241函數(shù)的單調(diào)性 (2)

1、 3.63.6 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W（1）增函數(shù)和減函數(shù)）增函數(shù)和減函數(shù). 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值個(gè)自變量的值 x1，x2 ， 當(dāng)當(dāng) x1 f (x2)，那么就說那么就說 f (x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù). 定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?I : 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值自變量的值 x1，x2 ， 當(dāng)當(dāng) x1 x2 時(shí)，時(shí)， 都有都有 f (x1)

2、 f (x2) ，那么就說那么就說 f (x) 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧 （2）單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間）單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間. 定義定義：如果函數(shù)如果函數(shù) y = f (x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)減函數(shù)，那么就說函數(shù) y = f (x) 在這一區(qū)間具有在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）（嚴(yán)格的）單調(diào)性單調(diào)性，這一區(qū)間，叫做這一區(qū)間，叫做 y = f (x) 的的單單調(diào)區(qū)間調(diào)區(qū)間. （3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線是曲線 y = f

3、 (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x0， f (x0) ) 處的切線的斜率處的切線的斜率 . )()(000 xxxfyy 曲線曲線 y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x0， f (x0) ) 處的切線的方處的切線的方程為程為. )(0 xf 也就是說，曲線也就是說，曲線 y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x0， f (x0) ) 處的處的切線的斜率是切線的斜率是 函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性： 1. 問題的引入：問題的引入： 我們知道，如果函數(shù)我們知道，如果函數(shù) f (x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說減函數(shù)，那么就說 f (x) 在這一區(qū)間具有單調(diào)性在這一區(qū)間具有單調(diào)

4、性.那么那么怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？ 如果用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性如果用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性. 在假設(shè)在假設(shè) x1 x2 的的前提下，比較前提下，比較 f (x1)與與 f (x2) 的大小，在函數(shù)的大小，在函數(shù) y = f (x)比較復(fù)雜的情況下，比較比較復(fù)雜的情況下，比較 f (x1)與與 f (x2) 的大小并不很的大小并不很容易容易. 下面我們利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性下面我們利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性. 新新 課課 教教 學(xué)學(xué)2. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性： 以函數(shù)以函數(shù) y = f (x) = x2 - 4x + 3 為例為例 . 因

5、為曲線因?yàn)榍€ y = f (x) 的切線的的切線的斜率就是函數(shù)斜率就是函數(shù) y = f (x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 由函數(shù)的圖象可以看出，在由函數(shù)的圖象可以看出，在區(qū)間區(qū)間 ( 2，+ ) 內(nèi)，切線的斜率為內(nèi)，切線的斜率為正，即正，即 f (x) 為增函數(shù)；為增函數(shù)；,)(0 xf 在區(qū)間在區(qū)間 ( - - ，2 ) 內(nèi)，切線的內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，即斜率為負(fù)，即 f (x) 為為減函數(shù)減函數(shù).,)(0 xf y = x2-4x+3 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：.)(,)(.)(,)()(,)()(常常數(shù)數(shù)為為則則如如果果在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)恒恒有有在在這這個(gè)個(gè)

6、區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)為為減減函函數(shù)數(shù)則則函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)為為增增函函數(shù)數(shù)；如如果果在在這這個(gè)個(gè)在在這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)則則函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)果果在在這這在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，如如設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfyxfxfyxfxfyxfxfy000用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x).令令f(x)0解不等式，得解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間的范圍就是遞增區(qū)間.令令f(x)0解不等式，得解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間的范圍，就是遞減區(qū)間.例例 1 確定函數(shù)確定函數(shù) f (x) = x 2 2x + 4 在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)

7、是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) . y = x2 2x + 4函數(shù)圖象如圖函數(shù)圖象如圖.解：解：f(x)=(x2- -2x+4)=2x- -2.令令2x- -20，解得，解得x1.當(dāng)當(dāng)x(1，+)時(shí)，時(shí)，f(x)0， f(x)是增函數(shù)是增函數(shù).令令2x- -20，解得，解得x1.當(dāng)當(dāng)x(- -，1)時(shí)，時(shí)，f(x)0， f(x)是減函數(shù)是減函數(shù). 例例 題題 解解 析析例例 2 確定函數(shù)確定函數(shù) f (x) = 2x 3 6x 2 + 7 在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) . y = 2x3 - - 6x2 + 7函數(shù)圖象如圖

8、函數(shù)圖象如圖.解解：f(x)=(2x3- -6x2+7)=6x2- -12x令令6x2- -12x0，解得，解得x2或或x0當(dāng)當(dāng)x(- -，0)時(shí)，時(shí)，f(x)0， f(x)是增函數(shù)是增函數(shù).當(dāng)當(dāng)x(2，+)時(shí)，時(shí)，f(x)0， f(x)是增函數(shù)是增函數(shù).令令6x2- -12x0，解得，解得0 x2.當(dāng)當(dāng)x(0，2)時(shí)，時(shí)，f(x)0， f(x)是減函數(shù)是減函數(shù). 例例3、求函數(shù)求函數(shù)y=x2(1x)3的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解：解：y=x2(1- -x)3=2x(1- -x)3+x23(1- -x)2(- -1) =x(1- -x)22(1- -x)- -3x=x(1- -x)2(2- -5x

9、)52 令令x(1x)2(25x)0，解得，解得0 x52 y=x2(1x)3的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是(0， )52令令x(1x)2(25x)0，解得，解得x0或或x 且且x1.52（ x=1為拐點(diǎn)，為拐點(diǎn)，)y=x2(1x)3的單調(diào)減區(qū)間是的單調(diào)減區(qū)間是(- -，0)，( ，+)?1?2?5?f?x ?=?x?2?1-x?3?x?O?y注意注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)y=x39x2+24x (2)y=xx3 練練 習(xí)習(xí)（1）y=x39x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是(4，+)和和(- -，2)， 單調(diào)減區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是(2，4)3333 （2）y=xx3的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是(- - ， )3333 單調(diào)減區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是(- -，- - )和和( ，+)ab2解解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令令2ax+b0，解得，解得xab2 y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是( ，+)ab2令令2ax+b0，解得，解得x2.討論二次函數(shù)討論二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)減區(qū)間是的單調(diào)減區(qū)間是(，