式返回目錄導數(shù)的應用三 函數(shù)的極值和最值極值的必要條件設函數(shù) f(x) 在點 x0 處可導，且在點x0處取得極值，則必有 f ' (x0) = 0。函數(shù) f(x) 的駐點x0： f ' (x0) = 0。極值的必要條件：可導的極值點必為駐點。極值的第一充分條件（如圖所示）求連續(xù)函數(shù)的單調區(qū)間和極值的步驟（1）求出函數(shù) f(x) 在區(qū)間內(nèi)的可疑點（駐點和不可導點）：x1, x2, , xn。這些點將函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間。（2）討論導數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)的符號，以確定函數(shù)的單調性。（3）考察導數(shù)在以上可疑點

31、兩側的符號，以確定該點是否為極值點 。極值的第二充分條件設函數(shù) f(x) 在點 x0 處二階可導，且f ' (x0) = 0， f ''(x0) 0，則（1）f ''(x0) < 0 f (x0) 為極大值。 （2）f ''(x0) > 0 f (x0) 為極小值。極值的第二充分條件極值的高階充分條件設函數(shù) f(x) 在點 x0 處 n 階可導，且f (k)( x0) = 0 (k = 1, n-1)，f (n)( x0) 0。則 （1）n 為偶數(shù)時，f (x0) 為極值：當f (n)( x0) < 0 時，f x0)

32、為極大值；當f (n)( x0) > 0時， f (x0) 為極小值。（2） n 為奇數(shù)時，f (x0) 非極值。求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間 a, b 上的最值的方法（1）求出函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)的駐點和不可導點: x1, x2, , xn。（2）比較函數(shù)值：f(x1), f(x2) , , f(xn) , f(a) , f(b) ，其中的最大者為函數(shù)的最大值、最小者為最小值。注意：不必判定 f(x1), f(x2) , , f(xn) 是否為極值。返回目錄導數(shù)的應用四 曲線的凹凸性和拐點凹弧的定義： （下左圖）凸弧的定義： （下右圖） 凹弧的定義 凸弧的定義曲線的拐點：曲

33、線的凹凸性改變的點。利用一階導數(shù)的單調性判斷凹凸性設函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導，那么（1）若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 單調增加，則曲線 y = f(x)在 a, b 上是凹的。（2）若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 單調減少，則曲線 y = f(x)在 a, b 上是凸的。曲線凹凸性的判定定理設函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)二階可導，那么(1) 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) > 0，則曲線 y = f(x)在 a, b 上是凹的。(2) 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) < 0，則曲線 y = f(x

34、)在 a, b 上是凸的。求連續(xù)曲線的凹凸區(qū)間和拐點的步驟（1）求出函數(shù) f(x) 在區(qū)間內(nèi)二階導數(shù)等于零的點和二階導數(shù)不存在的點：x1, x2, , xn。這些點將函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間。（2）討論二階導數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)的符號，以確定曲線的凹凸性。（3）考察二階導數(shù)在以上點兩側的符號，以確定該點是否出現(xiàn)拐點。 返回目錄導數(shù)的應用五 曲線的漸近線漸近線的定義 1. 鉛直漸近線（）（下左圖）。 鉛直漸近線 水平漸近線2. 水平漸近線（）（上右圖）3. 斜漸近線 求斜漸近線的方法：漸近線小結：返回目錄導數(shù)的應用六 曲線的曲率曲率是描述曲線彎曲程度的量?；《螐澢潭仍酱螅D角越大（下左圖）。轉

35、角相同時，弧段越短，彎曲程度越大（下右圖）。 曲率的定義設動點沿曲線 y = f(x) 移動了s （弧長增量），曲線的方向（切線方向）改變了。曲線 y = f(x) 在點 (x, y) 處的平均曲率：曲線 y = f(x) 在點 (x, y) 處的曲率：曲率的計算公式曲率圓、曲率中心與曲率半徑曲率中心的公式返回目錄第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質原函數(shù)的概念如果在區(qū)間 I 上，則稱 F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù)。原函數(shù)存在定理如果函數(shù) f(x ) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，則在該區(qū)間上存在可導函數(shù) F(x), 使得即F(x) 是 f(x ) 在區(qū)間 I 上的一個

36、原函數(shù)。簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).不定積分的定義在區(qū)間 I 上，函數(shù) f(x) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f(x) 在區(qū)間 I 上的不定積分，記作。就是f(x) 在區(qū)間 I 上的全體原函數(shù)，也就是某一個原函數(shù)F(x) 加任意常數(shù)：不定積分與微分的關系不定積分的線性性質基本的不定積分公式 特例： 特例： 一些常用的不定積分公式 返回目錄第二節(jié) 不定積分的換元積分法第一類換元法 (湊微分法)湊微分的基本原則：。湊微分的步驟： 常見的湊微分類型返回目錄第二類換元法第二類換元法步驟：第二類換元法的類型有理代換 （）三角代換 （利用） （利用） （利用）雙曲代換 （利用） （利用）倒代換 當分母的次

37、冪較高時可采用倒代換化簡積分。例如返回目錄第三節(jié) 不定積分的分部積分法分部積分公式 或 分部積分的步驟：分部積分的兩個原則： 1. dv容易湊出； 。常見的分部積分的類型若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設冪函數(shù)為u，使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))。若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u。利用分部積分法得出的一些重要的積分公式返回目錄第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質定積分是經(jīng)過劃分區(qū)間、任意取點、求和得到近似值、取極限得到精確值這四個步驟得到的以下和式的極限：其中 定積分的幾個模型曲邊梯形的面積變速

38、直線運動的路程變力沿直線所做的功定積分的幾何意義一個有用的定積分公式根據(jù)定積分的幾何意義，得到以下有用的定積分公式： (半圓的面積（如圖）)推論 （四分之一圓的面積）利用定積分計算數(shù)列極限根據(jù)定積分的定義，以下數(shù)列極限可以轉化為定積分計算（如下圖）：定積分的性質定積分的值與積分變量無關：（積分變量可以任意更換） （上限和下限相同時，定積分等于零）（交換上限和下限，積分值反號）定積分的線性性質（和的積分等于積分的和）（常數(shù)因子可以提到積分號前面） 推論 （0的定積分等于零）（線性組合的定積分定積分的線性組合）定積分的區(qū)間可加性 （1的定積分等于積分區(qū)間的長度）（下左圖）推論 （下右圖） 幾個積分

39、不等式 （類似于不等式 ） （定積分估值定理）積分中值定理 若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則存在一點，使得。積分第一中值定理若函數(shù) f(x)和g(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，g(x)在a, b上不變號，則存在一點，使。返回目錄第二節(jié) 微積分基本公式積分上限函數(shù)的概念設函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上可積，定義函數(shù)：（如圖）。由于此函數(shù)的自變量x在積分上限，故稱之為積分上限函數(shù)。積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的連續(xù)性：設函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上可積，則函數(shù)在a, b上連續(xù)。（換言之，積分上限函數(shù)總是連續(xù)的。）積分上限函數(shù)的導數(shù) 設函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

40、在區(qū)間a, b上可導，且（換言之，的導數(shù)等于被積函數(shù)f(x)本身?。┰瘮?shù)存在定理設函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則上限函數(shù)就是 f(x) 在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù)。原函數(shù)（不定積分）存在定理 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（或不定積分）。不定積分與定積分之間的關系：積分變限函數(shù)的求導公式上限函數(shù)的導數(shù)： （將上限代入被積函數(shù)即可）下限函數(shù)的導數(shù)：（將下限代入被積函數(shù)，再添加一個負號）上限復合函數(shù)的導數(shù)：（將上限代入被積函數(shù)，再乘以上限的導數(shù)）下限復合函數(shù)的導數(shù)：（將下限代入被積函數(shù)，再乘以下限的導數(shù)，最后添加一個負號）上下限復合函數(shù)的導數(shù)：（“將上限代入被積函數(shù)，乘以上限的導數(shù)”減去“將下

41、限代入被積函數(shù)，乘以下限的導數(shù)”）微積分基本定理設函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，F(xiàn)(x) 是 f(x) 在a, b上的一個原函數(shù)，則（牛頓-萊布尼茨公式） 牛頓-萊布尼茨公式的另一種寫法：（變化率的定積分等于總量之差?。┓祷啬夸浀谌?jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法定積分的湊微分公式（定積分的第一類換元法）設函數(shù)F(x) 是 f(x) 在a, b上的一個原函數(shù)，則定積分的換元法（定積分的第二類換元法）定積分換元法步驟一些定積分等式 （幾何解釋如圖）推論 一個重要公式（定積分的對稱性）幾何解釋： （幾何解釋如圖）推論 周期函數(shù)的定積分設函數(shù) f(x) 以T為周期：，則 。（積分

42、區(qū)間為一個周期的定積分總是相等，與起點無關。）（幾何解釋如圖）返回目錄定積分的分部積分法一個有用公式的積分公式 (常用于定積分計算)返回目錄第四節(jié) 反常積分1無窮限的反常積分無窮限的反常積分的定義(1) 右邊無限 (2) 左邊無限 (3) 兩邊無限 一個重要的反常積分：p-積分更一般的p-積分由p-積分的斂散性可得另外幾個重要的反常積分2. 無界函數(shù)的反常積分無界函數(shù)的反常積分的定義(1) 瑕點在右端點 (2) 瑕點在左端點 (3) 瑕點在中間 一個重要的無界函數(shù)的反常積分：q-積分更一般的q-積分返回目錄第六章 定積分的應用第一節(jié) 定積分的幾何應用一、 平面圖形的面積1 直角坐標情形設. 由

43、 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的曲邊梯形的面積為：設 f(x) 任意. 由 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：設 . 由 y = f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：（大函數(shù)減小函數(shù)，從左積到到右。）設 f(x), g(x) 任意.由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：設.由 x = f(y), x=0, y=c, y=d 所圍成的曲邊梯形的面積為：。返回目錄2. 極坐標情形極坐標 點的極坐標，其中，。極坐標與直角坐標的關系：。極坐標系：幾個圓的極坐標方程直角坐標

44、方程極坐標方程圖 形或或幾條直線的極坐標方程直角坐標方程極坐標方程圖 形極坐標下的面積公式設曲線方程由極坐標方程給出：。由曲線、直線和所圍成的曲邊扇形的面積為：設。由曲線、直線和所圍成的圖形的面積為：返回目錄二、體積1. 已知平行截面面積求立體的體積（切片法）設有位于區(qū)間a, b 上的一立體。，已知立體的垂直于 x 軸的截面的面積為 A(x)，則立體的體積為：（切片法）體積元素：。切片法切片法也稱為卡瓦列里原理： 如果立體的高度相等，并且在每一高度的水平截面的面積也相等，則這兩個立體的體積一定相等。（如圖）卡瓦列里原理2. 旋轉體的體積（1）圓片法 由 y = f(x), y = 0, x = a, x = b 所圍成的圖形繞 x 軸旋轉一周，得一旋轉體： 其體積為 （圓片法）體積元素為一圓片：由 x=f(y), x=0, y=c, y=d 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉一周，得一旋轉體 其體積為 （圓片法）體積元素為一圓片：。（2）墊圈法設。由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形繞 x 軸旋轉一周，得一旋轉體： 其體積為 （墊圈法）體積元素形如一個