二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和應(yīng)用

1、二次函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)（一）、知識(shí)點(diǎn)回顧【知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的基本性質(zhì)】yax2yax2kya(xh)2ya(xh)2kyax2bxc開口方向頂點(diǎn)對(duì)稱軸最值增減性【知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的圖像與a、b、c關(guān)系】（1） a決定拋物線的開口方向：a>0，開口向 _ ；a<0，開口向 _ （2） c決定拋物線與 _的位置：c>0，圖像與y軸的交點(diǎn)在_；c=0，圖像與y軸的交點(diǎn)在_；c<0，圖像與y軸的交點(diǎn)在_；（3）a，b決定拋物線對(duì)稱軸的位置，我們總結(jié)簡稱為：_；（4）b24ac決定拋物線與_交點(diǎn)情況： b24ac【知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的平移】設(shè)，將二次函數(shù)向右平移m個(gè)單位得到_

2、；向左平移m個(gè)單位得到_；向上平移n個(gè)單位得到_；向下平移n個(gè)單位得到_。簡單總結(jié)為_，_。（注意：要用以上方法對(duì)二次函數(shù)圖象進(jìn)行平移，要先化成頂點(diǎn)式再操作）【知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系】二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即變?yōu)橐辉畏匠?，從圖象上來說，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的值就是方程的根。【知識(shí)點(diǎn)五：二次函數(shù)解析式的求法】（1） 知拋物線三點(diǎn)，可以選用一般式：，把三點(diǎn)代入表達(dá)式列三元一次方程組求解；（2） 知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最大（?。┲悼蛇x用頂點(diǎn)式：；其中拋物線頂點(diǎn)是；（3） 知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為可選用交點(diǎn)式：，特別：此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線（二）、感悟與實(shí)踐例1： （

3、1）求二次函數(shù)yx24x1的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.（2）已知二次函數(shù)y2x28x6，當(dāng)_時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x_時(shí)，y有_值是_變式練習(xí)1-1：二次函數(shù)yx2mx中，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)值最大，求其最大值例2：已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示，則有： y-1x圖1圖4x=1（1）a _0,b_0 ,c_0（2）b24ac_0（3）a+b+c_0 圖2（4）a-b+c_0 變式練習(xí)2-1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2所示，其對(duì)稱軸x=1，給出下列結(jié)果：b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，則正確的結(jié)論是 （ ） A、B、 C、 D、變式練習(xí)2-2：已知二次函數(shù)的圖

4、像如圖3所示，那么一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大致是（）A B圖3 C D例3：（2012廣州）將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個(gè)單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為（）Ay=x21By=x2+1Cy=（x1）2Dy=（x+1）變式練習(xí)3-1：（2012泰安）將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為（）A BC D例4：二次函數(shù)的部分圖象如圖4所示，則關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，另一個(gè)解=（）A、1 B、 C、 D、0圖4 圖6yxBACO變式練習(xí)5-1：（2009廣州25）如圖6，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的面積為（1

5、）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用例1. 已知拋物線（或）（1） 把它配方成的形式；（2） 寫出拋物線的開口方向，頂點(diǎn)的坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程；(3)求函數(shù)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的自變量的值。(4)當(dāng)-2<x1時(shí)，求函數(shù)y的最值（4） 當(dāng)1<x<4時(shí)，求函數(shù)y的取值范圍；（6）求出與軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)及與軸的交點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊）（7）作出函數(shù)的大致圖像（8當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)值y隨增大而增大，隨值的增大而減??；（9）圖像過點(diǎn)A（，）、B（0，）、C（6，）、D（4，）比較，的大?。?0）觀察圖象，當(dāng)取何值時(shí)，；（11）當(dāng)x取何值時(shí)，y<2; （12

6、）求PQM的面積。（13）求四邊形PQMN的面積例2. 已知拋物線，根據(jù)下列條件，求k的值。(1) 拋物線過原點(diǎn)；(2) 頂點(diǎn)在x軸上；(3) 頂點(diǎn)在y軸上；(4) 頂點(diǎn)在y軸左側(cè)；(5) 當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值；(6) 關(guān)于直線x=-1對(duì)稱；(7) 函數(shù)y的值恒大于0；(8) 頂點(diǎn)在x軸上方；(9) 拋物線在x軸上截得的線段長為1；8.如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點(diǎn)， （1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二

7、象限上是否存在一點(diǎn)P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PBC的面積最大值.若沒有，請(qǐng)說明理由.二次函數(shù)應(yīng)用題歸類【基本思想】一、轉(zhuǎn)化思想實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。1、方案設(shè)計(jì)最優(yōu)問題：費(fèi)用最低？利潤最大？儲(chǔ)量最大？等等。2、面積最優(yōu)化問題：全面觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出相應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系，列出包含函數(shù)，自變量在內(nèi)的等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，求最值問題。二、建模思想從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程。1、建立圖像模型：自主建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造二次函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題。2、方程模型和不等式模型：根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程或

8、不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決問題。3、根據(jù)實(shí)際問題情境抽象出二次函數(shù)模型。三、運(yùn)動(dòng)思想圖像上的動(dòng)點(diǎn)問題及幾何圖形的形狀的確定。四、分類討論的思想二次函數(shù)與其他知識(shí)的綜合題時(shí)經(jīng)常用到。【最值的確定方法】1二次函數(shù)在沒有范圍條件下的最值：二次函數(shù)的一般式()化成頂點(diǎn)式，如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值）2二次函數(shù)在有范圍條件下的最值：如果自變量的取值范圍，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍內(nèi)，則當(dāng)，如果頂點(diǎn)不在范圍，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性2014年中考第23題分類匯總分析一、分段函數(shù)型1.【四月調(diào)考】某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如果售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可

9、賣出210件；如果售價(jià)超過50元但不超過80元，每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣1件；如果售價(jià)超過80元后，若再漲價(jià)，則每漲1元每月少賣3件.設(shè)每件商品的售價(jià)為x元，每個(gè)月的銷售量為y件.（1）求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍；（2）設(shè)每月的銷售利潤為W，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（3）每件商品的售價(jià)定位多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？二、與不等式結(jié)合型2.【2009四月調(diào)考】某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個(gè)。調(diào)查表明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè)。（1）請(qǐng)寫出每月售出書包的利潤y（元）與每個(gè)書包漲價(jià)x（元

10、）間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)某月的利潤為10000元，此利潤是否為該月的最大利潤，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)分析并回答售價(jià)在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤不低于6000元? 3.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可賣出100件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣2件設(shè)每件商品的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為y元（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）當(dāng)售價(jià)的范圍是是多少時(shí)，使得每件商品的利潤率不超過80%且每個(gè)月的利潤不低于2250元？三、前期投入，虧損、盈利型4.【

11、2011年四月】杰瑞公司成立之初投資1500萬元購買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品，此外，生產(chǎn)每件該產(chǎn)品還需要成本60元。按規(guī)定，該產(chǎn)品售價(jià)不得低于100元/件且不得超過180元/件，該產(chǎn)品銷售量（萬件）與產(chǎn)品售價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(2)第一年公司是盈利還是虧損？求出當(dāng)盈利最大或者虧損最小時(shí)的產(chǎn)品售價(jià)；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者虧損最小時(shí)，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價(jià)，能否使兩年共盈利達(dá)1340萬元，若能，求出第二年產(chǎn)品售價(jià)；若不能，請(qǐng)說明理由。四、面積有關(guān)問題5.【2010年中考】星光中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形生物苗圃園，

12、其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成。已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米。（1）若平行于墻的一邊長為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍；（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，并求出這個(gè)最大值；（3）當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于88平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍。五、二次函數(shù)與建模(高頻型)6.2015調(diào)考要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1 m處達(dá)到最高，高度為3m(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使水管頂端的坐

13、標(biāo)為(0，2.25)，水柱的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，3)，求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）；(2)如圖；在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3 m，最內(nèi)軌道的半徑為r m，其上每0.3 m的弧長上安裝一個(gè)地漏，其它軌道上的地漏個(gè)數(shù)與最內(nèi)軌道上的個(gè)數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏，求當(dāng)r為多少時(shí)池中安裝的地漏的個(gè)數(shù)最多？六、細(xì)節(jié)變化、陷阱題 9.中百超市每天購進(jìn)一種水產(chǎn)品300千克，其進(jìn)貨成本（含運(yùn)輸費(fèi)）是每千克3元，根據(jù)超市規(guī)定，這種水產(chǎn)品只能當(dāng)天銷售，并且每千克的售價(jià)不能超過10元，一天內(nèi)沒有銷售完的水產(chǎn)品只能按2

14、元處理給食品深加工公司，而且這種水產(chǎn)品每天的損耗率是10%，根據(jù)市場調(diào)查這種水產(chǎn)品每天在市場上的銷售量y(單位：千克，y0）與每千克的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：（1）求出每天銷售量y與每千克銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題中的分析：每天銷售利潤w最多是多少元？（3）請(qǐng)你直接回答：當(dāng)每千克銷售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤不低于960元？【鞏固練習(xí)】A組：1. 二次函數(shù)y=x2-2x-6的圖象開口方向 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對(duì)稱軸是 ；2、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（l,0), 則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是_3、二次函數(shù)y=2的圖像的對(duì)稱軸是直線_. 4、拋物線y2bx3的對(duì)稱

15、軸是直線x1，則b的值為_；若拋物線y=形狀與它一樣，則a=_5拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）6二次函數(shù)的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 7拋物線（是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）ABCD8、若拋物線+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(m,m),則此拋物線也經(jīng)過點(diǎn)（ ）A(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m)9、二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）ABCD10、二次函數(shù)的圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)是A(-1，-2)B(1，-2)C(-1，2)D(1，2)11、若把代數(shù)式化為的形式，其中為常數(shù)，則=.12、已知、是拋物線上位置不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸

16、對(duì)稱，則點(diǎn)、的坐標(biāo)可能是_（寫出一對(duì)即可）13、函數(shù)，當(dāng)為 時(shí)，函數(shù)的最大值是 ；14、若二次函數(shù) 的最大值為，則常數(shù)；B組：1.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y公尺，且時(shí)間與高度關(guān)系為y=ax2+bx。若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等，則再下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的？()A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 。2拋物線的對(duì)稱軸是直線（ ）ABCD3函數(shù)取得最大值時(shí)，_4、已知二次函數(shù)若，則其圖象與軸的位置關(guān)系是 （ ）A 只有一個(gè)交點(diǎn) B 有兩個(gè)交點(diǎn) C 沒有交點(diǎn) D 交點(diǎn)數(shù)不確定5.(2010臺(tái)州)如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1, 4）和（4, 4）,拋

17、物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為( ) A3 B1 C5 D8 yxO第5題圖第6題圖第 第7題圖6.如圖，兩條拋物線、與分別經(jīng)過點(diǎn),且平行于軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為_7.(2010株洲）已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)取不同的值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”下圖分別是當(dāng)，時(shí)二次函數(shù)的圖象.它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是 .二次函數(shù)應(yīng)用題練習(xí)1.九·五股份有限公司在漢口北投資新建了一商場，黃有商鋪30間，據(jù)預(yù)測，當(dāng)每間的年租金為10萬元時(shí)，可全部租出；每間的年租金每增加5000元，少租出商

18、鋪一間，該公司要為租出的商鋪每年交各種費(fèi)用1 萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5000元。（1）當(dāng)租金為13萬元時(shí)，能租出多少間商鋪？（2）當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少時(shí)，該公司的年收益最大？（3）若公司要求收益不低于275萬元，則年租金定在什么范圍？2.一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系：設(shè)經(jīng)銷商每月獲得利潤為w（元）（1），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？（2）如果經(jīng)銷商想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果經(jīng)銷商想要

19、每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3.如圖，足球場上守門員在處開出一高球，球從離地面1米的處飛出（在軸上），運(yùn)動(dòng)員乙在距點(diǎn)6米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)，距地面約4米高，球落地后又一次彈起據(jù)實(shí)驗(yàn)測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半（1）求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式（2）足球第一次落地點(diǎn)距守門員多少米？（?。?）運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)，他應(yīng)再向前跑多少米？（?。?.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價(jià)收購這種活蟹1000 kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場價(jià)為每千克30元，據(jù)測算，此后每千克活蟹的市場價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為400元，且平均每天還有10 kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價(jià)都是每千克20元(1)設(shè)x天后每千克活蟹的市場價(jià)為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記100