基于樣條函數(shù)的空間梁系結構變形圖的插值算法

1、基于樣條函數(shù)的空間梁系結構變形圖的插值算法陳曉霞1 邢靜忠21 甘肅工業(yè)大學機電學院, 蘭州 730050,2 甘肅工業(yè)大學理學院, 蘭州 730050摘 要 空間梁系結構在空間荷載作用下,結構發(fā)生空間變形,各個桿件由原來的直線狀態(tài)變?yōu)榭臻g曲線。如何準確形象地表達空間桿件的變形,是桿系有限元后處理的重要研究內(nèi)容。本文基于三次樣條函數(shù)插值方法,根據(jù)空間桿件變形時發(fā)生在桿件兩端的角位移和線位移,通過理論推導得到桿件在受力變形后的空間變形曲線方程,為空間桿件的變形描述奠定了理論基礎。利用該公式繪制的空間桿件的變形圖,不僅反映節(jié)點線位移,同時還反映節(jié)點的角位移。在塔式起重機有限元分析系統(tǒng)的應用表明本文

2、算法計算量小,編程簡單,描繪的變形曲線更加符合實際情況。關鍵詞 三次樣條; 插值; 空間桿件; 變形曲線中圖分類號 TB115The Interpolation Arithmetic of Displacement of Space Frames withCubic Spline FunctionChen Xiaoxia 1 Xing Jingzhong 2(1 College of Mechanical and Electronic Engineering of Lanzhou University of Sciences and Technology , Lanzhou 7300502 S

3、chool of Sciences of Lanzhou University of Sciences and Technology, Lanzhou 730050Abstract Spacial frames deform in space under spatial load, axial straight line of every pole becomes spacial curve. How to exactly describe the true deformation is an important research of finite element post-process.

4、 Based on an interpolation method of cubic spline function, spacial curve equation of deformed spacial pole is deduced according to displacement and rotational angle of node, and deformed shape of space bars are generated from the formula. The graphics of deformed poles shows both node movement and

5、node rotation. The application in finite element analysis system of tower crane indicates the arithmetic needs less calculation and is easy to be programmed, the deformation curve of the deformed structure is more fitted to true situation.Key words cubic spline; interpolation; space pole; deform cur

6、ve三次樣條插值曲線的在不同方向的理論分析和研究,為三次樣條插值曲線的工程應用奠定了理論基礎1-3。這些工程應用研究大多集中在討論三次樣條函數(shù)在平面情況下的應用4-6。但是實際工程中存在大量空間梁系結構的變形情況,如何利用三次樣條擬合技術來擬合空間變形曲情況,是一個既有理論意義,也有應用價值的研究。繪制空間桿件系統(tǒng)的變形圖,不僅應反映節(jié)點線位移,同時還應反映節(jié)點的角位移。從而使空間桿系的變形圖更加符合實際變形情況,更有利于工程人員準確判斷結構的變形和受力狀況?？臻g桿件在軸力,剪力,扭矩和彎矩共同作用下,每個節(jié)點在變形過程中,產(chǎn)生三個線位移和三個角位移,使桿件軸線由原來的直線狀態(tài)變?yōu)榭臻g曲線狀態(tài)

7、。當桿件上作用的力可以簡化為節(jié)點上的力和力偶來處理時,桿件的變形曲線正好是三次函數(shù)曲線。因而對于只受節(jié)點荷載作用,或者桿件中部所受的力生成的變形與整體受力所產(chǎn)生的變形相比較小時,空間桿系的變形都可以用三次樣條函數(shù)來擬合。1 空間曲線三次樣條插值算法空間桿件00B A ,節(jié)點,(1010100z y x A 和,(2020200z y x B 在受力變形以后分別產(chǎn)生了線位移A A A w v u ,和B B B w v u ,角位移Az Ay Ax ,和Bz By Bx ,此時桿件由原來的直線00B A 變?yōu)榭臻g曲線11B A 。曲線1 陳曉霞,(1969-,女,甘肅靖遠人,碩士,甘肅工業(yè)大學副

8、教授。經(jīng)過空間點,(1111111z y x A 和,(2121211z y x B 。(1 空間桿件變形前的數(shù)學描述:設桿件00B A 變形前的方向矢量為1n ,則k j i n cos cos cos 1+=其中:l z z l y y l x x 102010201020cos cos cos -=-=-= (1210202102021020(z z y y x x l -+-+-=空間桿件受力變形前為空間直線00B A ,其直線方程的數(shù)學表達為cos cos cos 000z z y y x x -=-=- (2 (2 坐標變換桿件受力變形后,兩端節(jié)點在空間產(chǎn)生了沿三個坐標軸方向的線位

9、移,所以桿件的兩個端部節(jié)點00,B A 平移變換為11,B A ,變換前后的坐標關系為A A A w z z v y y u x x +=+=+=101110111011 (3B B B w z z v y y u x x +=+=+=202120212021 (4同時,桿件兩端節(jié)點還產(chǎn)生了繞三個坐標軸的角位移Az Ay Ax ,和Bz By Bx ,使得桿件的方向矢量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。設桿件變形曲線上1A 點處的切線方向矢量為k n j n i n n z y x 2222+=,1B 點處的切線方向矢量為k n j n i n n z y x 3333+=。則變形后和變形前兩端端點處的方向余弦的關系

10、為 - - -= z y x Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax z y x n n n n n n 1112221000cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001 (5 - - -= z y x BxBx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx z y x n n n n n n 1113331000cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001 (6(3 確定桿件變形后的空間曲線參數(shù)方程設

11、空間曲線11B A 的參數(shù)方程是(,(,(t z t y t x ,1,0t 。曲線11B A 可以用三次多項式擬合,令其數(shù)學表達式為332333322222312111(,(,(t d t c t b a t z t d t c t b a t y t d t c t b a t x +=+=+= (7 其中的12個待定系數(shù)3.1(,=i d c b a i i i i 由下面的12個條件來確定:z y x z y x n l z n l y n l x n l z n l y n l x z z y y x x z z y y x x 3332222121211111111(',1

12、(',1(',0(',0(',0('1(,1(,1(,0(,0(,0(= (8 將(8式的12個條件依次代入方程(7,得到z y x zy x n l d c b n l d c b n l d c b z d c b a y d c b a x d c b a n l b n l b n l b z a y a x a 33333222311121333321222221111123222111311211132,32,32,=+=+=+=+=+=+=(9求解該方程,得到待定系數(shù)的值分別是:zz z z z y y y y y xx x x x n l

13、 z n l z d n l z z n l c n l b z a n l y n l y d n l y y n l c n l b y a n l x n l x d n l x x n l c n l b x a 32121133211123231133212112321112222112321211132111212111122,332,22,332,22,332,+-+=-+-=+-+=-+-=+-+=-+-=這樣就得到了空間變形曲線的參數(shù)方程中的所有待定系數(shù)。2 變形前后空間變形曲線的繪制利用上面推導的公式,在AutoCAD環(huán)境下,利用ActiveX7編程技術繪制空間變形曲線。為

14、便于比較觀察,繪制桿件變形前的空間位置,并用其他顏色的線型繪制變形后的曲線。由于曲線的參數(shù)方程已經(jīng)得到,將曲線按參數(shù)t劃分成許多段直線來近似地表示變形曲線。一般結構的變形量都很小,為了能顯示出這些微小的變形情況,需要將它們乘以一個放大系數(shù)。線位移的放大系數(shù)一般應能明顯顯示結構的節(jié)點的線位移情況為宜,而角位移放大系數(shù)應該使角變形量與線位移協(xié)調(diào),這兩個放大系數(shù)可以是不一致的。為驗證本文算法的正確性,利用簡單剛架(圖2,具有8個節(jié)點和8個單元,下面的四個節(jié)點固定,在頂部的對角節(jié)點上作用20kN和10kN的水平集中力。通用有限元軟件Ansys和本文的塔機有限元分析系統(tǒng)給出了相同的數(shù)值計算結果,表明本文

15、算法的正確性。圖2顯示的變形圖中沒有考慮角位移的,在考慮了角變形的情況下,繪制的變形圖如圖3所示,能更真實的反映了結構的實際變形特征。3 應用情況將上述算法應用于塔式起重機數(shù)據(jù)結構變形圖繪制,塔式起重機的輸入數(shù)據(jù)主要是節(jié)點數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)。節(jié)點數(shù)據(jù)主要反映所有節(jié)點在空間的坐標位置,單元數(shù)據(jù)則主要反映單元與節(jié)點之間的關系和單元的截面屬性和其它一些力學性質(zhì)。每一個節(jié)點數(shù)據(jù)包括一個節(jié)點編號和三個空間坐標值,每一個空間桿件單元數(shù)據(jù)包括一個單元編號和桿件兩端的兩個節(jié)點編號。模型顯示程序主要讀取各個節(jié)點數(shù)據(jù)和各個單元數(shù)據(jù),依次將空間的各個桿件單元放置在空間的位置上。根據(jù)需要可以在節(jié)點位置附近標注節(jié)點編號,在

16、桿件單元的中部標注單元編號。以變形前的結構為基礎,根據(jù)計算結果中的各個節(jié)點的線位移和角位移,在原來的節(jié)點坐標上疊加線位移就可以得到變形后的節(jié)點位置坐標,疊加角位移得到變形后變形曲線的切線方向。根據(jù)前面推導的空間三次樣條函數(shù)計算結果計算出變形曲線的參數(shù)方程,用多個直線段就可以擬合出空間變形曲線。步驟如下:1提取模型數(shù)據(jù),確定各個節(jié)點位置和桿件連接信息;圖4: 受起吊影響下的塔機變形圖 圖2 :在ANSYS中的變形圖圖3 :本文算法實現(xiàn)的變形圖 2按照LINE命令格式畫出各個桿件的變形前的連線,得到變形前的結構示意圖;3標注節(jié)點編號和單元編號,繪制坐標系。4疊加線位移得到變形后節(jié)點位置,計算桿件變

17、形前桿件方向和三個坐標軸之間的夾角,疊加角位移,得到變形后變形曲線的切線和三個坐標軸的夾角。5利用推導的三次樣條插值函數(shù)計算公式,計算變形曲線的參數(shù)方程。將變形曲線劃分成許多段,計算各段端點的空間坐標,依次用直線連接各個端點,得到用許多直線段擬合出的變形曲線。圖4為QT225塔式起重機受到自重、吊重和配重作用下的變形圖。4 結論1.利用上述的思路,編制了空間梁系結構有限元分析系統(tǒng)的變形圖顯示程序,經(jīng)應用表明,本文方法不僅可以反映梁系結構的線位移,同時也可以反映角位移。2.利用三次樣條插值技術擬合出空間桿件變形曲線,可以準確反映桿件的角變形情況。3.利用的DXF數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換格式繪制空間桿系的變形圖,是一種編程實現(xiàn)簡單,運行速度快的技術方案。參考文獻1 Sarfraz M. Interpolatory rational cubic spline with biased point and interval tension. Computer & Graphics, 1994,18(2:1531592 劉愛奎,段奇,杜世田等.插值曲線區(qū)域控制的加權有利插值方法.計算機輔助設計與圖形學學報,2000(7,4975