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1、第六章第六章 定積分運(yùn)用定積分運(yùn)用v定積分的元素法定積分的元素法v定積分在幾何學(xué)上的運(yùn)用定積分在幾何學(xué)上的運(yùn)用v定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用定積分的幾何定積分的幾何運(yùn)用運(yùn)用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長(zhǎng)xy第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用定積分物理運(yùn)用之一變力沿直線作功問(wèn)題從物理學(xué)知道,假設(shè)物體在作直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程F中受常力 作用從a移至b力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向一致,力對(duì)物體所作的功為問(wèn)題的提出:?jiǎn)栴}的提出:ab)(abFWF假設(shè)假設(shè) 為變力,力為變力,力對(duì)物體所作的功對(duì)物體所作的功W=?F解解:在上述挪動(dòng)過(guò)程中,電場(chǎng)例例1帶電量為帶電量為q0與與q1的
2、正電荷分別放在空間兩的正電荷分別放在空間兩點(diǎn),求當(dāng)點(diǎn),求當(dāng)q1沿沿a與與b連線從連線從a移到移到b時(shí)電場(chǎng)力所作的時(shí)電場(chǎng)力所作的功。功。 如圖建立坐標(biāo)系: aborq0 q1對(duì)q1作用力是變化的。(i)取r為積分變量,那么,bar(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間r,r+dr 的功元素drrqqkdrFdW210(iii)所求功drrqqkWba210)11(10baqkqbarqkq)1(10解解:等溫條件下,壓強(qiáng)p與體積V的乘積為常數(shù),即 pV=k 而 F=pS例例2在底面積為在底面積為S的圓柱描畫器中盛有一定量的氣體。在等的圓柱描畫器中盛有一定量的氣體。在等溫條件下,由于氣體膨脹,把容器中的
3、一個(gè)活塞面積為溫條件下,由于氣體膨脹,把容器中的一個(gè)活塞面積為S從點(diǎn)從點(diǎn)a推移至推移至b,計(jì)算在挪動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所作的功。,計(jì)算在挪動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所作的功。 如圖建立坐標(biāo)系,活塞位置可用坐標(biāo)x表示。 ab留意到氣體膨脹過(guò)程中留意到氣體膨脹過(guò)程中V=V(x)V=V(x)即即F=F(x),F=F(x),故采用元素法。故采用元素法。(i)取x為積分變量,那么,bax(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx 的功元素(iii)所求功dxxkWbaabklnbaxklnoxx x+dxpSdxSdxVkSdxxSkdxxkdxFdW解解:如圖選取x軸。 (i)取x為積分變量,那么5 , 0 x(
4、ii)相應(yīng)于0,5上任一小區(qū)間x,x+dx 的一薄層水的重力為 (iii)所求功dxxW502 .88)(3462 kJ50222 .88xxdx238 .9xdx2 .88xVdW例例3一圓柱形的儲(chǔ)水桶高一圓柱形的儲(chǔ)水桶高5米,底圓半徑米,底圓半徑3米,桶內(nèi)米,桶內(nèi)盛滿了水。問(wèn)把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功?盛滿了水。問(wèn)把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功?水的比重為水的比重為 3/8 . 9mkNdxV23這薄層水吸出桶外需作之功近似為x3m5moxx+dx解解:如圖建立坐標(biāo)系。 (i)取x為積分變量,那么,rrx(iii)所求功dxxrxrWrr)(22434r(ii)相應(yīng)于小區(qū)間x,x+dx ,
5、對(duì)應(yīng)薄片由A升至B在水中行程為 r+x,在水上的行程為2r-(r+x)=r-x 。 )()(2dxxyxrdW思索練習(xí)半徑為思索練習(xí)半徑為r的球沉入水中,球的上部與水面相的球沉入水中,球的上部與水面相切,球的比重與水一樣。欲將球從水中取出,需作多切,球的比重與水一樣。欲將球從水中取出,需作多少功?水的比重為少功?水的比重為 由于球的比重與水一樣,薄片所受浮力與重力合力為零,不作功 ,由水面再上升到B時(shí)需作功,即功元素 yxorAB2rdxxrxr)(22定積分物理運(yùn)用之二水 壓 力從物理學(xué)知道,在水深為h處的壓強(qiáng)為問(wèn)題的提出:?jiǎn)栴}的提出:ApP假設(shè)平板鉛直放置假設(shè)平板鉛直放置在水中,平板一側(cè)在
6、水中,平板一側(cè)所受的水壓力所受的水壓力P=?p=h為水的比重。xhA 因此,一面積為A的平板程度放置在水深為h處時(shí),其一側(cè)所受的水壓力為定積分元素法問(wèn)題的處理方法:?jiǎn)栴}的處理方法:dxxxfdP)(設(shè)平板鉛直位于液體中外形如圖。 間隔液面x、高為dx、寬為f(x) 的矩形平板所受壓力的近似值,即壓力元素為以液面為y軸,x軸鉛直向下。xyoaby=f(x)dxxxfPba)(所求壓力xx+dx為液體比重解解:依題意,如圖建立坐標(biāo)系。那么端面周界方程為: (i)取x為積分變量,那么, 0Rx(iii)所求壓力dxxRxPR0222323R(ii)相應(yīng)于0,R上任一小區(qū)間x,x+dx 的窄條上各點(diǎn)壓
7、強(qiáng) x dxxR222)0 (222RxRyxdxxRxdP222例例4一個(gè)橫放著的圓柱形水桶,桶內(nèi)盛有半桶水一個(gè)橫放著的圓柱形水桶,桶內(nèi)盛有半桶水如圖如圖1。設(shè)桶的底半徑為。設(shè)桶的底半徑為R,水的比重為,水的比重為,計(jì),計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力。算桶的一個(gè)端面上所受的壓力。xx+dxxyoR,窄條面積近似于 ,即壓力元素為解解:如圖建立坐標(biāo)系,那么腰OB的方程為: (i)取x為積分變量,那么6 , 0 x(iii)所求壓力dxxxP60) 3(34)(65. 1N(ii)相應(yīng)于0,6上任一小區(qū)間x,x+dx 的窄條上各點(diǎn)壓強(qiáng) ) 3( xdxx)32(2 xy32dxxxdP)3(34例
8、例5一個(gè)底為一個(gè)底為8cm,高為,高為6cm的等腰三角形片,鉛直的等腰三角形片,鉛直地沉沒(méi)在水中,頂在上,底在下且與水面平行,而頂?shù)爻翛](méi)在水中,頂在上,底在下且與水面平行,而頂離水面離水面3cm,試求它每面所受的壓力水的比重為,試求它每面所受的壓力水的比重為。 窄條面積 壓力元素xyoAB(6,4)xx+dx解解:如圖建立坐標(biāo)系。 (i)取x為積分變量,那么sin,bhhx(iii)所求壓力dxxPbhhasinsin)sin2(2bhah(ii)相應(yīng)于小區(qū)間x,x+dx ,對(duì)應(yīng)薄板的寬為 sindxsindxaxdP思索練習(xí)邊長(zhǎng)為思索練習(xí)邊長(zhǎng)為a和和b的矩形薄板,與液面成的矩形薄板,與液面成
9、角斜角斜沉于液體中,長(zhǎng)邊平行于液面而位于深沉于液體中,長(zhǎng)邊平行于液面而位于深h處,設(shè)處,設(shè)ab,液體的比重為液體的比重為,試求薄板每面所受的壓力。,試求薄板每面所受的壓力。 ,窄條面積為 壓力元素xyosindxa ahsinbhdx定積分物理運(yùn)用之三引 力 從物理學(xué)知道,質(zhì)量分別為m1、m2,相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為問(wèn)題的提出:?jiǎn)栴}的提出:221rmmGF 其中G為引力系數(shù),引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線。oxrm1 m2 如何計(jì)算一根如何計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力引力F=?解解:例例6設(shè)有一長(zhǎng)度為設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線密度為、線密度為的均勻細(xì)棒,的均勻細(xì)棒,在其中垂線上距棒
10、在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)M。試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)。試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力。的引力。 如圖建立坐標(biāo)系: (i)取y為積分變量,那么2,2lly(ii)相應(yīng)于sin,cos,22yadymGdFdFFdyx(iii)引力dyyaayamGFllx22222222412laalGmoxMy2l2l2,2ll上任一小區(qū)間y,y+dy 的引力元素的引力元素yy+dyradyyayyamGFlly2222220解解:練習(xí)設(shè)有一半徑為練習(xí)設(shè)有一半徑為R、中心角為、中心角為的圓弧形細(xì)棒,的圓弧形細(xì)棒,其線密度為常數(shù)其線密度為常數(shù)。在圓心處有一質(zhì)量為。在圓心處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)的
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