高三導數(shù)壓軸題題型歸納

1、 .wd.導數(shù)壓軸題題型1. 高考命題回憶例1函數(shù)f(x)exln(xm)2013全國新課標卷(1)設x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當m2時，證明f(x)>0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定義域為x|x>1，f(x)ex，顯然f(x)在(1,0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增(2)證明g(x)exln(x2)，那么g(x)ex(x>2)h(x)g(x)ex(x>2)h(x)ex>0，所以h(x)是增函數(shù)，h(x)0至多只有一個實數(shù)根，又g()<0，g(0)1>0，所以h(x)g(x)0的唯

2、一實根在區(qū)間內(nèi)，設g(x)0的根為t，那么有g(t)et0，所以，ett2et，當x(2，t)時，g(x)<g(t)0，g(x)單調(diào)遞減；當x(t，)時，g(x)>g(t)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t>0，當m2時，有l(wèi)n(xm)ln(x2)，所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min>0.例2函數(shù)滿足2012全國新課標(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)假設，求的最大值。1 令得： 得：在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為2得當時，在上單調(diào)遞增時，與矛盾當時， 得：當時， 令；那么

3、當時， 當時，的最大值為例3函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。2011全國新課標求、的值；如果當，且時，求的取值范圍。解 由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。由知，所以?？紤]函數(shù)，那么。(i)設，由知，當時，h(x)遞減。而故當時，可得；當x1，+時，hx<0，可得 hx>0從而當x>0,且x1時，fx-+>0，即fx>+.ii設0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當x1，時，k-1x2 +1+2x>0,故 (x>0,而h1=0，故當x1，時，hx>0，可得hx<0,與題設矛盾。iii設k1.此時，x>0,而h

4、1=0，故當x1，+時，hx>0，可得 hx<0,與題設矛盾。 綜合得，k的取值范圍為-，0例4函數(shù)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex. 2009寧夏、海南(1)假設ab3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設f(x)在(,),(2,)單調(diào)增加,在(,2),(,+)單調(diào)減少,證明6.解: (1)當ab3時,f(x)(x3+3x23x3)ex,故f(x)(x3+3x23x3)ex +(3x2+6x3)exex (x39x)x(x3)(x+3)ex.當x3或0x3時,f(x)0;當3x0或x3時,f(x)0.從而f(x)在(,3),(0,3)單調(diào)增加,在(3,0),(3,+)單調(diào)減少.

5、(2)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex +(3x2+6x+a)exexx3+(a6)x+ba.由條件得f(2)0,即23+2(a6)+ba0,故b4a.從而f(x)exx3+(a6)x+42a.因為f()f()0,所以x3+(a6)x+42a(x2)(x)(x)(x2)x2(+)x+.將右邊展開,與左邊比擬系數(shù),得+2,a2.故.又(2)(2)0，即2(+)+40.由此可得a6. 于是6.2. 在解題中常用的有關結(jié)論(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切線方程為。(2)假設可導函數(shù)在 處取得極值，那么。反之，不成立。(3)對于可導函數(shù),不等式的解集決定函數(shù)的遞增減區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上

6、遞增減的充要條件是：恒成立 不恒為0.(5)函數(shù)非常量函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，那么可等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。假設為二次函數(shù)且I=R，那么有。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到或在I上恒成立(7)假設，恒成立，那么; 假設，恒成立，那么(8)假設，使得，那么；假設，使得，那么.(9)設與的定義域的交集為D，假設D 恒成立，那么有.(10)假設對、 ，恒成立，那么.假設對，使得,那么. 假設對，使得，那么.11在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，假設對,，使得=成立，那么。(12)假設三次函數(shù)f(x)有三個零點，那么方程有兩個不

7、等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 1 xx+ 3. 題型歸納導數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應用構(gòu)造函數(shù)，最值定位分類討論，區(qū)間劃分極值比擬零點存在性定理應用二階導轉(zhuǎn)換例1切線設函數(shù).1當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；2當時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.例2最值問題，兩邊分求函數(shù).當時，討論的單調(diào)性；設當時，假設對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.交點與根的分布例3切線交點函數(shù)在點處的切線方程為求函數(shù)的解析式；假設對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；假設過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍例4綜合應用函數(shù)求f(x)在0,1上的

8、極值；假設對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍；假設關于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.不等式證明例5 (變形構(gòu)造法)函數(shù)，a為正常數(shù)假設，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在中當時，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：假設，且對任意的，都有，求a的取值范圍例6 (高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧)函數(shù).1假設對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；2當時，設函數(shù)，假設，求證例7絕對值處理函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，且在處取得極大值I求實數(shù)的取值范圍；II假設方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；III對于II中的函數(shù)，對任意，求證：例8等價變形函數(shù)討論函數(shù)在定義域

9、內(nèi)的極值點的個數(shù)；假設函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；當且時，試比擬的大小例9前后問聯(lián)系法證明不等式，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1。I求直線的方程及m的值；II假設，求函數(shù)的最大值。III當時，求證：例10 (整體把握，貫穿全題)函數(shù)1試判斷函數(shù)的單調(diào)性； 2設，求在上的最大值；3試證明：對任意，不等式都成立其中是自然對數(shù)的底數(shù)證明：例11數(shù)學歸納法函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.求實數(shù)的值；結(jié)論：假設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，那么存在，使得.試用這個結(jié)論證明：假設，函數(shù)，那么對任意，都有；正數(shù)，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù)，都有.

10、恒成立、存在性問題求參數(shù)范圍例12別離變量函數(shù)(a為實常數(shù)).(1)假設，求證：函數(shù)在(1,+)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在1,e上的最小值及相應的值；(3)假設存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.例13先猜后證技巧函數(shù)求函數(shù)f (x)的定義域確定函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.假設x>0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.例14創(chuàng)新題型設函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()假設x=0是F(x)的極值點,求a的值；()當 a=1時,設P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x1>0,x2>0), 且PQ/x軸,求P

11、、Q兩點間的最短距離；()假設x0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍例15(圖像分析，綜合應用) 函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設求的值；不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍導數(shù)與數(shù)列例16創(chuàng)新型問題設函數(shù)，是的一個極大值點假設，求的取值范圍；當是給定的實常數(shù)，設是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列其中=依次成等差數(shù)列?假設存在，求所有的及相應的；假設不存在，說明理由導數(shù)與曲線新題型例17形數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù), .(1)假設, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;(2)在(1)的結(jié)論下,設函數(shù)的最小值;

12、(3)設函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作軸的垂線分別交C1、C2于點、,問是否存在點R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?假設存在,求出R的橫坐標;假設不存在,請說明理由.例18全綜合應用函數(shù).(1)是否存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上?假設存在,求出點M的坐標;假設不存在,請說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,假設不等式對且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.導數(shù)與三角函數(shù)綜合例19換元替代，消除三角設函數(shù)，其中當時，求曲線在點處的切線方程；當時，求函數(shù)的極大值和極小值；當，時，假設不等式對任意的恒成立,求

13、的值。創(chuàng)新問題積累例20函數(shù).I、求的極值. II、求證的圖象是中心對稱圖形.III、設的定義域為,是否存在.當時，的取值范圍是?假設存在,求實數(shù)、的值；假設不存在，說明理由導數(shù)壓軸題題型歸納參考答案例1解：(1)時，由，解得.的變化情況如下表：01-0+0極小值0所以當時，有最小值.(2)證明：曲線在點處的切線斜率 曲線在點P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.當時，由，即，解得.當時，恒成立，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，,時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時

14、，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時,恒成立,此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時,函數(shù)在遞減,遞增,遞減.當時，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意，有，又存在，使，所以，又當時，與矛盾；當時，也與矛盾；當時，.綜上，實數(shù)的取值范圍是.例3解：根據(jù)題意，得即解得 所以 令，即得12+增極大值減極小值增2因為，所以當時，那么對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，所以所以的最小值為4因為點不在曲線上，所以可設切點為那么因為，所以切線的斜率為那么=，即因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數(shù)解所以函數(shù)有三個不同的零點那么令，那么或02+增極大值減極小值增那么 ，即，解得例4解：，

15、令舍去單調(diào)遞增；當遞減. 上的極大值.由得設，依題意知上恒成立，上單增，要使不等式成立，當且僅當由令，當上遞增；上遞減，而，恰有兩個不同實根等價于例5解：a，令得或,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.證明：當時, ,又不妨設，要比擬與的大小，即比擬與的大小，又， 即比擬與的大小 令,那么,在上位增函數(shù)又， ，即 ， 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù) 當， 由在恒成立設，那么在上為增函數(shù)，. 當， 由在恒成立設，為增函數(shù),綜上：a的取值范圍為.例6解：1,，即在上恒成立設,，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值.，所以.2當時，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因為，所以即,同理.所以又因為當且僅當“時，取等號.又，,

16、所以,所以，所以：.例7I由，因為當時取得極大值，所以，所以；II由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得：所以函數(shù)的解析式是：III對任意的實數(shù)都有在區(qū)間-2，2有：函數(shù)上的最大值與最小值的差等于81，所以例8解：，當時，在上恒成立，函數(shù) 在 單調(diào)遞減，在上沒有極值點；當時，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點函數(shù)在處取得極值，令，可得在上遞減，在上遞增，即證明：，令，那么只要證明在上單調(diào)遞增，又，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，在上單調(diào)遞增，即，當時，有例9 解：I的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點坐標為1，0，的方程為又與函數(shù)的

17、圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個相等的實數(shù)根，解之，得m=4或m=-2， II由I可知，單調(diào)，當時，單減。，取最大值，其最大值為2。III證明，當時，例10解：1函數(shù)的定義域是由令，得因為當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減2由1可知當，即時，在上單調(diào)遞增，所以當時，在上單調(diào)遞減，所以當，即時，綜上所述，3由1知當時所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立因此對任意恒有因為，所以，即因此對任意，不等式例11解：當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 函數(shù)在處取得極大值，故.令，那么.函數(shù)在上可導，存在，使得.，當時，單調(diào)遞增，；當時，單調(diào)

18、遞減，；故對任意，都有.用數(shù)學歸納法證明.當時，且，由得，即，當時，結(jié)論成立. 假設當時結(jié)論成立，即當時，. 當時，設正數(shù)滿足，令， 那么，且.當時，結(jié)論也成立.綜上由，對任意，結(jié)論恒成立. 例12解：當時，當，故函數(shù)在上是增函數(shù)，當，假設，在上非負僅當，x=1時，故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時假設，當時,；當時，此時是減函數(shù)；當時，此時是增函數(shù)故假設，在上非正僅當，x=e時，故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而令，又，當時，從而僅當x=1時取等號，所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是例13解：1定義域2單調(diào)遞減。當，令，故在1，0上是減函數(shù)，即，

19、故此時在1，0和0，+上都是減函數(shù)3當x>0時，恒成立，令又k為正整數(shù)，k的最大值不大于3下面證明當k=3時，恒成立當x>0時恒成立令，那么，當當取得最小值當x>0時，恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例14解：()F(x)= ex+sinxax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以. 又當a=2時,假設x<0,;假設 x>0,.x=0是F(x)的極小值點, a=2符合題意. () a=1,且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當x>0時恒成立.x0,+時,h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令那么.因為當x0時恒成立,所以

20、函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, S(x)S(0)=0當x0,+時恒成立; 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, 當x0,+時恒成立.當a2時,在0,+單調(diào)遞增,即.故a2時F(x)F(x)恒成立. 例15解:(1)當時，上為增函數(shù)故當上為減函數(shù)故即. .方程化為，令，記方程化為，令，那么方程化為方程有三個不同的實數(shù)解，由的圖像知，有兩個根、，且或，記那么或例16解：時，令，設是的兩個根，1當或時，那么不是極值點，不合題意；2當且時，由于是的極大值點，故，即，()解：，令，于是，假設是的兩個實根，且由可知，必有，且是的三個極值點，那么，假設存在及滿足題意，1當?shù)炔顣r，即時，那么或，于是，即此時或2當時，那么或假設，那么，于是，即兩邊平方得，于是，此時，此時=假設，那么，于是，即兩邊平方得，于是，此時此時綜上所述，存在b滿足題意，當b=a3時，時，時，.例17解:(1)依題意:在(0,+)上是增函數(shù), 對x(0,+)恒成立, (2)設當t=1時,ym i n=b+1; 當t=2時,ymi n=4+2b 當?shù)淖钚≈禐?3)設點P、Q的坐標是那么點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率為C2在點N處的切線斜率為假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,那么 設 這與矛盾,假設不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行 例18 (1)假