全等三角形證明條件歸類

1、 全等三角形證明條件歸類 初學(xué)三角形全等證明，根據(jù)已知條件找到證明全等的三個條件是難點。如何才能找到證明全等證明的三個條件呢？從三角形全等證明的四種證明方法（邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊）來看：已知兩邊對應(yīng)相等，第三個條件可以找已知兩邊的夾角對應(yīng)相等，或找第三邊對應(yīng)相等；如果告訴了兩個角對應(yīng)相等，第三個條件找兩個角的夾邊對應(yīng)相等，或是已知的兩個角中的某個角的對應(yīng)邊相等；已知一邊和一角對應(yīng)相等，第三個條件可能是對應(yīng)相等角的另一邊對應(yīng)相等，或是另一角對應(yīng)相等。分析以上這些情況，找第三個條件分兩種情況：一是再找一組對應(yīng)邊相等，二是再找一組對應(yīng)角相等。對應(yīng)邊相等的情形從題目給定的條件來看分以下幾種情

2、況：一是公共邊是第三個條件例1：如圖，在中，AC=BD，AD=BC，求證：ADCB證明：ABD和BAC中： BD=AC BC=AD AB=BA(公共邊)BACEFD第2圖 （SSS）二是相等對應(yīng)邊+公共邊的和對應(yīng)相等是第三個條件例1：如圖2，已知AC=DF, A=D,AE=BD, 求證：ABCDEF證明：AE=BD AE+EB=BD+EB（即AB=DE） 在ABC和DEF中AC=DF A=D AB=DEABCDEF（SAS）例2如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。CE=FB CE+EF=EF+FB（即CF=BE） AB=DC AE=DF CF=BEABECDF（SSS）

3、AF=DE三是相等對應(yīng)邊-公共邊的差對應(yīng)相等是第三個條件 例1：如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC。證明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 第5圖ABCDE四是等邊三角形的三邊相等（等腰三角形兩腰相等）是第三個條件例1：如圖5，ABC和CDE都是等邊三角形，求證：ACDBCE。證明：ABC和CDE都是等邊三角形AC=BC CD=CE ACB=DCE=60°ACB+ACE=DCE+ACE（即BCE=ACD）在ACD和BCE中， AC=BC BCE=ACD CD=CE，

4、 ACDBCE（SAS）五是添加輔助線與對應(yīng)的線段相等是第三個條件例1已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2C證明：延長AB取點E，使AEAC，連接DEAD平分BAC EADCADAEAC ADADAEDACD （SAS） ECACAB+BD AEAB+BDAEAB+BE BDBE BDEEABCE+BDE ABC2E ABC2C六是二次證全等找到對應(yīng)的線段相等是第三個條件例1已知：如圖，A=D=90°，AE=DE求證：ABCDCB證明：A=D AE=DE AEB=DEC（對頂角）AEDACD （ASA） EC=EB EC+AE=EB+DE（即AC=DB） 在RtABC

5、和RtDCB中 A=D=90° AC=DB BC=BC（公共邊） ABCDCB (HL)七是中點等分線段對應(yīng)相等是第三個條件例1，如圖，DCAB，且DC=AE，E為AB的中點，求證：AEDEBC證明：DCAB CDEAEDDEDE，DCAE AEDEDCE為AB中點 AEBE BEDCDCAB DCEBECCECE EBCEDC AEDEBC八是其他情形對應(yīng)角相等的情形從題目給定的條件來看分以下幾種情況：一是公共角相等是第三個條件例1 如圖，CABF于A，BECF于E，若AC=BE求證：AFCEFB證明：CABF BECF CAF=BEF=90° 在 AFC和EFB中 CA

6、F=BEF F= F（公共角） AC=BE AFCEFB（AAS）二是對頂角相等是第三個條件例1如圖：AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，CFM=E BE=CF。求證：BEMCFM證明：CFM=E CMF=BME（對頂角） BE=CF BEMCFM（AAS）三是平行線截得的同位角或內(nèi)錯角相等是第三個條件BACDF21E例1. 已知：1=2，EF/AB，B=ACD CD=DE求證：EFDDAC 證明EF/AB1=EFD B=FED1=2 B=ACDEFD=2 FED=ACD在EFD和DAC中EFD=2 FED=ACD CD=DE EFDDAC四是同角（或等角）的余角（或補角）相等是第三個條件例1已

7、知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明：在AE上取F，使EFEB，連接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE CEBCEF BCFE BD180°，CFECFA180° DCFA AC平分BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE例2在ABC中，直線經(jīng)過點，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ； (2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90°

8、，CAD+ACD=90°，BCE+CBE=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCE AC=BC， ADCCEB（2）略五是垂直相交的角是90°是第三個條件例1：如圖，DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M求證：MB=MD，ME=MF （1）DEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF在RtDEM和RtBFM中DME=BMF DEC=BFA DE=BFRtCBFM（AAS） MB=MD，ME=MF （2）略 六是

9、角平分線分得的角對應(yīng)相等是第三個條件例1如圖，在ABC中，AD平分BAC，1=2，求證：ABDACD證明：AD平分BAC BAD=CAD， 1=2 AD=AD BAD=CAD ABDACD（ASA）AEBMCF七是相等對應(yīng)角+公共角的和對應(yīng)相等是第三個條件例1如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：ABFAEC； 證明：AEAB，AFAC， BAE=CAF=90°BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），八是相等對應(yīng)角+相等對應(yīng)角和對應(yīng)相等是第三個條件例1如圖，已知1=2

10、，3=4，求證：ABCDCB證明：1=2，3=4 1+3=2+4（即ABC=DCB）在AOB和DOC中ABC=DCB BC=BC 4=3ABCDCB九是等邊三角形的三個角都等于60度（等腰三角形兩底角相等）是第三個條件例1：如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：CFDBED證明：作CGAB,交AD于H, 則ACH=45º,BCH=45ºCAH=90º-CDA, BCE=90º-CDA CAH=BCE又AC=CB, ACH=B=45º ACHCBE, C

11、H=BE又DCH=B=45º CD=DBCFDBED十是添加輔助線與對應(yīng)的角相等是第三個條件十一是二次證全等找到對應(yīng)的角相等是第三個條件例1AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=AC BD=DC AD=ADABDACD（SSS） ADB=ADC BDF=FDC在BDF與FDC中BD=DC BDF=FDC DF=DFFBDFCD十二計算角的度數(shù)找到對應(yīng)的角相等是第三個條件例1如圖，已知在ABC內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：延長AB至D，使BDBP，連DP在等腰BPD中，可得BDP40°從而BDP40°ACPADPACP（ASA） 故ADAC又QBC40°QCB 故 BQQCBDBP 從而BQ+AQ=AB+BP例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。求證CDEADF證明：連接D，D為等腰斜邊AB的中點，故有CDAB，CDDACD平分BCA90°，ECDDCA45°由于DMDN，有EDN90°由于 CDAB，有CDA90&