_軸對(duì)稱證明題

1、軸對(duì)稱專題 軸對(duì)稱圖形 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸毛 有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸軸對(duì)稱 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全

2、等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱線段的垂直平分線 （1）經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線） （2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到軸對(duì)稱變換的性質(zhì) （1）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形

3、狀、大小完全一樣 （2）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) （3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形 （1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，-y）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第

4、二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y= -x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-y，-x）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x=m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2n-y）；等腰三角形等腰三角形 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角等腰三角形的性質(zhì) 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別的：（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形. （2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.等腰三角形的判定定

5、理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形利用“三角形奠基法”作圖 根據(jù)已知條件先作出一個(gè)與所求圖形相關(guān)的三角形，然后再以這個(gè)圖形為基礎(chǔ)，作出所求的三角形.等邊三角形等邊三角形 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°等邊三角形的判定方法（1）三條邊都

6、相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形角平分線的性質(zhì)角平分線的作法見(jiàn)課本角平分線的性質(zhì) 在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.OP平分AOB，PMOA于M，PNOB于N，PM=PN角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PMOA于M，PNOB于N，PM=PNOP平分AOB三角形的角平分線的性質(zhì)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等添加輔助線口訣幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，倍長(zhǎng)中線把線連.線段垂直平分線，常向兩端來(lái)連線；線段和差及倍分，延長(zhǎng)截取全等現(xiàn)；公共角、公

7、共邊，隱含條件要挖掘；平移對(duì)稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換.角平分線取一點(diǎn)，可向兩邊作垂線； 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱之后關(guān)系現(xiàn)； 角平分線加平行，等腰三角形來(lái)添； 角平分線伴垂直，三線合一試試看。  角平分線平行線等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形。如圖1（1）中，若AD平分，AD/EC，則是等腰三角形；如圖1（2）中，若AD平分，DE/AC，則是等腰三角形；如圖1（3）中，若AD平分，CE/AB，則是等腰三角形；如圖1（4）中，若AD平分，EF/AD，則是等腰三角形。圖1例1. 如圖，在中，ABAC，在AC上取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂

8、足為點(diǎn)F。求證：AEAP1已知，如圖111，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，BCx軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對(duì)稱，OBC35°，求OED的度數(shù)2已知：如圖23，線段AB求作：線段AB的垂直平分線MN作法：圖233已知：如圖24，ABC及兩點(diǎn)M、N求作：點(diǎn)P，使得PMPN，且P點(diǎn)到ABC兩邊的距離相等作法：圖244已知點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離總相等如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)B；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖255如圖26，AD為BAC的平分線，DE AB于E，DFAC于

9、F，那么點(diǎn)E、F是否關(guān)于AD對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由圖26綜合、運(yùn)用、診斷6已知：如圖37，A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，點(diǎn)A'與A關(guān)于直線l對(duì)稱，連接A'B交l于P點(diǎn)，若A'Ba.（1）求APPB；（2）若點(diǎn)M是直線l上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求證：AMMBAPPB7已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫(huà)出符合條件的點(diǎn)M（1）如圖38，在l上求作一點(diǎn)M，使得 AMBM 最?。蛔鳎?）如圖310，在l上求作一點(diǎn)M，使得AMBM最小圖3108（1）如圖311，點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長(zhǎng)最??；圖311（2）如圖312，已知線段a，

10、點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P、Q （點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQa，四邊形APQB的周長(zhǎng)最小圖3129（1）已知：如圖313，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P，在OB邊上求作一點(diǎn)Q，使得PMQ的周長(zhǎng)最?。粓D313（2）已知：如圖314，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最小圖31410已知：如圖65，ABC中，BC邊上有D、E兩點(diǎn)，12，34求證：ABC是等腰三角形圖6511已知：如圖52，ABC中，ABAC，D、E在BC邊上，且ADAE求證：BDCE圖5212已知：如圖53，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，ACB

11、CBD，ADAE，DECE，求B的度數(shù)圖5313已知：如圖54，ABC中，ABAC，D是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CA至E，使AEAD試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖54拓展、探究、思考14已知：如圖55，RtABC中，BAC90°，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，AEBF求證：（1）DEDF；（2）DEF為等腰直角三角形圖5515在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P （2，3），Q （3，2），請(qǐng)?jiān)趚軸和y軸上分別找到M點(diǎn)和N點(diǎn)，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最?。?）作出M點(diǎn)和N點(diǎn)（2）求出M點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)圖5616已知：如圖66，ABC中，ABAC，E在CA的延長(zhǎng)線上，EDBC求證：AEAF.圖6617

12、已知：如圖67，ABC中，ACB90°，CDAB于D，BF平分ABC交CD于E，交AC于F.求證：CECF圖6718如圖68，在ABC中，BAC60°，ACB40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為BAC、ABC的角平分線，求證：BQAQABBP圖6819如圖69，若A、B是平面上的定點(diǎn)，在平面上找一點(diǎn)C，使ABC構(gòu)成等腰直角三角形，問(wèn)這樣的C點(diǎn)有幾個(gè)？并在圖69中畫(huà)出C點(diǎn)的位置圖6920如圖610，對(duì)于頂角A為36°的等腰ABC，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出三種不同的分法，將ABC分割為三個(gè)三角形，并且使每個(gè)三角形都是等腰三角形圖61021已知：如圖78，A

13、D是BAC的平分線，BEAC，EFAD于F.求證：EF平分AEB圖7822已知：如圖79，在ABC中，CE是角平分線，EGBC，交AC邊于F，交ACB的外角 （ACD）的平分線于G，探究線段EF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論圖7923如圖710，過(guò)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM，BN，使AMBN，請(qǐng)按以下步驟畫(huà)圖并回答（1）畫(huà)MAB、NBA的平分線交于點(diǎn)E，AEB是什么角？（2）過(guò)點(diǎn)E任作一線段交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C觀察線段DE、CE，有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)證明你的猜想（3）試猜想AD，BC與AB有什么數(shù)量關(guān)系？圖71024已知：如圖711，ABC中，ABAC，A100°，BE平分B交AC

14、于E（1）求證：BCAEBE；（2）探究：若A108°，那么BC等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試證明之25已知：如圖84，ABC和BDE都是等邊三角形（1）求證：ADCE；（2）當(dāng)ACCE時(shí)，判斷并證明AB與BE的數(shù)量關(guān)系圖8426如圖85，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CDCE，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EFAE，連接AF、BE和CF（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“”表示，并加以證明；（2）求證：AFBD圖8527已知：如圖86，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CDAB，BC6cm，BAD30°，B90°求CD的長(zhǎng)_圖8628（1）如

15、圖87，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC，求AEB的大小；圖87（2）如圖88，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小圖8829已知：如圖89，ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，使AEBD，連接CE、DE求證：CEDE.圖8930已知：如圖810，四邊形ABCD中，AB90°，C60°，CD2AD，AB4（1）在AB邊上求作點(diǎn)P，使PCPD最??；圖810（2）求出（1）中PCPD的最小值31.如

16、圖,ABC中,邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O,(1)求證:PA=PB=PC.(2)點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上?由此你還能得出什么結(jié)論?32、.如圖:ABC和ADE是等邊三角形.證明：BD=CE.33、如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列四個(gè)條件：EBD=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OBOC.（1）上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫(xiě)出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明ABC是等腰三角形.34如圖，P在AOB內(nèi)；點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO，BO的對(duì)稱點(diǎn)，且與AO、BO相交點(diǎn)E、F，若PEF的周長(zhǎng)為15

17、，求MN的長(zhǎng).35如圖（5）所示，在ABC中，C=90°，DE垂直平分AB，交AB于E，交 BC 于D，1=2，求B的度數(shù)。36等腰ABC的腰長(zhǎng)AB=10cm，AB的垂直平分線交另一腰AC于D，BCD的周長(zhǎng)為26cm，則底邊BC的長(zhǎng)是多少？37如圖，ABC中，AB=AC，BO，CO分別為ABC，ACB的平分線，交點(diǎn)為O，過(guò)O作，E，F(xiàn)平行于BC交AB，AC于F，E，探索BF+CE與FE的關(guān)系，說(shuō)明理由.38如圖，在ABC中，ADBC于D，點(diǎn)M，N分別在BC所在 的直線上，且BM=CN （1）AB=AC，試判斷AMN的形狀，并說(shuō)明理由 （2）若AM=AN，則ABC=ACB成立嗎？為什么？ 39.如圖，ABC中，BAC=1100，E、G分別為AB、AC中點(diǎn)，DEAB，F(xiàn)GAC，求DAF.16、如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，DE/AC，試說(shuō)明BDE和AED都是等腰三角形40、已知：在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求C的度數(shù)。41、在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角度數(shù)。（9分）42、如圖：B、D、E、C四點(diǎn)共線，BD=CE，AD=AE，求證：AB=AC（9分）43、求證：等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等。（9分）44、在ABC中，AB=AC, ABD=ACD,試確定AD與BC的關(guān)系，并說(shuō)明理由。（8