《高中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用》word版

1、1 / 13函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)【考綱知識梳理考綱知識梳理】一、變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算一、變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算1、函數(shù) y=f(x)從 x1到 x2的平均變化率：函數(shù) y=f(x)從 x1到 x2的平均變化率為2121()()f xf xxx，若21xxx ，21()()yf xf x 則平均變化率可表示為yx。2、函數(shù)、函數(shù) y=f(x)在在 x=x0處導(dǎo)數(shù)：處導(dǎo)數(shù)：（1）定義稱函數(shù) y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率0000()()limlimxxf xxf xyxx 為 y=f(x)在 x=x0處導(dǎo)數(shù)，記作0000000()()()|,()limlim

2、x xxxf xxf xyfxyfxxx 或即（2）幾何意義：函數(shù) f(x)在點 x 處的導(dǎo)數(shù)0()fx的幾何意義是在曲線 y=f(x)上點（0 x，0()fx）處的切線的斜率。相應(yīng)地，切線方程為 y-y0=0()fx(x=x0).3、函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)：稱函數(shù)0()( )( )limxf xxf xfxx為函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時也記作y。注：求函數(shù) f(x)在 x=x0處的導(dǎo)數(shù)的方法：方法一：直接使用定義；0000()()()limxf xxf xfxx;方法二：先求導(dǎo)函數(shù)0()( )( )limxf xxf xfxx，再令 x=x0求0()fx4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)

3、數(shù)yc0y *( )()nyf xxnQ1nynxsinyxcosyxcosyxsinyx ( )xyf xaln(0)xyaa a( )xyf xexye2 / 135、導(dǎo)數(shù)運算法導(dǎo)數(shù)運算法則導(dǎo)數(shù)運算法則1( )( )( )( )f xg xfxg x2( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x32( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x6、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù) yf g x的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) yf u， ug x的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為xuxyyu，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積

4、。二、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題二、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：在某個區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果( )0fx，那么函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果( )0fx，那么函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。如果( )0fx，那么函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)。注：函數(shù)( )yf x在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增，則( )0fx，( )0fx是( )yf x在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件。2、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)：、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)：（1）曲線在極值點處切線的斜率為 0，并且，曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右

5、側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正一般地，當(dāng)函數(shù) f(x) 在點 x0 處連續(xù)時，判斷 f(x0) 是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵海?）如果在 x0附近的左側(cè) f(x)0 ，右側(cè) f(x) 0 ，那么 f(x0) 是極大值 （2）如果在 x0附近的左側(cè) f(x) 0 ，那么 f(x0) 是極小值注：導(dǎo)數(shù)為 0 的點不一定是極值點3、函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)：、函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)：函數(shù) f(x)在a,b上有最值的條件：如果在區(qū)間a,b上函數(shù)( )logaf xx1( )(01)lnfxaaxa且( )lnf xx1( )fxx3 / 13( )yf x的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值

6、和最小值。4、生活中的優(yōu)化問題：、生活中的優(yōu)化問題：解決優(yōu)化問題的基本思路是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題優(yōu)化問題答案【熱點、難點精析熱點、難點精析】一、變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算一、變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算（一）利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（一）利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、相關(guān)鏈接、相關(guān)鏈接（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)( )yf x在點0 x處導(dǎo)數(shù)的方法：求函數(shù)的增量00()()yf xxf x ；求平均變化率00()()f xxf xyxx；得導(dǎo)數(shù)00()limxyfxx ，簡記作：一差、二比、三極限。（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)

7、函數(shù)在某一點的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值是常數(shù)。2、例題解析、例題解析例例 1求函數(shù) y=24x的導(dǎo)數(shù)。解析： 22)(24xxxxxxy，00limlimxxxy22)(24xxxxx=-38x。例例 2一質(zhì)點運動的方程為283st。（1）求質(zhì)點在1，1+t這段時間內(nèi)的平均速度；（2）求質(zhì)點在 t=1 時的瞬時速度（用定義及求求導(dǎo)兩種方法）分析（1）平均速度為st；（2）t=1 時的瞬時速度即283st在 t=1 處的導(dǎo)數(shù)值。解答：（1）283st4 / 13s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,63svtt .（2）定義法：質(zhì)點在 t=1 時的瞬時速度00limlim( 63)6

8、ttsvtt 求導(dǎo)法：質(zhì)點在 t 時刻的瞬時速度2( )(83 )6vs ttt，當(dāng) t=1 時，v=-61=-6.注：注：導(dǎo)數(shù)的物理意義建立了導(dǎo)數(shù)與物體運動的瞬時速度之間的關(guān)系。對位移 s 與時間t 的關(guān)系式求導(dǎo)可得瞬時速度與時間 t 的關(guān)系。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，誚按照“一差、二比、三極限”的求導(dǎo)步驟來求。（二）導(dǎo)數(shù)的運算（二）導(dǎo)數(shù)的運算1、相關(guān)鏈接、相關(guān)鏈接（1）運用可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式，求函數(shù)( )yf x在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步驟：分析函數(shù)( )yf x的結(jié)構(gòu)和特征；選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)；整理得結(jié)果。（2）對較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，誚先化簡

9、再求導(dǎo)，特別是對數(shù)函數(shù)真數(shù)是根式或分式時，可用對數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化真數(shù)為有理式或整式求解更為方便。（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決。分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量；根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程。2、例題解析、例題解析5 / 13例例（1）求)11(32xxxxy的導(dǎo)數(shù)；（2）求) 11)(1

10、(xxy的導(dǎo)數(shù)；（3）求2cos2sinxxxy的導(dǎo)數(shù)；（4）求 y=xxsin2的導(dǎo)數(shù)；（5）求 yxxxxx9532的導(dǎo)數(shù)分析：分析：先正確地分析函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成；求導(dǎo)時，可設(shè)出中間變量，注意要逐層求導(dǎo)不能遺漏，每一步對誰求導(dǎo)，不能混淆。解：（1）2311xxy,.2332xxy（2）先化簡,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（3）先使用三角公式進(jìn)行化簡.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy（4）y=xxxxx222sin)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2；（

11、5）y233xx219xy*（x23）x21(x）*2321x*（21）23x1)11 (292xx6 / 13（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例】已知曲線31433yx，（1）求曲線在點 P(2,4)處的切線方程；（2）求曲線過點 P(2,4)的切線方程；（3）求斜率為 4 的曲線的切線方程。分析：切點坐標(biāo)切線斜率點斜式求切線方程解答：（1）(2,4)P在曲線31433yx上，且2yx 在點 P(2,4)處的切線的斜率 k=2|xy=4;曲線在點 P(2,4)處的切線方程為 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.（2）設(shè)曲線31433yx與過點 P(2,4)的切線相切于點 A

12、（x0，301433x） ，則切線的斜率020|x xkyx，切線方程為y（301433x）=20 x（x-0 x） ，即23002433yxxx點 P(2,4)在切線上，4=220 x302433x，即3200340 xx，322000440 xxx，（x0+1）(x0-2)2=0解得 x0=-1 或 x0=2故所求的切線方程為 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.（3）設(shè)切點為（x0,y0）則切線的斜率為 k=x02=4, x0=2.切點為（2，4） ， （-2，-4/3）切線方程為 y-4=4(x-2)和 y+4/3=4(x+2)即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0注：（1

13、）解決此類問題一定要分清“在某點處的切線” ，還是“過某點的切線” ；（2）解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)解決。二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例（一）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（一）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1、相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接（1）求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法7 / 13確定函數(shù) f(x)的定義域;求 f(x) ，令 f(x)=0，求出它們在定義域內(nèi)的一切實根；把函數(shù) f(x)的間斷點（即 f(x)無定義點）的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù) f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間。確定 f(x)在各個

14、開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù) f(x)的符號判定函數(shù) f(x)在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性。注：當(dāng) f(x)不含參數(shù)時，也可通過解不等式 f(x)0（或 f(x)0 時為增函數(shù)；f(x)0 時為減函數(shù)。（3）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)注意函數(shù) f(x)在（a,b）上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是 f(x)0（或 f(x)0） ，x（a,b）恒成立，且 f(x) 在（a,b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0，這就是說，函數(shù) f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有 f(x) =0，甚至可以在無窮多個點處 f(x0) =0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間。 2、例題解析、例題

15、解析例例（安徽合肥 168 中高三段考（理） ）( 本小題滿分 13 分)已知函數(shù) 2472xf xx， 01x，（）求 f x的單調(diào)區(qū)間和值域；（）設(shè)1a ，函數(shù) 223201g xxa xax，若對于任意 101x ，總存在 001x ，使得 01g xf x成立，求a的取值范圍解：對函數(shù) f x求導(dǎo)，得 2241672xxfxx，8 / 13 221272xxx 令 0fx ，解得 112x 或272x 當(dāng)x變化時， fx，、 f x的變化情況如下表：x010,2121,121 fx，0+ f x7243所以，當(dāng)102x，時， f x是減函數(shù)；當(dāng)112x，時， f x是增函數(shù)； 當(dāng)01x

16、，時， f x的值域為43，（）對函數(shù) g x求導(dǎo)，得 223gxxa，因此1a ，當(dāng)01x，時， 23 10gxa，因此當(dāng)01x，時， g x為減函數(shù)，從而當(dāng) 01x，時有 10g xgg，又 211 23gaa ， 02ga ，即當(dāng) 1x 0，時有 21 232g xaaa，任給 11x 0， 143f x ，存在 001x ，使得 01g xf x，則2123243aaa ，即21 2341232aaa （）（）9 / 13解1（）式得 1a 或53a 解2（）式得 32a 又1a ，故：a的取值范圍為312a（二）函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（二）函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1、相關(guān)鏈接、相關(guān)鏈接（1）求函數(shù)

17、 f(x)極值的步驟確定函數(shù) f(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù) f(x);求方程 f(x)=0 的根。檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點（最好通過列表法） 。如果左正右負(fù)，那么 f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值；如果 f(x)在點 x0的左右兩側(cè)符號不變，則 f(x0)不是函數(shù)極值。（2）可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件可導(dǎo)函數(shù)的極值點 x0一定滿足 f(x0)=0,但當(dāng) f(x0)=0 時，x0不一定是極值點。如f(x)=x3,f(0)=0,但 x=0 不是極值點?？蓪?dǎo)函數(shù) y=f(x)在點 x0處取得極值的充要條件是 f(x)=0，且在 x0左側(cè)與右側(cè)

18、f(x0)的符號不同。2、例題解析、例題解析例例設(shè) x=1 與 x=2 是 lnf xaxbxx函數(shù)的兩個極值點。（1）試確定常數(shù) a 和 b 的值；（2）試判斷 x=1,x=2 是函數(shù) f x的極大值點還是極小值點，并求相應(yīng)極值。解析：（1） 21,afxbxx由已知得： 210101204102abffab 10 / 132316ab （2）x變化時。 fx， f x的變化情況如表：x（0，1）1（1，2）2 fx，0+0 f x極小值極大值故在 x=1 處，函數(shù) f x取極小值56；在 x=2 處，函數(shù) f x取得極大值42ln233（三）函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)（三）函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)1、相關(guān)鏈

19、接、相關(guān)鏈接（1）設(shè)函數(shù) f(x)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，求 f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟求函數(shù) y=f(x)在（a,b）內(nèi)的極值；將函數(shù) y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值 f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。（2）根據(jù)最值的定義，求在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，開區(qū)間（a,b）,內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷使 f(x)=0 成立的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大（?。┲?。定義在開區(qū)間（a,b）上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點。2、例題解析、例題解析例例（黑龍江省

20、雙鴨山一中2010 屆高三期中考試（理） ） （本題 12 分）已知函數(shù) 2f xx| xa|,aR. （1）當(dāng)0a 時，求證函數(shù) f x, 在上是增函數(shù)； （2）當(dāng) a=3 時，求函數(shù) f x在區(qū)間0，b上的最大值。解：(1)a0時， 23230f xx xaxax,fxxa因故 f x在 R 上是增函11 / 13數(shù)。(4 分)(2)3a 時， 323333303xx xf xx| x|xxx若03b時， 323330f xxx ,fxx由得：1x ()若01b時， 0fx, f x在0，b上單增，故 33maxf xf bbb ,()若13b時，因 010 10 x, fx;xb, fx

21、.故 12maxf xf.若3b 時，由知 f x在03,上的最大值為 2，下求 f x在3,b上的最大值，因 2330fxx，故 33maxf xf bbb.又 323323212202bb bbbbbb綜合、 知： 3332212301maxbb bf xbbbb (12 分)（四）生活中的優(yōu)化問題（四）生活中的優(yōu)化問題例例（安徽合肥 168 中高三段考（理） ） （本小題滿分 12 分）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD 的兩個頂點 A，B 及 CD 的中點 P處AB20km，BC10km為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與 A，B 等距的一點 O 處，建造一個污水處