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1、 2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題 18小題每小題4分,共32分設(shè),當時, ( )(A)比高階的無窮小 (B)比低階的無窮小(C)與同階但不等價無窮小 (D)與等價無窮小2已知是由方程確定,則( )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2設(shè),則( )()為的跳躍間斷點 ()為的可去間斷點()在連續(xù)但不可導(dǎo) ()在可導(dǎo)設(shè)函數(shù),且反常積分收斂,則( )(A) (B) (C) (D)設(shè)函數(shù),其中可微,則( )(A) (B)(C) (D)6設(shè)是圓域的第象限的部分,記,則( )(A) (B) (C) (D)7設(shè),均為階矩陣,若,且可逆,則(A)矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組
2、等價(B)矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(C)矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(D)矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是(A) (B),為任意常數(shù)(C) (D),為任意常數(shù)二、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上)9 10設(shè)函數(shù),則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 11設(shè)封閉曲線L的極坐標方程為為參數(shù),則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對應(yīng)于處的法線方程為 13已知是某個二階常系數(shù)線性微分方程三個解,則滿足方程的解為 14設(shè)是三階非零矩陣,為其行列式,為元素的代數(shù)余子式,且滿足,則= 三、解答題15(本題滿分10分)當時,
3、與是等價無窮小,求常數(shù)16(本題滿分10分)設(shè)D是由曲線,直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形,分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積,若,求的值17(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成,求18(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且,證明:(1)存在,使得;(2)存在,使得19(本題滿分10分)求曲線上的點到坐標原點的最長距離和最短距離20(本題滿分11)設(shè)函數(shù)求的最小值;設(shè)數(shù)列滿足,證明極限存在,并求此極限21(本題滿分11)設(shè)曲線L的方程為(1)求L的弧長(2)設(shè)D是由曲線L,直線及軸所圍成的平面圖形,求D的形心的橫坐標22本題滿分11分)設(shè),問當為何值時,存在矩陣C,使得,并求出
4、所有矩陣C23(本題滿分11分)設(shè)二次型記(1)證明二次型對應(yīng)的矩陣為 ;(2)若正交且為單位向量,證明在正交變換下的標準形為 2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數(shù) ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè),則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的 ( )(A) 充分必要條件 (B) 充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D) 非充分也非必要(4
5、) 設(shè)則有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)函數(shù)為可微函數(shù),且對任意的都有則使不等式成立的一個充分條件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)區(qū)域由曲線圍成,則 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 設(shè), , , ,其中為任意常數(shù),則下列向量組線性相關(guān)的為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)為3階矩陣,為3階可逆矩陣,且.若,則 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空題:9-14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù),則 .(10) .(11) 設(shè)其中函數(shù)可微,則 .(12
6、) 微分方程滿足條件的解為 .(13) 曲線上曲率為的點的坐標是 .(14) 設(shè)為3階矩陣,為伴隨矩陣,若交換的第1行與第2行得矩陣,則 . 三、解答題:15-23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)已知函數(shù),記,(I)求的值;(II)若時,與是同階無窮小,求常數(shù)的值.(16)(本題滿分 10 分)求函數(shù)的極值.(17)(本題滿分12分)過點作曲線的切線,切點為,又與軸交于點,區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(18)(本題滿分 10 分)計算二重積分,其中區(qū)域為曲線與極軸圍成.(19)
7、(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足方程及,(I) 求的表達式;(II) 求曲線的拐點.(20)(本題滿分10分) 證明,.(21)(本題滿分10 分)(I)證明方程,在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根;(II)記(I)中的實根為,證明存在,并求此極限.(22)(本題滿分11 分)設(shè),(I) 計算行列式;(II) 當實數(shù)為何值時,方程組有無窮多解,并求其通解.(23)(本題滿分11 分)已知,二次型的秩為2,(I) 求實數(shù)的值;(II) 求正交變換將化為標準形.2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、 選擇題:18小題,每小題4分,共32分。下列每題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的,請
8、將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。(1)已知當時,函數(shù)與是等價無窮小,則( )(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且,則( )(A) (B) (C) (D)(3)函數(shù)的駐點個數(shù)為( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(4)微分方程的特解形式為( )(A) (B)(C) (D)(5)設(shè)函數(shù),均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),滿足,則函數(shù)在點處取得極小值的一個充分條件是( )(A), (B),(C), (D), (6)設(shè),則,的大小關(guān)系為( ) (A) (B) (C) (D)(7)設(shè)為3階矩陣,將的第2列加到第1列得矩陣,再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記,則=( ) (A) (B) (
9、C) (D)(8)設(shè)是4階矩陣,為的伴隨矩陣。若是方程組的一個基礎(chǔ)解系,則的基礎(chǔ)解系可為( ) (A) (B) (C) (D)二、填空題:914小題,每小題4分,共24分。請將答案寫在答題紙指定位置上。(9) 。(10)微分方程滿足條件的解為 。(11)曲線 的弧長 。(12)設(shè)函數(shù) ,則 。(13)設(shè)平面區(qū)域由直線,圓及軸所圍成,則二重積分 。(14)二次型,則的正慣性指數(shù)為 。三、解答題:1523小題,共94分。請將解答寫在答題紙指定位置上,解答應(yīng)字說明、證明過程或演算步驟。(15)(本題滿分10分) 已知函數(shù),設(shè),試求的取值范圍。(16)(本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定,求的極
10、值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點。(17)(本題滿分9分) 設(shè)函數(shù),其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值,求。(18)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且曲線與直線相切于原點,記為曲線在點處切線的傾角,若,求的表達式。(19)(本題滿分10分) (I)證明:對任意的正整數(shù),都有成立。 (II)設(shè),證明數(shù)列收斂。(20)(本題滿分11分) 一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,該曲線由與連接而成。 (I)求容器的容積; (II)若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出,至少需要做多少功?(長度單位:,重力加速度為,水的密度為)(21)(本題滿分11分) 已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)
11、數(shù),且,其中,計算二重積分。(22)(本題滿分11分) 設(shè)向量組,不能由向量組,線性表示。 (I)求的值; (II)將用線性表示。(23)(本題滿分11分) 設(shè)為3階實對稱矩陣,的秩為2,且。 (I)求的所有的特征值與特征向量; (II)求矩陣。2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一選擇題(1)A0 B1 C2 D32.設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個特解,若常數(shù)使是該方程的解,是該方程對應(yīng)的齊次方程的解,則A B C D(1)A4e B3e C2e De4.設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性A僅與取值有關(guān) B僅與取值有關(guān)C與取值都有關(guān) D與取值都無關(guān)5.設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù)
12、,且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設(shè)向量組,下列命題正確的是:A若向量組I線性無關(guān),則 B若向量組I線性相關(guān),則rsC若向量組II線性無關(guān),則 D若向量組II線性相關(guān),則rs(A) 設(shè)為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=_10. 曲線的漸近線方程為_11. 函數(shù)12.13. 已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加,寬w以3cm/s的速率增加,則當l=12cm,w=5cm時,它的對角線增加的速率為_14. 設(shè)A,B為3階矩陣,且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限17. 設(shè)函數(shù)y=
13、f(x)由參數(shù)方程18. 一個高為l的柱體形貯油罐,底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放,當油罐中油面高度為時,計算油的質(zhì)量。(長度單位為m,質(zhì)量單位為kg,油的密度為)19.20.21. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=,證明:存在22.23.設(shè),正交矩陣Q使得為對角矩陣,若Q的第一列為,求a、Q.2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(1)函數(shù)的可去間斷點的個數(shù),則( )1.2. 3.無
14、窮多個.(2)當時,與是等價無窮小,則( ). .(3)設(shè)函數(shù)的全微分為,則點( )不是的連續(xù)點.不是的極值點. 是的極大值點. 是的極小值點.(4)設(shè)函數(shù)連續(xù),則( ). . .(5)若不變號,且曲線在點上的曲率圓為,則在區(qū)間內(nèi)( )有極值點,無零點.無極值點,有零點. 有極值點,有零點.無極值點,無零點.(6)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為:1-2023-1O則函數(shù)的圖形為( ).0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11(7)設(shè)、均為2階矩陣,分別為、的伴隨矩陣。若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為( ). .(8)設(shè)均為3階矩陣,為的轉(zhuǎn)置矩陣,且,若,則為( ). .二
15、、填空題:9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)曲線在處的切線方程為 (10)已知,則 (11) (12)設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),則 (13)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 (14)設(shè)為3維列向量,為的轉(zhuǎn)置,若矩陣相似于,則 三、解答題:1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分9分)求極限(16)(本題滿分10 分)計算不定積分 (17)(本題滿分10分)設(shè),其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求與(18)(本題滿分10分)設(shè)非負函數(shù)滿足微分方程,當曲線過原點時,其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2,求繞軸旋轉(zhuǎn)
16、所得旋轉(zhuǎn)體體積。(19)(本題滿分10分)求二重積分,其中(20)(本題滿分12分)設(shè)是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線,當時,曲線上任一點處的法線都過原點,當時,函數(shù)滿足。求的表達式(21)(本題滿分11分)()證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),則存在,使得()證明:若函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則存在,且。(22)(本題滿分11分)設(shè),()求滿足的所有向量()對()中的任一向量,證明:線性無關(guān)。(23)(本題滿分11分)設(shè)二次型()求二次型的矩陣的所有特征值;()若二次型的規(guī)范形為,求的值。2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給
17、出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(1)設(shè),則的零點個數(shù)為( )0 1. 2 3(2)曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則定積分( )曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.(3)在下列微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是( ) (5)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是( )若收斂,則收斂. 若單調(diào),則收斂.若收斂,則收斂.若單調(diào),則收斂.(6)設(shè)函數(shù)連續(xù),若,其中區(qū)域為圖中陰影部分,則 (7)設(shè)為階非零矩陣,為階單位矩陣. 若,則( )不可逆,不可逆. 不可逆,可逆.可逆,可逆. 可逆,不可逆. (8)設(shè),則在實數(shù)
18、域上與合同的矩陣為( ). . 二、填空題:9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 已知函數(shù)連續(xù),且,則.(10)微分方程的通解是.(11)曲線在點處的切線方程為.(12)曲線的拐點坐標為_.(13)設(shè),則.(14)設(shè)3階矩陣的特征值為.若行列式,則.三、解答題:1523題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分9分)求極限.(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定,其中是初值問題的解.求.(17)(本題滿分9分)求積分 .(18)(本題滿分11分)求二重積分其中(19)(本題滿分11分)設(shè)是區(qū)
19、間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù),且.對任意的,直線,曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍,求函數(shù)的表達式.(20)(本題滿分11分)(1) 證明積分中值定理:若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則至少存在一點,使得 (2)若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足,證明至少存在一點(21)(本題滿分11分)求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值.(22)(本題滿分12分) 設(shè)矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,(1)求證;(2)為何值,方程組有唯一解,并求;(3)為何值,方程組有無窮多解,并求通解.(23)(本題滿分10分)設(shè)為3階矩陣,為的分別屬于特征值特征向量,向量滿足,
20、(1)證明線性無關(guān);(2)令,求.2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:110小題,每小題4分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(1)當時,與等價的無窮小量是 (A) (B) (C) (D) (2)函數(shù)在上的第一類間斷點是 (A)0 (B)1 (C) (D)(3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周,設(shè),則下列結(jié)論正確的是: (A) (B) (C) (D) (4)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯誤的是: (A)若存在,則 (B)若存在,則 . (C)若存在,
21、則 (D)若存在,則. (5)曲線的漸近線的條數(shù)為(A)0. (B)1. (C)2. (D)3. (6)設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且,令,則下列結(jié)論正確的是: (A) 若 ,則必收斂. (B) 若 ,則必發(fā)散 (C) 若 ,則必收斂. (D) 若 ,則必發(fā)散. (7)二元函數(shù)在點處可微的一個充要條件是 (A).(B).(C).(D).(8)設(shè)函數(shù)連續(xù),則二次積分等于(A) (B)(C) (D)(9)設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān),則(A) (B) (C) .(D) . (10)設(shè)矩陣,則與 (A) 合同且相似 (B)合同,但不相似. (C) 不合同,但相似. (D) 既不合同
22、也不相似 二、填空題:1116小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上.(11) _.(12)曲線上對應(yīng)于的點處的法線斜率為_.(13)設(shè)函數(shù),則_.(14) 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_.(15) 設(shè)是二元可微函數(shù),則 _.(16)設(shè)矩陣,則的秩為 . 三、解答題:1724小題,共86分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17) (本題滿分10分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù),且滿足,其中是的反函數(shù),求.(18)(本題滿分11分) 設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域. ()求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積;()當為何值時,最?。坎⑶蟠俗钚≈?(19)(本題滿分10分
23、)求微分方程滿足初始條件的特解.(20)(本題滿分11分)已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,函數(shù)由方程所確定,設(shè),求.(21) (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,證明:存在,使得.(22) (本題滿分11分) 設(shè)二元函數(shù),計算二重積分,其中.(23) (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.(24) (本題滿分11分)設(shè)三階對稱矩陣的特征向量值,是的屬于的一個特征向量,記,其中為3階單位矩陣. (I)驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量;(II)求矩陣. 2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、 填空題:16小題,每
24、小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上.(1)曲線 的水平漸近線方程為 (2)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),則 .(3)廣義積分 .(4)微分方程的通解是 (5)設(shè)函數(shù)由方程確定,則 (6)設(shè)矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則 .二、選擇題:714小題,每小題4分,共32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(7)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,為自變量在點處的增量,分別為在點處對應(yīng)的增量與微分,若,則 (A) . (B) .(C) . (D) . (8)設(shè)是奇函數(shù),除外處處連續(xù),是其第一類間斷點,則是(A)連續(xù)的奇函數(shù).(B)連續(xù)的偶函數(shù)(C)在間斷的奇函數(shù)(D
25、)在間斷的偶函數(shù). (9)設(shè)函數(shù)可微,則等于(A).(B)(C)(D) (10)函數(shù)滿足的一個微分方程是(A)(B)(C)(D) (11)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于(). (B).(C).(D) . (12)設(shè)均為可微函數(shù),且,已知是在約束條件下的一個極值點,下列選項正確的是 (A) 若,則. (B) 若,則. (C) 若,則. (D) 若,則. (13)設(shè)均為維列向量,為矩陣,下列選項正確的是 (B) 若線性相關(guān),則線性相關(guān). (C) 若線性相關(guān),則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān),則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān),則線性無關(guān). (14)設(shè)為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的倍加到第2
26、列得,記,則().().().().三 、解答題:1523小題,共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分) 試確定的值,使得,其中是當時比高階的無窮小.(16)(本題滿分10分)求 .(17)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域, 計算二重積分(18)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列滿足()證明存在,并求該極限;()計算.(19)(本題滿分10分) 證明:當時,. (20)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足等式.(I)驗證;(II)若,求函數(shù)的表達式. (21)(本題滿分12分)已知曲線L的方程(I)討論L的凹凸性;(II)過點引L的切線,求切點,并寫出切線的方程;
27、(III)求此切線與L(對應(yīng)于的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積.(22)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解.()證明方程組系數(shù)矩陣的秩;()求的值及方程組的通解.(23)(本題滿分9分)設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量;()求正交矩陣和對角矩陣,使得.2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題二、 填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上)(1)設(shè),則 = .(2)曲線的斜漸近線方程為 .(3) .(4)微分方程滿足的解為 .(5)當時,與是等價無窮小,則k= .(6)設(shè)均為3維列向
28、量,記矩陣 , 如果,那么 .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設(shè)函數(shù),則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個不可導(dǎo)點.(C) 恰有兩個不可導(dǎo)點. (D) 至少有三個不可導(dǎo)點. (8)設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),表示“M的充分必要條件是N”,則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). (B) F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). (9)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定,
29、則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是 (A) . (B) . (C) . (D) . (10)設(shè)區(qū)域,f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù),a,b為常數(shù),則(A) . (B) . (C) . (D) . (11)設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 具有一階導(dǎo)數(shù),則必有 (A) . (B) .(C) . (D) . (12)設(shè)函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點. (B) x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C) x=0是f(x)的第一類間斷點,x=1是f(x)的第二類間斷點.(D) x=0是f(x)的第二類間斷點,x=1是f(x)的第一類間斷點. (13)設(shè)是
30、矩陣A的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . (14)設(shè)A為n()階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣,則 (D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. 三 、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),且,求極限(16)(本題滿分11分)如圖,和分別是和的圖象,過點(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象. 過上任一點M(
31、x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為;與所圍圖形的面積為如果總有,求曲線的方程(17)(本題滿分11分)如圖,曲線C的方程為y=f(x),點(3,2)是它的一個拐點,直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線,其交點為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計算定積分(18)(本題滿分12分) 用變量代換化簡微分方程,并求其滿足的特解.(19)(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1. 證明:(I)存在 使得;(II)存在兩個不同的點,使得(20)(本題滿分10分)已知函數(shù)z=f(x,y) 的全
32、微分,并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.(21)(本題滿分9分)計算二重積分,其中.(22)(本題滿分9分)確定常數(shù)a,使向量組可由向量組線性表示,但向量組不能由向量組線性表示.(23)(本題滿分9分)已知3階矩陣A的第一行是不全為零,矩陣(k為常數(shù)),且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數(shù)學(xué)(二)真題一. 填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上. )(1)設(shè), 則的間斷點為 .(2)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為_.(3)_.(4)設(shè)函數(shù)由方程確定, 則_.(5)微分方程滿足的特解為_.(
33、6)設(shè)矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則_-.二. 選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). )(7)把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是(A) (B)(C) (D) (8)設(shè), 則(A)是的極值點, 但不是曲線的拐點.(B)不是的極值點, 但是曲線的拐點.(C)是的極值點, 且是曲線的拐點.(D)不是的極值點, 也不是曲線的拐點. (9)等于(A). (B).(C). (D) (10)設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得(A)在內(nèi)單
34、調(diào)增加.(B)在內(nèi)單調(diào)減小.(C)對任意的有.(D)對任意的有. (11)微分方程的特解形式可設(shè)為(A).(B).(C).(D) (12)設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于(A).(B).(C).(D) (13)設(shè)是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為(A). (B). (C). (D). (14)設(shè),為滿足的任意兩個非零矩陣, 則必有(A)的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).(B)的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).(C)的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).(D)的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān). 三. 解答題(本題共9小題,滿分
35、94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. )(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)在()上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式; ()問為何值時, 在處可導(dǎo).(17)(本題滿分11分)設(shè),()證明是以為周期的周期函數(shù);()求的值域.(18)(本題滿分12分)曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體, 其體積為, 側(cè)面積為, 在處的底面積為.()求的值; ()計算極限.(19)(本題滿分12分)設(shè), 證明.(20)(本題滿分11分)某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張
36、開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機,著陸時的水平速度為.經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少? 注 表示千克,表示千米/小時.(21)(本題滿分10分)設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.(22)(本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.(23)(本題滿分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.2003年考研數(shù)學(xué)(二)真題三、 填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上)(1) 若時, 與是等價
37、無窮小,則a= .(2) 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定,則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 .(3) 的麥克勞林公式中項的系數(shù)是_.(4) 設(shè)曲線的極坐標方程為 ,則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為_.(5) 設(shè)為3維列向量,是的轉(zhuǎn)置. 若,則= .(6) 設(shè)三階方陣A,B滿足,其中E為三階單位矩陣,若,則_.二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)均為非負數(shù)列,且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在
38、. (2)設(shè), 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . (3)已知是微分方程的解,則的表達式為 (A) (B) (C) (D) (4)設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點.(D) 三個極小值點和一個極大值點. y O x(5)設(shè), 則 (A) (B) (C) (D) (6)設(shè)向量組I:可由向量組II:線性表示,則 (A) 當時,向量組II必線性相關(guān). (B) 當時,向量組II必線性相關(guān). (C) 當時,向量組I必線性相關(guān). (D) 當時,向量
39、組I必線性相關(guān). 三 、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) 問a為何值時,f(x)在x=0處連續(xù);a為何值時,x=0是f(x)的可去間斷點?四 、(本題滿分9分) 設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定,求五 、(本題滿分9分)計算不定積分 六 、(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、(本題滿分12分)討論曲線與的交點個數(shù).八 、(本題滿分12分) 設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點,其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q,且線段P
40、Q被x軸平分.(2) 求曲線 y=f(x)的方程;(3) 已知曲線y=sinx在上的弧長為,試用表示曲線y=f(x)的弧長s.九 、(本題滿分10分)有一平底容器,其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(如圖),容器的底面圓的半徑為2 m.根據(jù)設(shè)計要求,當以的速率向容器內(nèi)注入液體時,液面的面積將以的速率均勻擴大(假設(shè)注入液體前,容器內(nèi)無液體).(2) 根據(jù)t時刻液面的面積,寫出t與之間的關(guān)系式;(3) 求曲線的方程.(注:m表示長度單位米,min表示時間單位分.)十 、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 若極限存在,證明:(1) 在(a,b)內(nèi)
41、f(x)0; (2)在(a,b)內(nèi)存在點,使;(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點,使十 一、(本題滿分10分)若矩陣相似于對角陣,試確定常數(shù)a的值;并求可逆矩陣P使十二 、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為 , , .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)B(2)B(3)D(4)C(5)D(6)A(7)B(8)A二、填空題:9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙
42、指定位置上.(9) (10) (11) (12) (13) (14)-2,2三、解答題:1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)【答案】(16) 【答案】因為 ,得到,。所以時,取極大值。時,取極小值。由可知,因為,所以,。所以時,取極大值。時,取極小值。(17) 【答案】(18) 【答案】令,則,故由得(19) 【答案】證明:1)因為,所以有定積分比較定理可知,即。2)令由1)可知,所以。由是單調(diào)遞增,可知由因為,所以,單調(diào)遞增,所以,得證。(20) 【答案】因為所以所以(21)【答案】(22)【答案】 (23)【答案】利用相似對角化的充要條件證明。2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題 18小題每小題4分,共32分【詳解】顯然當時,故應(yīng)該選(C)2【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則信函數(shù)在一點導(dǎo)數(shù)的定義【詳解】將代入方程得,在方程兩邊求導(dǎo),得,代入,知,故應(yīng)該選(A)【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點,則應(yīng)該是連續(xù)點,但不可導(dǎo)應(yīng)選()【詳解】,其中當且僅當時才收斂;而第二個反常積分,當且僅當才收
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