全等三角形經典題型輔助線

1、全等三角形常見輔助線作法【例1】已知：如圖6，、分別是以、為斜邊的直角三角形，且，是等邊三角形求證：是等邊三角形【例2】、如圖，已知BC > AB，AD=DC。BD平分ABC。求證：A+C=180°.一、線段的數(shù)量關系: 通過添加輔助線構造全等三角形轉移線段到一個三角形中證明線段相等。1、倍長中線法第3題【例. 3】如圖，已知在中，平分，交于點.求證：證明：延長DC到E，使得CE=CD,聯(lián)結AE ADE=60° AD=AEC=90° ADE為等邊三角形ACCD AD=DEECD=CE DB=DAAD=AE BD=DEB=30°C=90°

2、BD=2DCBAC=60°AD平分BACBAD=30°DB=DA ADE=60°【例4.】 如圖，是的邊上的點，且，是的中線。求證：。證明：延長AE到點F,使得EF=AE 聯(lián)結DF在ABE和FDE中 ADC=ABD+BDA BE =DE ABE=FDE AEB=FED ADC=ADB+FDE AE=FE 即 ADC = ADFABE FDE（SAS） 在ADF和ADC中AB=FD ABE=FDE AD=ADF AB=DC ADF = ADC FD = DC DF =DCADC=ABD+BAD ADF ADC(SAS) AF=AC AC=2AE【變式練習】、 如圖，

3、ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.【小結】熟悉法一、法三“倍長中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以后的對于解決含有過中點線段有很好的效果。【變式練習】：如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求證：AE=EF。2、運用角平分線構造全等【例5】如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD證明：在AC上截取AF=AE ,聯(lián)結OF 在AOE和AOF中在ABC中，B+BAD+ACB=180° AE=AFB

4、=60 ° EAO=FAOBAD+ACB=120° AO = AOFAD平分BAC AOE AOF（ASA） 在COD和 COF中BAC= 2OAC AOE=AOE OE=OF DCO =FCO CE平分ACB AOE=60° CO=COACB= 2ACO AOE+AOE+FOC=180° DOC=FOC2OAC+2ACO=120° FOC=6O° COD COF（ASA） OAC+ACO=60° AOE=COD OD =OFAOE=OAC+ACO COD=60° OE=OFAOE=60° OE=ODF【

5、例6】如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE【小結】解題后的思考：1）對于角平分線的問題，常用兩種輔助線；2）見中點即聯(lián)想到中位線。 3、 旋轉【例7】正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). GAE=FAE延長EB到點G，使得BG =BE DAF+BAF=90°先證明ADF ABE GAB =FAD 可得到 AF =AG DAF = GAB GAF = 90°EF =BE +DF EAF = 45°

6、G EF = BE+BG =GEGAE FAE 【例8】. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_ ；【例9】如圖，已知ABC=DBE=90°，DB=BE，AB=BC(1)求證：AD=CE，ADCE (2)若DBE繞點B旋轉到ABC外部，其他條件不變，則(1)中結論是否仍成立?請證明【例10】.如圖在RtABC中,AB=AC,BAC=90°,O為BC中點. (1)寫出O點到ABC三個頂點A、B、C的距離關系(不要求證明) (2)如果M、N分別在線段AB、AC上移動,在移動過程中保持AN=BM,請判 斷O M N的形狀,并證明你的結論.聯(lián)結OA則OAC和OAB

7、D都為等腰直角三角形OA=0B=0CANO BMO（NOA=OBM）可得ON=OM NOA=MOB可得到NOM=AOB=90°【例11】如圖，已知為等邊三角形，、分別在邊、上，且也是等邊三角形（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程4、截長補短法【例12】、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC【例13】如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD【例14】如圖，已知在內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的

8、角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：如圖（1），過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    ADO=AQO，    又DAO=QAO，OA=AO，    ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，    又ODBP，    PBO=

9、DOB，    又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，    BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，    AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。               &#

10、160;     【例15】如圖，在ABC中，ABC=60°，AD、CE分別平分BAC、ACB，求證：AC=AE+CD 方法同【例5】【例16】已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC【例17】 如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求 的度數(shù)。先證明 ABM BCN (SAS)可得CBN = BAM AQN=ABQ+BAQBAM=CBN AQN=ABQ+CBN即 AQN=ABC = 60°作平行線：過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”【例18

11、】：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。證明：過E作EG/AC交BC于G，則EGB=ACB，G又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。. 【例19】已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，BC = DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延長線交DC于點E. 求證：（1）BFCDFC；（2）AD = DE.聯(lián)結BD證明：CF平分BCD ADB=CDB BCF=DCF DFAB 在BCF和DCF中 ABD=BDF BC=CD BF=DFBCF=

12、DCF FDB=FBD CF=CF ABD=FBDBCF DCF（SAS） 在ABD和EBD中 BF=DF ABD=EBD(2) ADBC BD=BDADB =CBD ADB=EDBBC = DC ABD EBD （ASA） CBD=CDB AD = DE【課堂練習】1如圖，已知AE平分BAC，AE垂直于BE, 且EDAC，BAE=36°，那么BED= 2如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。綜合題：已知在ABC中，高所在的直線與高所在的直線交于點，過點作，交直線于點,聯(lián)結.（1）當是銳角三角形時（如圖a所示）， 求證：；（2）當是

13、鈍角時（如圖b所示），寫出線段、三者之間的數(shù)量關系，不必寫出證明過程，直接寫結論； 當,時，求的長. 第27（b）題第27（a）題 可知 FDC和AFG都為等腰直角三角形 圖（b）中FD=DC AF =FG ABD和AFG都為等腰直角三角形AD=AF+FD ADC BDF AD=FG+DC DC = FD FD=AF +AD CD=FD【總結】常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆