125直線與圓錐曲線的位置關系

1、125直線與圓錐曲線的位置關系【知識網絡】1直線與圓錐曲線之間的位置關系及其判定方法2一元二次方程根的判別式及韋達定理的應用3中點問題，弦長問題的求解4進一步應用數形結合思想【典型例題】例1（1）過點（2，4）作直線與拋物線有且只有一個公共點，這樣的直線有（ ）一條兩條三條四條（2）直線與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是（ ）（，）（，）（3）以圓錐曲線過焦點的弦為直徑的圓與對應的準線無交點，則此圓錐曲線是( )A不能確定 B橢圓 C雙曲線 D拋物線（4）斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，若弦長，則 （5）雙曲線的左焦點為，點為左支下半支上的動點（異于頂點），則直線的斜率的范圍是 例2 在橢圓內

2、，求通過點（，）且被這點平分的弦所在直線的方程例3 中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為，與直線x+y1=0相交于兩點、，且求橢圓的方程例4 如圖，在ABC中，C=90°，BC=2AC，A、B、C都是橢圓上的點，其中A是橢圓的左頂點，直線BC經過橢圓中心（即原點O）（1）求證：無論AC的長取何正實數，橢圓的離心率恒為定值，并求出該 定值；（2）若PQ是橢圓的一條弦，PQAB，求證PCQ的平分線垂直于AO 【課內練習】1平面內有一線段，其長為，動點滿足，為的中點，則的最小值為（ ）2已知方程，它們所表示的曲線可能是（ ）3設A為雙曲線右支上一點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點，連AF

3、交雙曲線于B，過B作直線BC垂直于雙曲線的右準線，垂足為C，則直線AC必過定點( )A（）B（）C（4，0）D（）4若直線與橢圓有且只有一公共點，那么 （ ）5過原點的直線l，如果它與雙曲線相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 6直線y=x3與拋物線y2=4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積是 7若曲線y2=|x|1與直線y=kxb沒有公共點，則k,b應滿足的條件是 8已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設.

4、（1）證明：1e2； （2）若，PF1F2的周長為6；寫出橢圓C的方程9已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。10拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.（1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；（2）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；（3）當=1時，若點P的坐標為（1，-1），求PAB為鈍角時點A的縱坐標

5、的取值范圍.125直線與圓錐曲線的位置關系A組1過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（ ）A有且僅有一條 B有且僅有兩條 C有無窮多條 D不存在2過點（1，0）且與雙曲線x2y2=1只有一個公共點的直線有 （ ） A1 條 B2條 C3 條 D4條3直線l是雙曲線=1(a>0，b>0)的右準線，以原點為圓心且過雙曲線的焦點的圓，被直線l分成弧長為21的兩段圓弧，則該雙曲線的離心率是（ ）A.B.C.D.4過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，若，則 5雙曲線2x23y2=6的一條不過原點的弦AB恰被直線y=2x平分，則AB所

6、在直線的斜率是 6設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點確定的取值范圍，并求直線AB的方程 7討論直線與雙曲線的公共點的個數8已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。（1）求橢圓的離心率；（2）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。B組1拋物線的焦點F作直線交拋物線于兩點，若，則的值為 （ ）A5 B6 C8 D102點P(-3,1)在橢圓的左準線上.過點P且方向為a=(2,5)的光線,經直線=2反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為( ) A B C D 3已知雙曲線中

7、心在原點且一個焦點為M、N兩點，MN中點的橫坐標為則此雙曲線的方程是 （ ）A B C D4設直線關于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數為（ ）A1 B2 C3 D45直線y=x3與的交點個數是 6橢圓與過點A（2，0），B（0，1）的直線有且只有一個公共點，且橢圓的離心率e=，求橢圓的方程 7、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值8如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明

8、PFA=PFB.125直線與圓錐曲線的位置關系【典型例題】例1 （1）B提示：注意直線與拋物線的對稱軸平行的情況（2）A提示：直線恒過點（0，1），只要該點在橢圓內（3）B提示：聯(lián)想到定點的距離與到定直線的距離之比是常數的點的軌跡是某一中圓錐曲線，常數的大小決定曲線的類別（4）4提示：用弦長公式（5）（，0）（1，）提示：數形結合例2、解法一 設所求直線的方程為，由消去y得由已知得解得因此，所要求的直線方程為即x+4y-5=0解法二：設，顯然，因為AB都在橢圓上，所以有得將，代入得即直線的斜率為因此，所要求的直線方程為即x+4y-5=0例3、設中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓方程為離心率e=

9、 a=2b橢圓的方程可化為設，由于點、都在直線x+y1=0上，因此，即即將直線x+y1=0與橢圓的方程聯(lián)立消取y，得、是直線與橢圓的兩交點，代入得解得，所要求的橢圓方程為例4、（1）設橢圓方程為，則點A的坐標為（a，0)，在ABC中，C=90°，BC=2AC 直線BC經過橢圓中心（即原點O）AC=OC AOC為等腰直角三角形，C（ ， ），點B坐標為（，）將C點坐標代入橢圓方程得b2= a2,c2= a2,離心率e=是定值 （2）由（1）得直線AB的斜率為，設直線PQ的方程為y= xm 將直線PQ的方程代入橢圓方程化簡得x22xm3m2a2=0 由題知PQ存在，0且xPxQ = =

10、m xP·xQ= (3m2a2) (xPm)(xQ)(xQm)(xP)= xPxQ( xPxQ)(m)( xPxQ)a(m)=(m) a(m) =0kPC與kQC互為相反數。PCQ的平分線垂直于AO 【課內練習】1A提示：點P的軌跡是雙曲線，取最小值時點P恰好是雙曲線的頂點2B提示：注意a,b的取值符號3A提示：可以用特殊值方法，考慮AB與x軸垂直的情況4A提示：直線過定點（0，1），a=1符合題意，數形結合從變化趨勢的角度看k±5（，）（，）提示：數形結合648提示：直接求交點坐標，求直角梯形的面積7k=0,1b1提示：數形結合8（1）證法一：因為A、B分別是直線l：與x

11、軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是. 所以點M的坐標是（）. 由即 證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是所以 因為點M在橢圓上，所以 即 解得 （2）當時，所以 由MF1F2的周長為6，得 所以 橢圓方程為9（1）設雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（2）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即 設，則而于是 由、得 故k的取值范圍為10（1）由拋物線的方程（）得，焦點坐標為，準線方程為（2）證明：設直線的方程為，直線的方程為點和點的坐標是方程組的解將式代入式得，于是，故又點和點的坐標是方程組的解將式代入式得于是，故由已知得，則設點的坐

12、標為，由，則將式和式代入上式得，即線段的中點在軸上（3）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點、的坐標為，于是，因為鈍角且、三點互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點的縱坐標滿足，故當時，；當時，即125直線與圓錐曲線的位置關系A組1B提示：用韋達定理2C提示：數形結合3D提示：數形結合將幾何圖形的性質轉化成a，c之間的關系4提示：用韋達定理5提示：設直線方程，用韋達定理6解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得 設的兩個不同的根， 是線段AB的中點，得解得k=-1，代入得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB

13、的方程為解法2：設依題意，7聯(lián)列直線與雙曲線方程，消去y得，當時， 當時，由得；由得；由得所以當時，直線l與雙曲線相交于兩點；當時，直線l與雙曲線相切于一點；當時，直線l與雙曲線相交于一點；當時，直線l與雙曲線沒有公共點，直線l與雙曲線相離8（1）設橢圓方程為則直線AB的方程為，代入，化簡得.令A（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（2）證明：（1）知，所以橢圓可化為設，由已知得 在橢圓上，即由（1）知又，代入得故為定值，定值為1B組1C提示：聯(lián)想定義2A提示：將點在準線上及有關對稱關系轉化成關于a,c之間的聯(lián)系3D提示：依據焦點位置設曲線方程，再用韋達定理確定系數4B提示：數形結

14、合考慮將直線平移適當的單位（三角形的高），看其與橢圓有沒有公共點53提示：分類討論并畫圖6提示：依據離心率設橢圓方程，與直線方程聯(lián)列，令=07如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為K，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則 QPNMFO從而亦即(1)當0時，MN的斜率為，同上可推得令=得=2當=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為8解：（1）設切點A、B坐標分別為，切線AP的方程為