相似三角形復(fù)習(xí)教師版數(shù)學(xué)

1、初中數(shù)學(xué) 備課組教師 班級(jí) 初三Mini學(xué)生 日期 月日上課時(shí)間 教學(xué)內(nèi)容：相似形復(fù)習(xí)重要知識(shí)點(diǎn)：1.掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方等性質(zhì)，能應(yīng)用他們進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算.2.掌握直角三角形中成比例的線段：斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是則條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)，會(huì)用他們解決線段成比例的簡(jiǎn)單問(wèn)題.考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型一、 相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用能力，如：若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線之比是1:2，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高線之比是1:2，對(duì)應(yīng)中線之比是1:2，周長(zhǎng)之比是1:2，

2、面積之比是1:4，若兩個(gè)相似三角形的面積之比是1:2，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)的角平分線之比是，對(duì)應(yīng)邊上的高線之比是，對(duì)應(yīng)邊上的中線之比是，周長(zhǎng)之比是.常見(jiàn)題型1：三角形與其內(nèi)接四邊形1.如圖，正方形EDFC內(nèi)接于三角形ABC，若BC=3，AC=4，則正方形EDFC的面積為.2.如圖，已知菱形ADFE內(nèi)接于ABC，D、F、E分別在AB、BC、AC上，如果AB21cm，CA15cm，求菱形AMNP的周長(zhǎng)為20.3.如圖，正方形DEMF內(nèi)接于ABC，若，求.解：過(guò)A點(diǎn)作AQBC于Q，交DE于P正方形的面積為4 DEMF2 AP1DEBC ADEABC 即BC6 解：過(guò)A作BC垂線，垂足為N，交DG于M

3、.第一種情況：DG=4，DE=6DG:BC=AM:AN AM=3,AN=9 S=54第二種情況：DG=6,DE=4此時(shí)AM=4，AN=8 S=484.如圖，在銳角ABC中，BC=12.矩形DEFG的頂點(diǎn)D在AB邊上，頂點(diǎn)E、F在BC邊上，頂點(diǎn)G在AC邊上.如果矩形DEFG的長(zhǎng)為6，寬為4，求ABC的面積。常見(jiàn)題型2：定比分割點(diǎn)問(wèn)題1.如圖，ABC中，AD=2DC，G是BD的中點(diǎn)，AG延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，則BE：EC的值為.2.如圖，平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，G是AC上一點(diǎn)，AG：GC=1:5，連EG延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則DF：AF的值為3.3.如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，3B

4、E=2EC，AE與BD相交于點(diǎn)F。求DF：BF的值。解：過(guò)D點(diǎn)作AE的平行線，交BC于P點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)且DPAE PECP 3BE=2EC BE:EC2:3 BE:EP=4:3 4.如圖，RtABC中，ACB=90°，P為斜邊AB上一點(diǎn)(不與A、B重合)，AECP交CP于F，交BC于E。已知：AC=3,BC=4，設(shè)AP=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。解：過(guò)B點(diǎn)作CB的垂線，交CP延長(zhǎng)線于G點(diǎn)C=90°，AC=3，BC=4 AB=5BGBC CBG=90° ACBG PACPBDBG:AC=BP:AP BG:3=(5-x):x AECP ACECBG CE

5、:BG=AC:BC (4-y):BG=3:4 二、 考查直角三角形的性質(zhì)，如：如圖，在RtABC中，ACB=90°,CDAB與D，AC=6，BC=8，則AB=10，CD=4.8，AD=3.6，BD=6.4.射影定理：熟練掌握射影定理可以更好地抓住解題思路。1.如圖，已知等腰ABC中，AB=AC，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過(guò)D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長(zhǎng)線于H，求證：DE2=EGEH證：AD，BF分別為BC，AC邊上的高且DEABDEB=DEA=90°=ADB由射影定理，可知RtABD中，DE2=AEBEGBE+EGB=90°，H+HGF

6、=90°EGB=HGF GBE=H BEGHEABE:HE=EG:AE EG·HE=AE·BE DE2=EGEH2.如圖，等腰直角三角形ABC中，E為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG垂直BE，垂足為G，BC中點(diǎn)D與點(diǎn)G的連線延長(zhǎng)，交AC于F。45°.熟悉常用的直角三角形，如含30°，45°角的；三邊比為3:4:5或的直角三角形。牢記直角三角形中“一線3角2相似”的例題。1.在等腰ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，若將ABC沿直線BD翻折，使點(diǎn)C落在直線AC上的C處，則AC=2.2.2.如圖，已知正方形ABCD，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上的

7、一點(diǎn)，EGCF且AF=AD，于，(1)求證：CE平分BCF(2) AB2=CGFG證：(1)E是正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)且AF=ADAF:BE=AE:BC=1:2且A=B=90°EAFCBE AEF=BCE且EF:EC=1:2BEC+BCE=90°BEC+AEF=90° FEC=90°且此兩角均為銳角 CE平分BCF(2)EGCF且FEC=90° CG·FG=EG2 CE平分BCF EG=BE= AB2=CGFG3.如圖所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC邊上至少存在一點(diǎn)P，使ABP、DPA、PCD兩兩相似，則a、b之

8、間的關(guān)系一定滿足(D) A、abB、abC、abD、a2b三、 綜合考查三角形中有關(guān)論證或計(jì)算能力.1.如圖，已知ABC中，AD為BC邊中線，E為AD上一點(diǎn)，并且CE=CD,EAC=B求證：AECBDA，DC2=ADAE證：CE=CD CED=CDE CEA=ADBEAC=B AECBDA AE:BD=CE:ADAD為BC邊中線 BC=CD CE=CDAE:DC=DC:AD DC2=ADAE2.如圖，在ABC中，BD平分ABC，交AC與點(diǎn)D，點(diǎn)E在BD延長(zhǎng)線上，BA·BD=BC·BE.(1)求證：AE=AD；(2)如果點(diǎn)F在BD上，CF=CD，求證：證：(1)BD平分ABC

9、 ABE=CBEBA·BD=BC·BE. BA:BC=BE:BDABECBD BDC=BEABDC=ADE ADE=BEA AE=AD(2)CF=CD CFD=BDC CFD=ADE BFC=BDABCFBAD BD:BF=BA:BC BD:BF=BE:BD 3.如圖，已知P為ABC的BC邊上的一點(diǎn)，PQAC交AB于Q，PRAB交AC于R，求證：AQR面積為BPQ面積和CPR面積的比例中項(xiàng).證：PQAC，PRAB 四邊形PQAR是平行四邊形PR=AQ，BPQBCAPCR AQR面積為BPQ面積和CPR面積的比例中項(xiàng)4.如圖，已知在RtABC中，C=90°，BC=2

10、，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊AC于點(diǎn)D(點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合)，E是射線DC上一點(diǎn)，且EPD=A。設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為y。(1)求證：AE=2PE；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，求BEP的面積。解：(1)APD=C=90°, A=A ADPABC EPD=A，PED=AEP，EPDEAP，AE=2PE(2)作EHAB，垂足為點(diǎn)HEPDEAP PE=2DE，AE=2PE=4DEAP=x，則PD=x PDHE，HE=x.又AB=2，y=(2x)·x，即y=(0x)(3)由PEHBAC，得，PE

11、=x·=x，若BEPABC，則當(dāng)BEP=90°時(shí)，解得x=，y=；當(dāng)EBP=90°時(shí)，同理可得x=，y=5.已知，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，且AOC=60°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,8)，點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在線段CB上向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O開(kāi)始以每秒a(1a3)個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線OA方向移動(dòng)，設(shè)t(0<t8)秒后，直線PQ交OB于點(diǎn)D。(1)求AOB的度數(shù)及線段OA的長(zhǎng)；(2)求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)當(dāng)a=3，OD=時(shí)，求t的值及此時(shí)直線PQ的解析式；(4)當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)，Q，D

12、為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似？當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)，Q，D為頂點(diǎn)的三角形與OAB不相似？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并加以證明。解：聯(lián)結(jié)AC交OB于M(1)四邊形ABCO是菱形，AOC=60° AOB=30°則OM=OB，AMOB，AM=4，OA=8(2)由(1)可知，A(4，4)，B(0,8)，C(-4，4)設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線為，解得經(jīng)過(guò)ABC三點(diǎn)的拋物線為(3)當(dāng)a=3時(shí)，CP=t，OQ=3t，OD= PB=8-t，由OQDBPD，得，即t=.當(dāng)時(shí)，同理可求Q設(shè)直線PQ的解析式為，則，直線PQ的解析式為(4)當(dāng)a=1時(shí)，ODQOBA；當(dāng)1<a<3時(shí)，以O(shè)、Q、D為頂點(diǎn)的三角形與OAB不能相似；當(dāng)a=3時(shí)，ODQOAB。理由如下：若ODQOBA，可得ODQ=OBA，此時(shí)PQAB，四邊形PCOQ為平行四邊形，CP=OQ。即at=t(0<t8)，a=1故當(dāng)a=