初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)[1]

1、數(shù)學(xué)思維的教育第一講：因式分解(一)1第二講：因式分解(二)4第三講 實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用7第四講 分式的化簡(jiǎn)與求值10第五講 恒等式的證明13第六講 代數(shù)式的求值16第七講 根式及其運(yùn)算19第八講 非負(fù)數(shù)23第九講 一元二次方程27第十講 三角形的全等及其應(yīng)用31第十一講 勾股定理與應(yīng)用35第十二講 平行四邊形38第十三講 梯形41第十四講 中位線及其應(yīng)用45第十五講 相似三角形(一)47第十六講 相似三角形(二)50第十七講* 集合與簡(jiǎn)易邏輯54第十八講 歸納與發(fā)現(xiàn)59第十九講 特殊化與一般化63第二十講 類比與聯(lián)想67第二十一講 分類與討論70第二十二講 面積問(wèn)題與面積方法74第二十三講

2、 幾何不等式77第二十四講* 整數(shù)的整除性81第二十五講* 同余式84第二十六講 含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題87第二十七講 列方程解應(yīng)用問(wèn)題中的量91第二十八講 怎樣把實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題95第二十九講 生活中的數(shù)學(xué)(三) 鏡子中的世界98第三十講 生活中的數(shù)學(xué)(四)買魚的學(xué)問(wèn)99第一講：因式分解(一)1多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公

3、因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(

4、7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b

5、7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-

6、a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-

7、3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說(shuō)明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 這個(gè)多項(xiàng)

8、式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來(lái)分解解 因?yàn)閤16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以說(shuō)明 在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分

9、組分解法進(jìn)行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x

10、+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)說(shuō)明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-

11、1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x

12、-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)說(shuō)明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組

13、結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 將原式展開(kāi)，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了解 設(shè)x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說(shuō)明 本題也可

14、將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)? 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說(shuō)明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y

15、)的基礎(chǔ)例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 設(shè)x2+4x+8=y，則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃危瑩Q元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-3

16、6x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說(shuō)明 本解法實(shí)際上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體解法2 原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分

17、析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2 第二講：因式分解(二)51雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5

18、x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=

19、2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5

20、y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來(lái)分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說(shuō)明 (4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似2求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12若

21、f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析

22、 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說(shuō)明 在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)

23、不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因?yàn)?的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1，±為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說(shuō)明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)

24、式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法

25、例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和xyn的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問(wèn)題得到解決解 設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)說(shuō)明 本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過(guò)的求根

26、法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 設(shè)原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)說(shuō)明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無(wú)法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒(méi)有一

27、次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地 第三講 實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用7實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)在初中代數(shù)中沒(méi)有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用用于

28、解決許多問(wèn)題，例如，不難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說(shuō)，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的性質(zhì)1 任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然例1分析 要說(shuō)明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式證 設(shè)兩邊同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，而無(wú)理是說(shuō)，無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì) 性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無(wú)理數(shù)，則(1)a+b，a-b是無(wú)理數(shù)；有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)，也沒(méi)

29、有最大的實(shí)數(shù)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大小全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)(即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性)任一實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開(kāi)偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)例2分析證所以分析 要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事由于有理數(shù)與無(wú)理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，常常采用反證法證 用反證法所以p一定是偶數(shù)設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入得4m22q2，q22m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無(wú)理數(shù)

30、)，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無(wú)理數(shù)來(lái)證明證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1若b1b2，則反之，顯然成立說(shuō)明 本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)是無(wú)理數(shù)，并說(shuō)明理由整理得：由例4知aAb，1=A，說(shuō)明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)例6 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且ab，求證：a與b之間存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明證 因?yàn)閍b，所以2aa+b2b，所以說(shuō)明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式子，以達(dá)到解題和證明的目

31、的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法例7 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且ab，問(wèn)是否存在無(wú)理數(shù)，使得ab成立？即 由，有存在無(wú)理數(shù)，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析 因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來(lái)，這樣涉及無(wú)理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9 求滿足條件的自然

32、數(shù)a，x，y解 將原式兩邊平方得由式變形為兩邊平方得例10 設(shè)an是12+22+32+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，求證：0.a1a2a3an是有理數(shù)分析 有理數(shù)的另一個(gè)定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)所以，要證0.a1a2a3an是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手證 計(jì)算an的前若干個(gè)值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說(shuō)明0.a1a2an是由20

33、個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即下面證明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，當(dāng)f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時(shí)，表明f(n+20)與f(n)有相同的個(gè)位數(shù)，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+202)由前面計(jì)算的若干值可知：12+22+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2an是一個(gè)有理數(shù) 第四講 分式的化簡(jiǎn)與求值13分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時(shí)才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于

34、零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù)在分式運(yùn)算中，主要是通過(guò)約分和通分來(lái)化簡(jiǎn)分式，從而對(duì)分式進(jìn)行求值除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)確的解答本講主要介紹分式的化簡(jiǎn)與求值例1 化簡(jiǎn)分式：分析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡(jiǎn)將簡(jiǎn)便得多 (2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2) 說(shuō)明 本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式例2 求分式當(dāng)a=2時(shí)的值分析與解 先化簡(jiǎn)再求值直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)例3 若a

35、bc=1，求分析 本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，但較復(fù)雜下面介紹幾種簡(jiǎn)單的解法解法1 因?yàn)閍bc=1，所以a，b，c都不為零 解法2 因?yàn)閍bc=1，所以a0，b0，c0例4 化簡(jiǎn)分式：分析與解 三個(gè)分式一齊通分運(yùn)算量大，可先將每個(gè)分式的分母分解因式，然后再化簡(jiǎn)說(shuō)明互消掉的一對(duì)相反數(shù)，這種化簡(jiǎn)的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡(jiǎn)中常用的技巧例5 化簡(jiǎn)計(jì)算(式中a，b，c兩兩不相等)：似的，對(duì)于這個(gè)分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法解說(shuō)明 本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a0，且

36、x，y，z不全相等)，求分析 本題字母多，分式復(fù)雜若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么題目只與x-a，y-a，z-a有關(guān)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可用換元法求解解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于x，y，z不全相等，所以u(píng)，v，w不全為零，所以u(píng)2+v2+w20，從而有說(shuō)明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母?jìng)€(gè)數(shù)，使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化例7 化簡(jiǎn)分式：適當(dāng)變形，化簡(jiǎn)分式后再計(jì)算求值(x-4)2=3，即x2-8x+130原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x

37、+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，說(shuō)明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應(yīng)用得當(dāng)會(huì)使問(wèn)題的求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化解法1 利用比例的性質(zhì)解決分式問(wèn)題(1)若a+b+c0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，則a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有 說(shuō)明 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問(wèn)題時(shí)，靈活巧妙地使用，便于問(wèn)題的求解解法2 設(shè)參數(shù)法令則a+b=(k+1)c，a+c=(k+1)b，b+c=(k+1)a+有2(a+b+c)

38、=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，說(shuō)明 引進(jìn)一個(gè)參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用第五講 恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識(shí)較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識(shí)與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一本講主要介紹恒等式的證明首先復(fù)習(xí)一下基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等

39、變形恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等證明恒等式，沒(méi)有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問(wèn)題，采用不同的變形技巧，使證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)捷一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明對(duì)于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡(jiǎn)化下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧1由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡(jiǎn)”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz分析

40、 將左邊展開(kāi)，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡(jiǎn)成右邊證 因?yàn)閤+y+z=xyz，所以左邊=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右邊說(shuō)明 本例的證明思路就是“由繁到簡(jiǎn)”例2 已知1989x2=1991y2=19

41、93z2，x0，y0，z0，且證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k0)，則又因?yàn)樗运哉f(shuō)明 本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過(guò)設(shè)參數(shù)k，使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，從而使等式成立2比較法a=b(比商法)這也是證明恒等式的重要思路之一 例3 求證： 分析 用比差法證明左-右=0本例中，這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)具有這種特性的式子叫作輪換式利用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡(jiǎn)化證 因?yàn)樗运哉f(shuō)明 本例若

42、采用通分化簡(jiǎn)的方法將很繁像這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧全不為零證明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)同理所以 所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)說(shuō)明 本例采用的是比商法3分析法與綜合法根據(jù)推理過(guò)程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論證 要證 a2+b2+c2=(

43、a+b-c)2，只要證a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立說(shuō)明 本題采用的方法是典型的分析法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d證 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因?yàn)?a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以a2-

44、b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b0，c+d0，所以ab，c=d所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以ac故a=bc=d成立說(shuō)明 本題采用的方法是綜合法4其他證明方法與技巧求證：8a+9b+5c=0a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0說(shuō)明 本題證明

45、中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧例8 已知a+b+c=0，求證2(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)2分析與證明 用比差法，注意利用a+b+c=0的條件左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=a2-(b-c)2a2-(b+c)2=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0所以等式成立說(shuō)明 本題證明過(guò)程中主要是進(jìn)行因式分解分析 本題的兩個(gè)已知條件

46、中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法證 由已知說(shuō)明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法例10 證明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)分析與證明 此題看起來(lái)很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法令y+z-2x=a，z+x-2y=b，x+y-2z=c，則要證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc聯(lián)想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以將，相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+

47、y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)說(shuō)明 由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力例11 設(shè)x，y，z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且求證：x2y2z2=1分析 本題x，y，z具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，我們不妨先看二元的所以x2y2=1三元與二元的結(jié)構(gòu)類似證 由已知有××得x2y2z2=1說(shuō)明 這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問(wèn)題的思路中總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會(huì)例題

48、中的常用變形技能與方法，這對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要第六講 代數(shù)式的求值16數(shù)學(xué)思維的教育代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切許多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問(wèn)題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、約分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過(guò)恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來(lái)，化簡(jiǎn)，進(jìn)而求值因此，求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法下面結(jié)合例題逐一介紹1利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用分析 x的值是通過(guò)一個(gè)一元二次方程給出的，若解出x后，再求值，將會(huì)很麻煩我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件解 已知條件可變形為3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1說(shuō)明 在求代數(shù)式的值時(shí)，若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式的值，這時(shí)要盡可能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會(huì)使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答例2 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：a2+b2+c2=1，求a+b+c的值解 將式因式分