《高中數列專題》word版

1、江蘇省海安高級中學高考數學二輪復習專題四數 列方法技巧1判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法：若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數列；若  ，則為等比數列。(3)中項公式法：驗證中項公式成立。2. 在等差數列中,有關的最值問題常用鄰項變號法求解：  (1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。3.數列求和的常用

2、方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。注意事項1證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明 或而得。2在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便，而一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。3注意與之間關系的轉化。如：= ， =4解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略【問題1】等差、等比數列的項與和特征問題例1.數列的前項和記為（）求的通項公式；（）等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求本小題主要考察等差數列、等比

3、數列的基礎知識，以及推理能力與運算能力。解：（）由可得，兩式相減得又 故是首項為，公比為得等比數列 （）設的公比為 由得，可得，可得故可設 又由題意可得 解得等差數列的各項為正， 例2.設數列的前項和為，且對任意正整數，。（1）求數列的通項公式？（2）設數列的前項和為,對數列，從第幾項起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 當n2時, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn<509,解得n&

4、gt;,而n是正整數,于是,n46. 從第46項起Tn<509.【問題2】等差、等比數列的判定問題例3.已知有窮數列共有2項（整數2），首項2設該數列的前項和為，且2（1，2，21），其中常數1（1）求證：數列是等比數列；（2）若2，數列滿足（1，2，2），求數列的通項公式；（3）若（2）中的數列滿足不等式|4，求的值(1) 證明 當n=1時,a2=2a,則=a； 2n2k1時, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 數列an是等比數列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,

5、2,2k).（3）設bn,解得nk+,又n是正整數,于是當nk時, bn<； 當nk+1時, bn>. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立. 例 4。已知數列中，是其前項和，并且，設數列，求證：數列是等比數列；設數列，求證：數列是等差數列；求數列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-

6、a)，即a=4a-4a(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數列b是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的

7、結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用【問題3】函數與數列的綜合題 數列是一特殊的函數，其定義域為正整數集，且是自變量從小到大變化時函數值的序列。注意深刻理解函數性質對數列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點. 例5已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。（）、求數列的通項公式；（）、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；點評：本題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。解：（）設這二次函數f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x

8、)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數的圖像上，所以3n22n.當n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數m為10.例6設，定義，其中nN*.（1）求數列an的通項公式；（2）若，解：（1）2，數列an上首項為，公比為的等比數列，（2）兩式相減得： 例7設數列的前n項和為，點均在函數y3x2的圖像上。（）求數列的通項公式；（）設，是數列的前n項和，求使得對

9、所有都成立的最小正整數m。本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。解：（I）依題意得，即。當n2時，a;當n=1時，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必須滿足，即m10,故滿足要求的最小整數m為10。【問題4】數列與解析幾何數列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點內容之一，求解時要充分利用數列、解析幾何的概念、性質，并結合圖形求解.例8在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列.求點的坐標；子設拋物線列中的

10、每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=點評：本例為數列與解析幾何的綜合題，難度較大。（1）、（2）兩問運用幾何知識算出. 例9已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，如此繼續(xù)，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設點（）令，求證：數列是等比數列并求數列的前項和為解：（1）因為、在拋物線上，故，又因為直線的斜率為，即，代入可得， 故是以為公比的等比數列；，【問題5】數列

11、創(chuàng)新題例10.數列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；（）設，求數列的前項和。解：由得：，即，所以，對成立。由，相加得：，又，所以，當時，也成立。（）由，得。而，例11.已知數列an滿足a1=a, an+1=1+我們知道當a取不同的值時，得到不同的數列，如當a=1時，得到無窮數列：（）求當a為何值時a4=0；（）設數列bn滿足b1=1, bn+1=，求證a取數列bn中的任一個數，都可以得到一個有窮數列an； （I）解法一： 故a取數列bn中的任一個數，都可以得到一個有窮數列an例12已知正項數列，其前項和滿足且成等比數列，求數列的通項解 10Sn=an2+5an+6, 1

12、0a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 , anan1=5 (n2). 當a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數列a13;當a1=2時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3例13.已知數列滿足（I）證明：數列是等比數列；（II）求數列的通項公式；（II）若數列滿足證明是等差數（1）證明：是以為首項，2為公比的等比數列。（II）解：由（I

13、）得（III）證明：，得 即，得 即 是等差數列。例14.已知數列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.()令 ()求數列()設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數列.（II）由（I）知，將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數列是等差數列.數列是等差數列的充要條件是、是常數即又當且僅當，即時，數列為等差數列.解法二：存在，使數列是等差數列.由（I）、（II）知，又當且僅當時，數列是等差數列.例15 （1）在0，3上作函數y=f(x)的圖象 （2）求證： （3）設S(a) (a0)是由x

14、軸、y=f(x)的圖象以及直線x=a所圍成的圖形面積，當nN*時，試尋求與的關系解：（1）當n=1即0<x1時，f(x)=x+f(0)=x 當n=2即1<x2時，f(x)=2(x1)+f(1)=2x2+1=2x1當n=3即2<x3時，f(x)=3(x2)+f(2)=3x6+2×21=3x3 函數f(x)在0，3上的圖象如圖所示（2）f(n)=nn(n1)+f(n1)=n+f(n1)f(1)=1，f(2)=2+f(1)，f(3)=3+f(2)，f(n)=n+f(n1)以上各式相加得2nn+1>0又 （3）由（1）圖象中可知：S(n)S(n1)表示一個以f(n1)

15、、f(n)為底，n(n1)=1為高的梯形面積（當n=1時表示三角形面積），根據（*）可得 S(n)S(n1)=又可得 S(n)S(n1)= 數列專題作業(yè)1已知數列滿足：. （1）求數列的通項公式； （2）設，試推斷是否存在常數A，B，C，使對一切都有成立？說明你的理由； （3）求證：解：（1）由已知是公比為2的等比數列，又（2）若恒成立.，故存在常數A、B、C滿足條件（3） 2已知函數對于任意（），都有式子成立（其中為常數）（）求函數的解析式； （）利用函數構造一個數列，方法如下：對于給定的定義域中的，令， 在上述構造過程中，如果（=1，2，3，）在定義域中，那么構造數列的過程繼續(xù)下去；如果不

16、在定義域中，那么構造數列的過程就停止.（）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求的取值范圍；（）是否存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（）當時，若，求數列的通項公式解：（）令（），則，而，故=， =（） （）（）根據題意，只需當時，方程有解， 亦即方程 有不等于的解 將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等故方程不可能有解由 =，得 或，即實數a的取值范圍是 （）假設存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列，那么根據題意可知，=在R中無解，亦即當時，方程無實數解由于不是方程的

17、解，所以對于任意xR，方程無實數解，因此解得 即為所求的值 （）當時，所以，兩邊取倒數，得，即所以數列是首項為，公差的等差數列故，所以，即數列的通項公式為 3在各項均為正數的數列中，前n項和Sn滿足。（I）證明是等差數列，并求這個數列的通項公式及前n項和的公式；（II）在XOY平面上，設點列Mn（xn，yn）滿足，且點列Mn在直線C上，Mn中最高點為Mk，若稱直線C與x軸、直線所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間a，b上的面積，試求直線C在區(qū)間x3，xk上的面積；（III）是否存在圓心在直線C上的圓，使得點列Mn中任何一個點都在該圓內部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不存在，請說明理由

18、。解：（1）由已知得故 得結合，得 是等差數列 又時，解得或又，故（II）即得點設，消去n，得即直線C的方程為又是n的減函數M1為Mn中的最高點，且M1（1，1）又M3的坐標為（，）C與x軸、直線圍成的圖形為直角梯形從而直線C在，1上的面積為（III）由于直線C：上的點列Mn依次為M1（1，1），M2（，），M3（，），Mn（），而因此，點列Mn沿直線C無限接近于極限點M（，）又M1M的中點為（，）滿足條件的圓存在事實上，圓心為（，），半徑的圓，就能使得Mn中任何一個點都在該圓的內部，其中半徑最小的圓為4已知定義在R上的單調函數，存在實數，使得對于任意實數總有恒成立.（1）求x0的值.（2）若

19、，且對任意正整數n，有，記，比較與Tn的大小關系，并給出證明；（3）若不等式對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍.解：（1）令，得 令，得 由，得 為單調函數，（2）由（1）得， 又又， ，（3）令，則當時， 即 解得或5在等差數列中，其中是數列的前項之和，曲線的方程是，直線的方程是。（1）求數列的通項公式；（2）當直線與曲線相交于不同的兩點，時，令，求的最小值；（3）對于直線和直線外的一點P，用“上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的，若曲線與直線不相交，試以類似的方式給出一條曲線與直線間“距離”的定義，并依照給出的定義，在中自行選定一個橢

20、圓，求出該橢圓與直線的“距離”。解：（1），又， ，。 （2），由題意，知，即，或，即或，即或時，直線與曲線相交于不同的兩點。，時，的最小值為。 （3）若曲線與直線不相交，曲線與直線間“距離”是：曲線上的點到直線距離的最小值。 曲線與直線不相交時，即，即， 時，曲線為圓，時，曲線為橢圓。 選，橢圓方程為，設橢圓上任一點，它到直線的距離，橢圓到直線的距離為。 （橢圓到直線的距離為）6直線與x軸、y 軸所圍成區(qū)域內部（不包括邊界）的整點個數為，所圍成區(qū)域內部（包括邊界）的整點個數為（整點就是橫坐標，縱坐標都為整數的點）（1）求和的值； （2）求及的表達式； （3）對個整點中的每一個點用紅、黃、藍、

21、白四色之一著色，其方法總 數為An，對個整點中的每一個點用紅、黃兩色之一著色，其方法總數為Bn，試比較An與Bn的大小解：（1）時，直線上有個點，直線上有 ，直線上有，直線上有 （2）時， 時，當時， 當 時也滿足， （3）； 當時， 當且時， 7我們把數列叫做數列的k方數列（其中an>0，k，n是正整數），S（k，n）表示k方數列的前n項的和。 （1）比較S（1，2）·S（3，2）與S（2，2）2的大??； （2）若的1方數列、2方數列都是等差數列，a1=a，求的k方數列通項公式。 （3）對于常數數列an=1，具有關于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，

22、n）=S（3，n）等等，請你對數列的k方數列進行研究，寫出一個不是常數數列的k方數列關于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程。解：（1）S（1，2）= S（1，2）·S（3，2）S（2，2）2= = （2）設 則 得 2d2=0，d=p=0 （3）當an=n時，恒等式為S（1，n）2=S（3，n）證明：相減得： 相減得： 8設向量， (n為正整數)，函數在0，1上的最小值與最大值的和為，又數列滿足： (1) 求證：(2) (2)求的表達式(3) 若，試問數列中，是否存在正整數，使得對于任意的正整數，都有成立？證明你的結論（注：與表示意義相同）解 (1)證：對稱軸， 所以在0，1上為增

23、函數 ， (2)由得 = 兩式相減得(3)由(1)與（2）得設存在自然數，使對，恒成立當時，當時，當時，當時，當時， 所以存在正整數，使對任意正整數，均有 9已知函數.(1)數列滿足: ,若對任意的恒成立,試求的取值范圍;(2)數列滿足: ,記,為數列的前項和, 為數列的前項積,求證.解:(1)因為,所以.于是, 為等比數列,所以,從而,有.故.(2)因為 ,所以, ,.即有.由,顯然,知,即.因為,所以 .10設不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內的格點（格點即橫坐標和縱坐標皆為整數的點）的個數為f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達式； （2）設bn=2n

24、f(n)，Sn為bn的前n項和，求Sn； （3）記，若對于一切正整數n，總有Tnm成立，求實數m的取值范圍.解（1） f(1)=3 f(2)=6 當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時,y=n，可取格點n個 f(n)=3n （2）由題意知:bn=3n·2n Sn=3·21+6·22+9·23+3(n1)·2n1+3n·2n 2Sn=3·22+6·23+3(n1)·2n+3n·2n+1Sn=3·21+3·22+3·23+3·2n3n·2n

25、+1 =3（2+22+2n）3n·2n+1 =3· =3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1 （3） 11已知數列中，且點在直線上. （1）求數列的通項公式； （2）若函數求函數的最小值； （3）設表示數列的前項和。試問：是否存在關于的整式，使得對于一切不小于2的自然數恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由解：（1）由點P在直線上，即，且，數列是以1為首項，1為公差的等差數列 ，同樣滿足，所以 （2） 所以是單調遞增，故的最小值是 （3），可得， ，n2 故存在關于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2

26、的自然數n恒成立12.一個三角形數表按如下方式構成：第一行依次寫上n(n4)個數，在上一行的每相鄰兩數的中間正下方寫上這兩數之和，得到下一行，依此類推記數表中第i行的第j個數為f(i,j)(1)若數表中第i (1in3)行的數依次成等差數列，求證： 第i+1行的數也依次成等差數列；(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)關于i的表達式；(3)在(2)的條件下，若f(i,1)=(i+1)(ai1)，bi= ，試求一個函數g(x)，使得Sn=，m(,)，均存在實數，使得當n時，都有解：(1)數表中第行的數依次所組成數列的通項為，則由題意可得 (其中為第行數所組成的數列的公差) (2)第一行的數

27、依次成等差數列，由(1)知，第2行的數也依次成等差數列，依次類推，可知數表中任一行的數(不少于3個)都依次成等差數列. 設第行的數公差為,則，則 ，所以 (3)由，可得所以=令,則,所以 要使得，即，只要=，所以只要,即只要,所以可以令則當時，都有.所以適合題設的一個函數為 13已知函數，數列滿足對于一切有，且數列滿足，設（）求證：數列為等比數列，并指出公比；（）若，求數列的通項公式；（）若（為常數），求數列從第幾項起，后面的項都滿足解：（） 故數列為等比數列，公比為. （） 所以數列是以為首項,公差為 loga3的等差數列. 又 又=1+3,且 （） 假設第項后有 即第項后，于是原命題等價于

28、 故數列從項起滿足 14已知為實數，數列滿足，當時， （）；（）證明：對于數列，一定存在，使； （）令，當時，求證：20解:解：（）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,從而= =. （）證明：若,則題意成立若,此時數列的前若干項滿足,即.設,則當時,.從而此時命題成立若,由題意得,則由的結論知此時命題也成立.綜上所述,原命題成立（）當時，因為, 所以=因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可.而當時,當時,由于>0,所以<綜上所述,原不等式成立15已知數列，中，且是函數的一個極值點.（1）求數列的通項公式；（2

29、）若點的坐標為（1，）（，過函數圖像上的點 的切線始終與平行（O 為原點），求證：當 時，不等式對任意都成立.解：（1）由是首項為，公比為的等比數列當時， 所以 （2）由得： (作差證明) 綜上所述當 時，不等式對任意都成立.16已知數列中，.（I）求證數列是等差數列;（II）試比較與的大小;（III）求正整數，使得對于任意的正整數，恒成立.解：（I），又，即數列是以0為首項，1為公差的等差數列且，（）（II） ， 17如果正數數列滿足：對任意的正數M，都存在正整數，使得，則稱數列是一個無界正數列（）若， 分別判斷數列、是否為無界正數列，并說明理由； （）若，是否存在正整數，使得對于一切，有成

30、立；（）若數列是單調遞增的無界正數列，求證：存在正整數，使得解：（）不是無界正數列理由如下：取M = 5，顯然，不存在正整數滿足；是無界正數列理由如下：對任意的正數M，取為大于2M的一個偶數，有，所以是無界正數列 （）存在滿足題意的正整數.理由如下：當時，因為，即取，對于一切，有成立.注：k為大于或等于3的整數即可.（）證明：因為數列是單調遞增的正數列，所以.即.因為是無界正數列，取，由定義知存在正整數，使.所以.由定義可知是無窮數列，考察數列，顯然這仍是一個單調遞增的無界正數列，同上理由可知存在正整數，使得.重復上述操作，直到確定相應的正整數.則 . 即存在正整數，使得成立. 18已知點列順

31、次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、構成以為頂點的等腰三角形。（1）證明:數列是等差數列；（2）求證:對任意的，是常數，并求數列的通項公式；（3）對上述等腰三角形添加適當條件，提出一個問題，并做出解答。解: (1)依題意有,于是.所以數列是等差數列. (2)由題意得,即 , () 所以又有. 由得：,由都是等差數列. ，那么得 ,. ( 故 (3) 提出問題：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數 提出問題：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數解：問題 當為奇數時,所以當為偶數時,所以 作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只須：. 當為奇數

32、時,有,即 ， 當, 不合題意. 當為偶數時,有 ，,同理可求得 當時,不合題意.綜上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值為或或解：問題 當為奇數時,所以當為偶數時,所以 作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：. 當為奇數時,有,即 ， 當時，. 不合題意當為偶數時,有 ，,同理可求得 .；當時，不合題意 綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為；19已知數列與數列（,1)滿足：<0, >0;當2時，與滿足如下條件：當0時，； 當<0時，。求：（1）用表示； （2）當時，用表示 （3）當是滿足的最大整數時，用表示滿足的條件。 解：（1） 所以無論哪種情

33、況，都有 因此，數列 （2）由 由可知，不成立， 所以 于是 由（1）可得，(3)由 20已知等差數列中，公差，其前項和為，且滿足：， （）求數列的通項公式； （）通過公式構造一個新的數列若也是等差數列，求非零常數；（）求（）的最大值解：（）數列是等差數列， 又， ，或 公差， ， （）， 數列是等差數列， 去分母，比較系數，得 （） 當且僅當，即時，取得最大值 21已知二次函數f (x)=x2+ax（）（1）若函數y = f (sinx +cosx) (）的最大值為，求的最小值；（2）當a = 2時,設nN*, S= , 求證:< S < 2 ;（3）當a > 2時, 求證

34、：f (sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x) 1 a , 其中xR, x ¹ kp且x ¹ kp(kZ)解：令t = sinx +cosx=2sin(x + ),2t2,y = t2 + at = (t + )2 ,當a < 0時, t =2時,y最大= 42a = , 解得:a = ,此時, f(x) = (x )2 ,f(x)最小值 = .當a 0時, t =2時,y最大= 4+2a = , 解得:a = .此時, f(x) = (x +)2 ,f(x)最小值 = .綜合上述,條件滿足時, 的最小值為. S= =,設S(n ) =;則S(n

35、+1 ) = S(n+1 ) S(n ) = >=>0 ;S(n )在時單調遞增，S = S(n )S(1) = 又，S < .綜上有: < S < 2成立. (3) ）xR, x ¹ kp且x ¹ kp(kZ), sin2x, cos2x (0,1),又sin2x+cos2x =1, 故設t = sin2x, 則有cos2x= 1 t ,設f (t) = t log2t + (1 t ) log2 (1 t ) (其中t(0,1)f(t ) = log2t + log2e log2 (1 t ) log2e = .令f(t ) = 0, 得t

36、 =,當0 < t < 時, f(t ) < 0, 所以f (t )在(0, )單調遞減,當 < t <1時, f(t ) > 0, 所以f (t )在(,1)單調遞增,t = 時f (t)取最小值等于f() = log2+log2= log2= 1.即有sin2x log2sin2x+cos2x log2cos2x 1 .當a > 2時, f(x) = x2+ax的對稱軸x= < 1,f (x)在( 1,+¥)上單調遞增,f(sin2x log2sin2x+cos2x log2cos2x) f (1 ) = 1 a . 22（）已知函

37、數：求函數的最小值;（）證明:；（）定理:若 均為正數,則有 成立(其中請你構造一個函數，證明：當均為正數時，解：（）令得 當時， 故在上遞減當 故在上遞增所以，當時，的最小值為 （）由，有即故（）證明:要證： 只要證： 設則令得當時，故上遞減，類似地可證遞增所以的最小值為而=由定理知: 故故 即: .23在直角坐標平面上有一點列 對一切正整數n，點Pn在函數的圖象上，且Pn的橫坐標構成以為首項，1為公差的等差數列xn. （1）求點Pn的坐標； （2）設拋物線列C1，C2，C3，Cn，中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線Cn的頂點為Pn，且過點Dn（0，）.記與拋物線Cn相切于點Dn的直線的

38、斜率為kn，求 （3）設等差數列的任一項，其中是中的最大數，求數列的通項公式.解：（1）（2）的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，設的方程為把，的方程為=（3）S中最大數a1=17.設公差為d，則a10=由此得又 24已知二次函數同時滿足：不等式0的解集有且只有一個元素；在定義域內存在，使得不等式成立,設數列的前項和.（1）求函數的表達式；(2) 求數列的通項公式；（3）設各項均不為0的數列中，所有滿足的整數的個數稱為這個數列的變號數，令（）,求數列的變號數.解（）不等式0的解集有且只有一個元素解得或當時函數在遞增，不滿足條件當時函數在（，）上遞減，滿足條件綜上得，即 （）由（）知, 當時，當時 （）由題設可得 ，都滿足 當時，即當時，數列遞增，由，可知滿足 數列的變號數為. 25在平面上有一系列點對每個自然數,點位于函數的圖象上以點為圓心的與軸都相切，且與又彼此外切若,且 （1）求證：數列是等差數列；（2）設的面積為，, 求證： PnPn+1解：（1）依題意，的半徑，與彼此外切， 兩邊平方，化簡得 , 即 , ， ， 數列是等差數列 (2) 由題設，即， ， 26已知向量，其中，把其中x，y所滿足的關系式記為y=f(x)，若