實(shí)驗(yàn)二 重力加速度的測(cè)定

1、實(shí)驗(yàn)二 重力加速度的測(cè)定一、單擺法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1學(xué)習(xí)使用秒表、米尺。 2用單擺法測(cè)量重力加速度。教學(xué)要求1. 理解單擺法測(cè)量重力加速度的原理。2. 研究單擺振動(dòng)的周期與擺長(zhǎng)、擺角的關(guān)系。3. 學(xué)習(xí)在實(shí)驗(yàn)中減小不確定度的方法。實(shí)驗(yàn)器材單擺裝置（自由落體測(cè)定儀），秒表，鋼卷尺重力加速度是物理學(xué)中一個(gè)重要參量。地球上各個(gè)地區(qū)重力加速度的數(shù)值，隨該地區(qū)的地理緯度和相對(duì)海平面的高度而稍有差異。一般說，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北兩極，重力加速度的值越大，最大值與最小值之差約為1/300。研究重力加速度的分布情況，在地球物理學(xué)中具有重要意義。利用專門儀器，仔細(xì)測(cè)繪各地區(qū)重力加速度的分布情況，還可以

2、對(duì)地下資源進(jìn)行探測(cè)。伽利略在比薩大教堂內(nèi)觀察一個(gè)圣燈的緩慢擺動(dòng)，用他的脈搏跳動(dòng)作為計(jì)時(shí)器計(jì)算圣燈擺動(dòng)的時(shí)間，他發(fā)現(xiàn)連續(xù)擺動(dòng)的圣燈，其每次擺動(dòng)的時(shí)間間隔是相等的，與圣燈擺動(dòng)的幅度無關(guān)，并進(jìn)一步用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了觀察的結(jié)果，為單擺作為計(jì)時(shí)裝置奠定了基礎(chǔ)。這就是單擺的等時(shí)性原理。應(yīng)用單擺來測(cè)量重力加速度簡(jiǎn)單方便，因?yàn)閱螖[的振動(dòng)周期是決定于振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)，即決定于重力加速度g和擺長(zhǎng)L，只需要量出擺長(zhǎng)，并測(cè)定擺動(dòng)的周期，就可以算出g值。實(shí)驗(yàn)原理 單擺是由一根不能伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線和懸在此線下端體積很小的重球所構(gòu)成。在擺長(zhǎng)遠(yuǎn)大于球的直徑，擺球質(zhì)量遠(yuǎn)大于線的質(zhì)量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊（很小距離，

3、擺角小于5°），然后釋放，擺球即在平衡位置左右作周期性的往返擺動(dòng)，如圖2-1所示。f =P sinf T=P cosP = mgL圖2-1 單擺原理圖擺球所受的力f是重力和繩子張力的合力，f指向平衡位置。當(dāng)擺角很小時(shí)（<5°），圓弧可近似地看成直線，f也可近似地看作沿著這一直線。設(shè)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球位移為x，質(zhì)量為m，則 sin= f=psin=-mg =-mx （2-1）由f=ma，可知a=-x式中負(fù)號(hào)表示f與位移x方向相反。 單擺在擺角很小時(shí)的運(yùn)動(dòng)，可近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，比較諧振動(dòng)公式：a=-2x可得=于是得單擺運(yùn)動(dòng)周期為： T=2/=2 （2-2） T2=L （2-3）

4、或 g=42 （2-4）利用單擺實(shí)驗(yàn)測(cè)重力加速度時(shí)，一般采用某一個(gè)固定擺長(zhǎng)L，在多次精密地測(cè)量出單擺的周期T后，代入（2-4）式，即可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。 由式（2-3）可知，T2和L之間具有線性關(guān)系，為其斜率，如對(duì)于各種不同的擺長(zhǎng)測(cè)出各自對(duì)應(yīng)的周期，則可利用T2L圖線的斜率求出重力加速度g。 上述單擺測(cè)量g的方法依據(jù)的公式是(2-2)式,這個(gè)公式的成立是有條件的，否則將使測(cè)量產(chǎn)生如下系統(tǒng)誤差: 1. 單擺的擺動(dòng)周期與擺角的關(guān)系，可通過測(cè)量<5°時(shí)兩次不同擺角1、2的周期值進(jìn)行比較。在本實(shí)驗(yàn)的測(cè)量精度范圍內(nèi)，驗(yàn)證出單擺的T與無關(guān)。 實(shí)際上，單擺的周期T隨擺角增加而增加。根據(jù)

5、振動(dòng)理論，周期不僅與擺長(zhǎng)L有關(guān)，而且與擺動(dòng)的角振幅有關(guān)，其公式為：T=T01+()2sin2+()2sin2+ 式中T0為接近于0o時(shí)的周期，即T0=22懸線質(zhì)量m0應(yīng)遠(yuǎn)小于擺球的質(zhì)量m，擺球的半徑r應(yīng)遠(yuǎn)小于擺長(zhǎng)L，實(shí)際上任何一個(gè)單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時(shí)考慮上述因素的影響，其擺動(dòng)周期為： 3如果考慮空氣的浮力，則周期應(yīng)為：式中T0是同一單擺在真空中的擺動(dòng)周期，空氣是空氣的密度，擺球 是擺球的密度，由上式可知單擺周期并非與擺球材料無關(guān)，當(dāng)擺球密度很小時(shí)影響較大。4忽略了空氣的粘滯阻力及其他因素引起的摩擦力。實(shí)際上單擺擺動(dòng)時(shí)，由于存在這些摩擦阻力，使單擺不是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)而是作阻尼振動(dòng)，

6、使周期增大。上述四種因素帶來的誤差都是系統(tǒng)誤差，均來自理論公式所要求的條件在實(shí)驗(yàn)中未能很好地滿足，因此屬于理論方法誤差。此外，使用的儀器如停表、米尺也會(huì)帶來儀器誤差。操作步驟 1儀器調(diào)整： 本實(shí)驗(yàn)是在自由落體測(cè)定儀上進(jìn)行，故需要把自由落體測(cè)定儀的支柱調(diào)成鉛直。調(diào)整方法是：安裝好擺錘后，調(diào)節(jié)底座上的水平調(diào)節(jié)螺絲，使擺線與立柱平行。 2測(cè)量擺長(zhǎng)L 測(cè)量擺線支點(diǎn)與擺球質(zhì)心之間的距離L。由于擺球質(zhì)心位置難找，可用米尺測(cè)懸點(diǎn)到擺球最低點(diǎn)的距離L1，（測(cè)三次），用千分尺測(cè)球的直徑d，（測(cè)三次），則擺長(zhǎng)： L=L1-d/2 3測(cè)量擺動(dòng)周期T 使擺球擺動(dòng)幅度在允許范圍內(nèi)，測(cè)量擺球往返擺動(dòng)50次所需時(shí)間t50，

7、重復(fù)測(cè)量3次，求出T=。測(cè)量時(shí)，選擇擺球通過最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，最后計(jì)算時(shí)單位統(tǒng)一為秒。 4. 將所測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，并計(jì)算出擺長(zhǎng)、周期及重力加速度。次數(shù)L1（cm）擺 球直徑d(cm)擺長(zhǎng)L=L1-d/2(cm)50個(gè)周期t50(s)周期T(s)重力加速度g(cm/s2)123平均5實(shí)驗(yàn)不確定度 對(duì)g=42 根據(jù)不確定度的相對(duì)式有： 其中： = 注意事項(xiàng)： 1擺長(zhǎng)的測(cè)定中，擺長(zhǎng)約為1米，鋼卷尺與懸線盡量平行，盡量接近，眼睛與擺球最低點(diǎn)平行，視線與尺垂直，以避免誤差。 2測(cè)定周期T時(shí)，要從擺球擺至最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，并從最低點(diǎn)停止計(jì)時(shí)。這樣可以把反應(yīng)延遲時(shí)間前后抵消，并減少人為的判斷位置產(chǎn)生的誤差

8、。 3鋼卷尺使用時(shí)要小心收放 4秒表輕拿輕放，切勿摔碰。 5實(shí)驗(yàn)完畢，松開秒表發(fā)條。問題討論 1從誤差分析角度說明為什么不直接測(cè)量單擺往返一次的時(shí)間。 2擺球從平衡位置移開幾分之一擺長(zhǎng)時(shí)，5度。 3單擺擺動(dòng)時(shí)受到空氣阻力作用，擺幅越來越小，它的周期有什么變化？如用木球代替鐵球有何不同。 二、光電控制計(jì)時(shí)法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用自由落體法測(cè)定重力加速度教學(xué)目的 1學(xué)習(xí)使用數(shù)字毫秒計(jì)和米尺 2理解掌握勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律實(shí)驗(yàn)器材 自由落體測(cè)定儀，鋼卷尺，數(shù)字毫秒計(jì) 實(shí)驗(yàn)原理在重力作用下，物體的下落運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)可以表示為： s=v0t+gt2/2式中s是在時(shí)間t秒內(nèi)物體下落的距離，g是重力加速

9、度。如果物體下落的初速度為零，即v0=0，則 s= gt2/2 （2-5） 可見，如果能測(cè)得物體在最初t秒內(nèi)通過的距離s，就可以算出重力加速度值g。 實(shí)際中由于v0=0這一條件不易達(dá)到，往往造成小球通過第一光電門時(shí)有一初速度v0，測(cè)得的時(shí)間值比小球?qū)嶋H下落時(shí)間短，使測(cè)得結(jié)果g值偏大。同時(shí)，測(cè)量s也有一定困難，所以我們可以采取測(cè)量?jī)纱蜗侣涞母叨炔顏硐`差。若S1=gt12 ，S2=gt22，兩式相減整理有，即 （2-6） 上述測(cè)定重力加速度值的實(shí)驗(yàn)，還可以用稍微不同的方式進(jìn)行。如圖2-2所示，讓物體從O點(diǎn)開始自由下落，設(shè)它到達(dá)點(diǎn)A的速度為v1。從點(diǎn)A開始，經(jīng)過時(shí)間t1后，物體到達(dá)B點(diǎn)。令A(yù)、B

10、間的距離為s1，則 s1=v1t1+gt12 （2-7）OOABs1ABs2圖2-2 自由落體示意圖 若保持前面所述的條件不變，則從點(diǎn)A起，經(jīng)過時(shí)間T2后，物體到達(dá)點(diǎn)B。令A(yù)、B間的距離為s2 ,則 s2=v1t2+gt22 （2-8） 將式(2-8)×t1-(2-7)×t2 ，得 s2t1-s1t2=(t22t1-t12t2) 于是得到 （2-9）操作步驟：（一） 按式（2-6）測(cè)定重力加速度 1將重錘懸掛在鐵芯上，調(diào)節(jié)底座螺旋，使支柱處于鉛直狀態(tài)后，取下重錘。 2捏緊氣囊，使它吸住小球。將第一個(gè)光電門固定在小球恰好不擋光的地方，調(diào)整第二光電門與第一光電門的距離，然后測(cè)出這個(gè)距離。 3使小球自由下落，記下數(shù)字毫秒計(jì)上顯示時(shí)間t，共測(cè)次。 4改變第光電門的位置，重復(fù)上述步驟。 5按式（2-6）計(jì)算重力加速度的平均值。 6計(jì)算不確定度。 由 g= 其中： = (二)按式（2-9）測(cè)定重力加速度 1. 調(diào)節(jié)好落體測(cè)定儀。2將第一光電門固定在支柱上部某一位置，第光電門固定在支柱中間位置。測(cè)出這個(gè)距離S1。3小球自由下落，記錄時(shí)間 t,共測(cè)6次。4改變第光電門的位置，重復(fù)上述步驟。5按式（2-9）計(jì)算重力加速度。 6計(jì)算不確定度。