初三數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)教程

1、1.1因式分解1、 常用公式或變形方法（此處只列出教科書以外的常用于競賽中的內(nèi)容）1.2.3. （在已知和時此公式常變形為）4.2、 例題講解例1. 已知a、b、c是ABC的三條邊，且滿足，試判斷ABC的形狀.例2. 若三個素數(shù)的乘積恰好等于它們和的23倍，求這三個素數(shù).（2015大同杯第四題）例3. 已知實數(shù)a、b、c滿足，求的值.（2003年宇振杯第3題）例4. 已知，求證：3、 練習(xí)題1. 已知整數(shù)a、b滿足，求的值.2. 已知，求的值.3. 已知a、b、c是不全相等的實數(shù)，且，求：（1） 的值（2） 的值4. 化簡：（2014大同杯第1題）5. 設(shè)非零實數(shù)a，b，c滿足，求的值.（20

2、13年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第1題）6. 已知正數(shù)a、b、c滿足，求的值.7. 已知：，求的值.（2016全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試B組第2題）1.2對稱式與輪換對稱式一、定義1. 一個元代數(shù)式，如果交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式不變，那么，就稱這個代數(shù)式為元對稱式，簡稱對稱式。例如，都是對稱式。2. 如果一個多項式的各項的次數(shù)均等于同一個常數(shù)，那么稱這個多項式為齊次多項式。3. 一個元代數(shù)式，如果交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式均改變符號，那么就稱這個代數(shù)式為元交代式。例如，均是交代式。4. 如果一個元代數(shù)式，如果將字母：以代，代代代后代數(shù)式不變，那么稱這個代數(shù)式為元輪換對稱式，簡稱輪換式。對

3、稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對稱式。例如，是對稱式也是輪換式；是輪換式，但不是對稱式。二、例題講解例1. 已知，a，b，c是ABC的邊，且，求此三角形的面積.例2. 滿足方程的非負(fù)整數(shù)解有幾組？（2014大同杯第4題）例3. 設(shè)x、y、z是三個互不相等的數(shù)，且，求xyz的值.例4. x1、x2、y1、y2滿足x12+x22=2，x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3求y12+y22的值.三、練習(xí)題1. 已知，求的值.2. 若數(shù)組（x，y，z）滿足下列三個方程：，求xyz的值.3. 已知b0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值4. 不定方程的整

4、數(shù)解共有幾組？（2015大同杯第7題）5. 已知bca2=5，cab2=1，abc2=7，求6a+7b+8c6. 已知實數(shù)a、b、c，且，若實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c求y12+ay22的值.（2007新知杯第5題）1.3高斯函數(shù)1、 定義實數(shù)x，用x表示不超過x的最大值整數(shù)，則y=x稱為高斯函數(shù).二、例題講解例1. 表示不大于的最大整數(shù)，求方程的所有實數(shù)解.（2006新知杯第6題）例2. 對于正整數(shù)n，設(shè)是最接近的整數(shù)，求（2017全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第6題）例3. 給定正實數(shù)a，對任意一個正整數(shù)n，記，這里，表示不超過實數(shù)

5、x的最大整數(shù)。（1） 若，求a的取值范圍；（2） 求證：（2012新知杯11題）2、 練習(xí)題1. 用表示不超過的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)部分.已知，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求.（2016全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第1題）2. 如果a為任意實數(shù)，用a表示不大于a的最大整數(shù)，例如-5 = -5，-2,3 = -3，=1，設(shè)x、y滿足方程，求x+y.3. 用表示不超過的最大整數(shù)，求方程的所有實數(shù)解.4. 設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，直至2016項，其中分母為的一段共有項，只有最后一段可能不足項，求的值.（2016大同杯第6題）5. 設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，正整數(shù)n小于100且滿足，這樣的正整數(shù)n有幾個

6、？（2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第4題）6. 設(shè)表示不超過t的最大整數(shù)，令. 已知實數(shù)x滿足，求.（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第5題）7. 設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，求方程- 8x + 7 = 0的所有解的平方和8. 求滿足不等式的最大正整數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).（2008新知杯第五大題）1.4 概率一、基本概念1. 排列（1）排列的定義：從n個不同元素中，任取m(mn）個元素按照一定的順序排成一列。（2）排列的計算公式：；使用計算器時先輸入n的值，然后按P按鈕，再輸入m的值。2. 組合（1）組合的定義：從n個不同元素中，任取m(mn）個元素并成一組。組合與排列的區(qū)別是組合是無序

7、的，而排列是有序的。（2）組合的計算公式：；使用計算器時先輸入n的值，然后按C按鈕，再輸入m的值。二、例題講解例1. 有編號分別為去1,2,3,4,5,6,7的7個大小相同的小球，從中任取3個小球，求取出的3個小球的編號和為奇數(shù)的概率.（2015大同杯第2題）例2. 從三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形中任取一個，求它是直角三角形的概率.（2015全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試填空第2題）例3. 三對夫妻排成一排照相，求僅有一對夫妻相鄰的概率.三、練習(xí)題1. 同時投擲兩顆骰子，P（a）表示兩顆骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為a的概率，求 P（1）+P（2）+P（3）+P（4）+P（5）的值.（2012新知杯第

8、2題）2. 從編號分別為，的張卡片中任意抽取張，求抽出卡片的編號都大于等于的概率.（2011新知杯第3題）3. 6張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，求這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率.（2014全國初中聯(lián)賽第一試第4題）4. 從正12邊形的頂點(diǎn)中取出4個頂點(diǎn)，求它們兩兩不相鄰的概率.5. 某校初三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連）且二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率是多少？6. 已知5件產(chǎn)品中有3件合格品，2件次品。每

9、次任取一個檢驗，檢驗后不再放回，求恰好經(jīng)過3次檢驗找出2件次品的概率.1.5 單元測試一一、填空題1. 從1到9這九個數(shù)字中任取兩個數(shù)，它們的乘積是偶數(shù)的概率是_2. 已知，則的值為_3. 用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為 _4. 若實數(shù)a，b，c滿足，代數(shù)式的最大值是_5. 用表示不超過的最大整數(shù)，已知方程=x 3，那么滿足方程的x是_6. 若實數(shù)a、b、c、d滿足a2+b2+c2+d2=10，則y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 7. 設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，如，若，則 8. 已知，且（表示不超過的最大整數(shù)），則=_

10、二、解答題9. 已知a、b、c0，求證：a3+b3+c33abc10. 設(shè)a，b，c，d是四個整數(shù)。且使得是一個非零整數(shù)，求證：一定是合數(shù).11. （1）用表示不超過的最大整數(shù)，對于任意實數(shù)，求證：（2）求的值12. 試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程有根且只有整數(shù)根.2.1 不定方程一、例題講解例1. 求滿足方程的所有實數(shù)對.（2010新知杯第2題）例2. 不定方程的整數(shù)解共有多少組？（2015大同杯第7題）例3. 求方程的整數(shù)解.（2000弘晟杯第8題）二、練習(xí)題1. 求不定方程的整數(shù)解2. 方程xyz=2009的所有整數(shù)解有多少組？（2009新知杯第8題）3. 方程，、都是正整數(shù)，求該

11、方程的正整數(shù)解.4. 已知正整數(shù)滿足:，求.（2015全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空第4題）5. 已知三整數(shù)、之和為13且，求的最大值和最小值，并求出此時相應(yīng)的與的值.6. 已知為整數(shù)，若關(guān)于的二次方程有有理根，求值.7. 已知正整數(shù)a，b，c滿足，求的最大值.（2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試填空第8題）2.2 特殊方程（組）的解法一、例題講解例1. 已知是不為0的實數(shù)，求解方程組：（2013新知杯第10題）例2. 設(shè)、均為非零數(shù)，解方程組：例3. 關(guān)于的方程組有實數(shù)解，求正實數(shù)的最小值（2006新知杯第三題）例4. 解方程：例5. 解方程：二、練習(xí)題1. 已知實數(shù)滿足如下方程組，求的值.（2006新知杯第

12、2題）2. 解方程：3. 解關(guān)于x的方程：（2014大同杯第9題）4. 解方程組：（2012新知杯第10題）5. 解方程：6. 解方程組：2.3 韋達(dá)定理一、例題講解例1. 已知二次函數(shù)的圖像與軸的兩個不同的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和不超過5，則的取值范圍.（2006新知杯第4題）例2. 已知a，b，c，d四個不相等的實數(shù)，滿足c，d是方程的兩實根，a，b是的兩實根，求a+b+c+d.（2017大同杯第8題）例3. 整數(shù)滿足，且關(guān)于的一元二次方程的兩個根均為正整數(shù)，求.（2010新知杯第7題）例4. 已知矩形ABCD的相鄰兩邊長為a、b，是否存在另一個矩形ABCD，使它的周長和面積分別是矩形ABCD

13、的周長和面積的？證明你的結(jié)認(rèn)論。（2005宇振杯第二題）例5. 設(shè)實數(shù)滿足，求的值（2014全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第三題）二、練習(xí)題1. 在ABC中，C=90，A、B、C的對邊順次為a、b、c，若關(guān)于x的方程的兩根平方和為10，求的值.（2007新知杯第3題）2. 已知關(guān)于x的方程有實根，并且所有實根的乘積為2，求所有實根的平方和.（2009新知杯第4題）3. 設(shè)a，b是方程的兩個根，c，d是方程的兩個根，求的值.（2009新知杯第6題）4. 已知a，b，c，d四個不相等的實數(shù)，滿足a，b是的兩實根，c，d是方程的兩實根，求a+b+c+d.（2017大同杯靜安區(qū)初賽第9題）5. 設(shè)二次函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)P

14、，Q且與軸的交點(diǎn)為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.如果關(guān)于的方程的兩個根都是整數(shù)，求ABC的面積.（2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試第三題）2.4 單元測試二一、填空題1. 實數(shù)滿足方程組其中是實常數(shù),且,用“”號連接：_2. 如果方程的兩根之差等于1，那么p=_3. 如果 ，那么= 4. 實數(shù)x，y滿足，且，則x+y=_5. 已知x、y是正整數(shù)，并且，則=_6. 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，設(shè)為整數(shù)，當(dāng)直線的交點(diǎn)為整數(shù)時，可以取的值有_個7. 若實數(shù)x、y滿足，則x+y=_8. 已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有_對3、 解答題9. 已知a，b，c滿足方程組：，求方程的根.10

15、. 設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)求滿足條件的所有實數(shù)k的值11. 已知是正整數(shù)，如果關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，求的值.12. 已知實數(shù)m、n滿足和，求的值.3.1 基本不等式一、基本概念與公式1. 基本不等式：當(dāng)a0，b0時，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號2. 文字描述：設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)3.公式變形（1）實數(shù)a、b，a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號；（2）實數(shù)a、b同號時，2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號；（3）實數(shù)a、b，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號；（4）實數(shù)a、b，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號4.注意點(diǎn)（1）當(dāng)兩個正

16、數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”；（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”2、 例題講解例1. 若正數(shù)x、y、z滿足xyz(x+y+z)=4，求(x+y)(y+z)的最小可能值.（2002宇振杯第9題）例2. 已知x，y為非負(fù)實數(shù)，滿足，求xy的最大值.（2017大同杯第10題）例3. 設(shè)是給定的正實數(shù)， 是給定的大于1 的整數(shù)，實數(shù) 滿足，求的最大值.（2015大同杯第8題）例4. 如圖，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=x，點(diǎn)F在邊AB上，點(diǎn)G、H在邊BC上，四邊形EFGH是一個邊長為y的正方形

17、，且AE=AC.（1） 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2） 當(dāng)x取何值時，y取得最大值？并求出y的最大值.（2007新知杯第二題）3、 練習(xí)題1. 已知x0，y0，且2xy1，求的最小值.2. 設(shè)ab0，求a2的最小值.3. 已知，四邊形是正方形且邊長為1，求的最大值.（2013新知杯第9題）4. 若正數(shù)a，b滿足，求的最小值.（2015全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試B組第一題）5. 設(shè)實數(shù)，且滿足，求的最大值.3.2 函數(shù)的最值一、例題講解例1. 將個數(shù)，排列為，使得的值最小，求這個最小值.（2011新知杯第4題）例2. 已知實數(shù)x，求的最小值.（2017大同杯第二題）例3. 已知實數(shù)x，y滿足xy-x-y=

18、1，求的最小值.（2015全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽A組第一試第5題）例4. 已知非負(fù)實數(shù)滿足，求的最大值.（2014全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第2題）二、練習(xí)題1. 不等式對于一切實數(shù)都成立.則實數(shù)的最大值.（2008新知杯第2題）2. 已知實數(shù)x,y滿足，求的最大值.（2015全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽B組第一試第4題）3. 已知實系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c=O有兩個實根x1、x2，若abc，且a+b+c=0，求d=|x1-x2|的取值范圍（2004宇振杯第9題）4. 設(shè)實數(shù)滿足 1求則的最大值.（2016全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第6題）3.3 二次函數(shù)一、例題講解例1. 若實數(shù)使得二次函數(shù)當(dāng)時，恒有, 求的最大值.（20

19、16大同杯第7題）例2. 已知為四個正的常數(shù)，則當(dāng)實數(shù)滿足時，求的最小值.（2016大同杯第8題）例3. 已知二次函數(shù)的圖像與軸的兩個不同的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和不超過5，求的取值范圍.（2006新知杯第4題）例4. 某學(xué)生為了描點(diǎn)作出函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象，取自變量的7個值：，且，分別算出對應(yīng)的的值，列出下表：xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算錯了其中一個y值。請指出算錯的是哪一個值？正確的值是多少？并說明理由.（2003宇振杯第四題）二、練習(xí)題1. 已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，則當(dāng)圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，求它的縱坐標(biāo)的值.（201

20、6大同杯第3題）2. 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時，求的值.（2016全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽B組第一試第3題）3. 已知關(guān)于正整數(shù)n的二次式y(tǒng)=n2+an(a為實常數(shù))若當(dāng)且僅當(dāng)n=5時，y有最小值，求實數(shù)a的取值范圍（2002宇振杯第4題）4. 拋物線頂點(diǎn)A在x軸上交y軸于C，AC=，有，過點(diǎn)A且交拋物線于另一點(diǎn)B，求B點(diǎn)坐標(biāo).（2017大同杯徐匯區(qū)初賽第6題）3.4 單元測試三一、填空題1. 若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為_2. 拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（2，0）的兩旁，那么a的取值范圍是 3. 設(shè)a，b都是實數(shù)，函數(shù)，若對任意實數(shù)b，方程有兩個相異的

21、實根，則實數(shù)a的取值范圍為_4. 當(dāng)x0時，則f(x)的最大值為_5. 若,則的最大值是_6. 當(dāng)時，函數(shù)的最大值是_7. 設(shè)x為正數(shù)，則函數(shù)的最小值是_8. 二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)C已知，則_二、解答題9. 直角三角形斜邊為c，直角邊為a、b，求證：.10. 設(shè)A、B是拋物線上的點(diǎn)，原點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).11. a、b、c為實數(shù)，且，證明：關(guān)于x的方程有大于而小于1的根.12. 如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OBOC3OA直線與軸交于點(diǎn)D求DBC-CBE4.1 相似三角形一、例題講解例1. 如圖，在凸

22、四邊形ABCD中，已知ABC+CDA=300，求證：.（2014大同杯第10題）例2. 如圖，在正的邊、上分別有點(diǎn)、，且滿足，當(dāng)平分時，求的值為（2011新知杯虹口區(qū)初賽）例3. 如圖，梯形ABCD中，ABCD，AC，BD相交于點(diǎn)OP，Q分別是AD，BC上的點(diǎn)，且APB=CPD，AQB=CQD求證：OPOQ（2012全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第13題）二、練習(xí)題1. 已知在上且過點(diǎn)作的平行線交于，的延長線交的延長線于，求.（2013新知杯第3題） 2. 已知梯形中，/，求梯形的面積.（2011年新知杯第2題）3. 直角三角形斜邊上的高，延長到使得，過作交于，交于，求.（2013新知杯第8題）4. 如圖，在四

23、邊形中，,對角線的交點(diǎn)為，求的長.（2016全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第5題） 4.2 梅涅勞斯定理1、 定理梅涅勞斯（Menelaus）定理： 一直線分別截ABC的邊BC、CA、AB（或其延長線）于D、E、F，則。二、例題講解例1. 如圖，在四邊形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面積之比是341，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上，滿足AMAC=CNCD，且B、M、N三點(diǎn)共線求證：M與N分別是AC和CD的中點(diǎn).例2. 直角ABC中，CK是斜邊上的高，CE是ACK的平分線，E點(diǎn)在AK上，D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE與CK的交點(diǎn). 求證：.三、練習(xí)題1. 過ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB延

24、長線于D，求證：2. 在ABC中，點(diǎn)M和N順次三等分AC，點(diǎn)X和Y順次三等分BC，AY與BM，BN分別交于點(diǎn)S，R，求四邊形SRNM與ABC的面積之比。3. 已知ABC的重心為G，M是BC邊的中點(diǎn)，過G作BC邊的平行線交AB邊于X，交AC邊于Y，且XC與GB交于點(diǎn)Q，YB與GC交于點(diǎn)P，證明：MPQABC.4.3 正、余弦定理1、 定理1. 正弦定理：（R為外接圓半徑）面積公式：誘導(dǎo)公式：2. 余弦定理： 變形：2、 例題講解例1. 已知ABC中，AB=2，AC=3，點(diǎn)D、E在邊AC、AB上，且ABD=4DBC，ACE=4ECB，求ABC的面積.（2017大同杯第6題）例2. 在等腰直角三角形

25、中，是內(nèi)一點(diǎn)，使得，求邊的長.（2011新知杯第6題）例3. 已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，使得.求證：.3、 練習(xí)題1. 設(shè)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，到頂點(diǎn)、的距離分別是、2、3，求正方形的面積.2. 在的及邊上分別取點(diǎn)、，使，求證：為正三角形.3. ABC中，B=60，A=20，求.（2017大同杯徐匯區(qū)初賽第8題）4.4 單元測試四1、 填空題1.如下左圖，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，那么EF的值是_2. 如上右圖，正方形OPQR內(nèi)接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面積分別是，和，那么，正方形OPQR的邊長是_3. 在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，則sin Asin Bsin

26、 C等于_4. 在ABC中，最大角A是最小角C的兩倍，且AB7，AC8，則BC_5. 在ABC中，已知面積S(a2b2c2)，則角C的度數(shù)為_6. AC、CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點(diǎn)M、N分別在AC、CE上，使 AM：AC=CN：CE =r，如果B、M和N三點(diǎn)共線，那么r=_7. 如下左圖，一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是_厘米2 8. 如上右圖，在ABC中，在BC上有100個不同的點(diǎn)，過這100個點(diǎn)分別作ABC的內(nèi)接矩形，設(shè)每個內(nèi)接矩形的周長分別為，則_2、 解答題9. 在AB

27、CD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與CE相交于G，AF與DE交于H，求AH:HG:GF10. 證明余弦定理的一種四邊形推廣：即設(shè)凸四邊形的對角線交于，又設(shè)，則.11. 過ABC三條角平分線的交點(diǎn)I，作AI的垂線與AB、AC分別交于D、E，求證：BIDIEC12. 已知中，延長到點(diǎn)，連結(jié)，若，且，求的長.5.1 幾何不等式與最值1、 例題講解例1. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，MON 的兩邊分別是射線 y = x(x 0)與x軸正半軸點(diǎn)A(6,5)，B(10,2)是MON 內(nèi)的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是MON 兩邊上的動點(diǎn)，求四邊形ABQP 周長的最小值.（2015大同杯第6題）

28、例2. 如圖，RtABC中，C=90，AC=4，BC=5，現(xiàn)點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸正半軸上運(yùn)動，求點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡的長度.（2017大同杯第3題）例3. 已知面積為4的的邊長分別為，AD是的角平分線，點(diǎn)是點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)，若與相似，求的周長的最小值。（2010新知杯第11題）2、 練習(xí)題1. 如圖，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動點(diǎn)。PEBC，PFCA，求線段EF長的最小值. （2009新知杯第5題）2. 如圖，ABC的面積為1，點(diǎn)D、G、E和F分別在邊AB、AC、BC上，BDDA，DGBC，DEAC，GFAB，求梯形DEFG面積的最大可能值.（2017新知

29、杯第7題）3. 已知ABC的兩條高分別為5和20，若第三條高也是整數(shù)，求第三條高的最大值.（2011全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2題）4. 兩個直角梯形的斜腰與上底都等于1，且兩個銳角互余，它們的面積分別為S1和S2，求證：1S1+S225.2 三角形的“五心”1、 例題講解例1. 設(shè)ABC的內(nèi)心為I，A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC.（雞爪定理） 例2. 設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則.（歐拉定理）例3. 如圖，在ABC中，BC = a，CA = b，ACB = 60，ABD是正三角形，P是其中心，求CP 的長度（2015大同

30、杯第9題）例4. 如圖，為的垂心，圓為的外接圓。點(diǎn)、為以為圓心、長為半徑的圓與圓的交點(diǎn)，為線段的垂直平分線與圓的交點(diǎn)。求證：（1）垂直平分線段；（2）.二、練習(xí)題1. 已知四邊形的面積為2013，為上一點(diǎn)，的重心分別為，求的面積為.（2013新知杯第7題）2. 已知為等腰內(nèi)一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如果點(diǎn)為的內(nèi)心，求的度數(shù).（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空第3題）3. 設(shè)的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的，求所有可能的度數(shù)（2013全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽12題）4. 已知ABC的三邊長均為正整數(shù)，周長為 35，G 和I 分別為ABC的重心和內(nèi)心，且GIC = 90，求邊AB的長度（2015大同杯第

31、11題）5.3 圓冪定理與四點(diǎn)共圓1、 例題講解例1. 設(shè)PO是邊長為1的正ABC的外接圓的一條弦，已知AB和AC的中點(diǎn)都在PQ上，求PQ的長.例2. 如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點(diǎn)，且滿足, 的延長線與的外接圓交于點(diǎn). 證明：（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第四題）例3. 如圖，若PA=PA，APB=2ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，且PB=4，PD=3，求ADDC的值.例4. 如圖，已知與外切于點(diǎn)，和的半徑依次為和直線切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的值（2016大同杯第9題）2、 練習(xí)題1. 已知AB為圓O的直徑，AB=1，延長AB到點(diǎn)C，使得BC=1，CD是圓O的切線，D是切點(diǎn)，則的面積.（2015

32、大同杯第1題）2. 如圖，圓與圓 外切于點(diǎn)P ，從圓上點(diǎn)A 作圓的切線AB ， B 是切點(diǎn)，連結(jié)AP 并延長，與圓交于點(diǎn)C 已知圓 、圓的半徑分別為2、1，求的值.（2015大同杯第5題）3. 凸四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)E，已知ABD=35，ADB=20，ACB=40，ACD=70，求AEB的度數(shù).4. 如圖，在等腰中,為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn),的延長線與的延長線交于點(diǎn) 求的值.（2016全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B組第三題）5.4 單元測試五1、 填空題1. 不等邊三角形，如果一條邊長等于另兩條邊長的平均值，則最大邊上的高于最小邊上的高的比值K的取值范圍是_2. ABC

33、中，AB=AC，B的平分線交AC于D，且BC=AD+BD，則BAC=_3. 在長為32寬為3的長方形內(nèi)部最多可以不重疊地放置_個半徑為1的圓4. 如下左圖，在中，為的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，記的面積為， 的面積為，則_5. 如上右圖在鈍角ABC中，BC=1，A=30，D為BC中點(diǎn)，G為ABC重心，若B、C為定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，線段GD長度的取值范圍是_6. 已知為等腰內(nèi)一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如果點(diǎn)為的內(nèi)心，則 7. 已知四邊形ABCD的面積為32，邊AB、CD和對角線AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16，則該四邊形的邊長的平方和的最小值為_8. 如圖正方形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)P在劣弧AB上，

34、連結(jié)DP，交AC于點(diǎn)Q若QP=QO，則的值為_2、 解答題9. 如圖，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，CD是AB邊上的高，E,F分別是ADC和BDC的內(nèi)心，連接EF交CD于點(diǎn)G，試求CG的長。10. 梯形ABCD的面積為1，上底為m，下底為n，點(diǎn)P、Q分別是上底和下底上的動點(diǎn)，假設(shè)AQ、BP交于點(diǎn)R，CP、DQ交于點(diǎn)S，則陰影部分面積的最大值是多少？11. 等腰RtABC與等腰RtA1B1C1滿足A1、B1、C1分別在ABC的三條不同邊上，求的最小值.12. 如圖，點(diǎn)P為O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B過點(diǎn)A作PB的平行線，交O于點(diǎn)C連結(jié)PC，交O于點(diǎn)E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點(diǎn)K求證：PEAC=CEKB6.1 數(shù)論一、例題講解例1. 設(shè)是正整數(shù)， 不是 4的倍數(shù)，求證：不是完全平方數(shù)（2015大同杯第12題）例2. 稱具