競賽模擬試卷上猶中學奧數輔導組

1、.2009年上海市高中數學競賽（新知杯）試卷（2009年3月22日 星期日 上午8：3010：30）【說明】解答本試卷不得使用計算器一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1. 設，則的最小值是 。2. 已知，且，則將表示成的函數，其解析式是 。3. 已知函數，若，且，則的取值范圍是 。4. 滿足方程的所有實數對 。5. 若 表示不超過實數 的最大整數，則方程 的解是 。6. 不等式的解集是 。7. 設是由不超過的所有正整數構成的集合，即，集合，且中任意兩個不同元素之差都不等于，則集合元素個數的最大可能值是 。8. 給出一個凸邊形及其所有對角線，在以該凸邊形的頂點及

2、所有對角線的交點為頂點的三角形中，至少有兩個頂點是該凸邊形頂點的三角形有 個。二、解答題9.（本題滿分14分）設函數定義于閉區(qū)間，滿足，且對任意，都有，其中常數滿足，求的值。10. （本題滿分14分）如圖，是雙曲線的右頂點，過點的兩條互相垂直的直線分別與雙曲線的右支交于點，問直線是否一定過軸上一定點？如果不存在這樣的定點，請說明理由；如果存在這樣的定點試求出這個定點的坐標。11. （本題滿分16分）設是集合的兩個不同子集，使得不是的子集，也不是的子集，求不同的有序集合對的組數。12. （本題滿分16分）設正整數構成的數列使得對一切恒成立。記該數列若干連續(xù)項的和為，其中，且。求證：所有構成的集合

3、等于。答案：一、1、； 2、； 3、； 4、5、或； 6、； 7、； 8、。二、9、解：因為，所以 8分由此得，而，所以 14分10、解法一：，將軸向右平移個單位，使點成為新直角坐標系的原點，在新坐標系下，雙曲線的方程為，即 (*)若軸，則，即，代入（*）式可得，進而。所以，則點在原坐標系中的坐標為。 5分若不垂直軸，設，則，于是（*）可以改寫成，即該方程的兩個根既是的斜率。因為，所以， 10分所以，故所以過定點，則點在原坐標系中的坐標為。綜上所述，直線過軸上的定點 14分解法二：設直線的斜率為由，同理得當時，所以過 8分當時，由直線的方程得， 10分所以，直線過軸上的定點 14分11、解：集合有個子集，不同的有序集合對有組。 2分若，并設中含有個元素，則滿足的有序集合對有組 8分同理，滿足的有序集合對也有組。 10分所以，滿足條件的有序集合對的組數為組。 16分12、證明：顯然 2分下證對任意，存在用表示數列的前項和，考慮個前項和： （1）由題設 6分另外，再考慮如下個正整數： （2）顯然 10分這樣（1），（2）中出現個正整數，都不超過，由抽屜原理，必有兩個相等。