初中數(shù)學行程問題專題

1、初中列方程解應用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時間這三個量有關的問題。我們常用的基本公式是: 路程速度×時間；速度路程÷時間；時間路程÷速度.行程問題是個非常龐大的類型,多年來在考試中屢用不爽,所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習,熟悉了行程問題的學生,在多種類型的習題面前都會顯得得心應手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術改造后，列車在兩城市間的運行速度從提高到,運行時間縮短了。甲，乙兩城市間的路程是多少?【分析】如果設甲，乙兩城市間的路程為,那么列車在兩城市間提速前的運行

2、時間為，提速后的運行時間為.【等量關系式】提速前的運行時間提速后的運行時間=縮短的時間.【列出方程】. 例2：某鐵路橋長1000，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1，整列火車完全在橋上的時間共。求火車的速度和長度?！痉治觥咳绻O火車的速度為，火車的長度為，用線段表示大橋和火車的長度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： y 1000 60x1000y 40x【等量關系式】火車行駛的路程=橋長+火車長；火車行駛的路程=橋長-火車長 【列出方程組】 2.單人雙程（等量關系式：來時的路程=回時的路程）：例1：某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共

3、用了;返回時汽車以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了.學校距自然保護區(qū)有多遠?！痉治觥咳绻O學校距自然保護區(qū)為，由題目條件：去時用了，則有些同學會認為總的速度為，然后用去時走平路的速度+去時爬坡的速度=總的速度，得出方程，這種解法是錯誤的，因為速度是不能相加的。不妨設平路的長度為，坡路的長度為，則去時走平路用了，去時爬坡用了，而去時總共用了，這時，時間是可以相加的；回來時汽車下坡用了，回來時走平路用了，而回來時總共用了.則學校到自然保護區(qū)的距離為。【等量關系式】去時走平路用的時間+去時爬坡用的時間=去時用的總時間 回來時走平路用的時間+回來時爬坡用的時間=回來時用的總時間【列出方程組】 3.

4、雙人行程:（）單塊應用：只單個應用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時同地同向而行：A,B兩事物同時同地沿同一個方向行駛例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距。【分析】如果設經(jīng)過后兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 80x km 乙 甲60x km280km【等量關系式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】2）同時同地背向而行：A，B兩事物同時同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距?！痉治觥咳绻O經(jīng)過后兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路

5、程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙 60x km80x km280 km【等量關系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【列出方程】3）同時相向而行（相遇問題）:例:甲，乙兩人在相距的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時處發(fā)后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥咳绻O甲的速度為，則乙的速度為，甲走過的路程為，乙走過的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲1.5x km1.5×2x km乙AB 10 km 280 km【等量關系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】4）追及問題：例：一對學生從學校步行去博物館，他們以的速度行進后，一名教師騎自行車以的

6、速度按原路追趕學生隊伍。這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了多少時間？【分析】如果設這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了，則教師走過的路程為，學生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學生在教師出發(fā)前走過的路程為，學生在教師出發(fā)后走過的路程為，又由于教師走過的路程等于學生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 學生5x km 教師 15x km【等量關系式】教師走過的路程=學生在教師出發(fā)前走過的路程+學生在教師出發(fā)后走過的路程【列出方程】5）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)后甲，乙兩人同時到達B

7、地，已知乙的速度為，問，甲的速度為多少？【分析】如果設甲的速度為，則乙出發(fā)前甲走過的路程為，乙出發(fā)后甲走過的路程為，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為，甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 甲x km3x km 乙 50×3 km【等量關系式】乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】6）不同時相向而行例：甲，乙兩站相距，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為；一列快車從乙站出發(fā)，速度為。兩車相向而行，慢車先出發(fā)，快車開出后多少時間兩車相遇？【分析】如果設快車開出后兩車相遇，則慢車走過的路程為，快車走過的

8、路程為100。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 慢車60x100x快車 448km【等量關系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程【列出方程】注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行、不同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問題就會迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會在后面練習中給出習題。（）結合應用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結合起來應用。1） 相向而行+背向而行例：A，B兩地相距，小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過后兩人相遇；再過，小

9、明余下的路程是小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？ 【分析】如果設小明騎車的速度為，小麗騎車的速度為，相遇前小明走過的路程為，小麗走過的路程為；相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為，小麗走過的路程為。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 小明 小麗 相遇前xyAB36kmx-0.5y0.5y0.5xy-0.5x小麗小明【等量關系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程 相遇后小明余下的路程=2×相遇后小麗余下的路程【列出方程組】2)同向而行+相向而行例：一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千米/時的速度前進，突然，1號隊員以45千米/時的速度獨自行進，行進

10、10千米后掉轉車頭，仍以45千米/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合。1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經(jīng)過了多長時間？【分析】由題意“1號隊員以45千米/時的速度獨自行進，行進10千米后掉轉車頭”可知1號隊員從離隊到調(diào)轉車頭前的時間為，不妨設1號隊員從調(diào)轉車頭到與其他隊員重新回合的時間為。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊員 1號隊員35x45x10km【等量關系式】1號隊員從離隊到調(diào)轉車頭這段時間所有隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)所有隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)1號隊員走的路程=10?！玖谐龇匠獭?.行程問題中的工程問題

11、：乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學們做起來覺得無從下手。其實只要把路程看做單位“1”（至于為什么，結合以下例題講解），這就相當于把行程問題轉化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要，乙開汽車從A地到B地需要，如果甲，乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇?！痉治觥款}目中就時間已知，速度、路程都未知，有些同學想如果知道A與B的距離，就可以得出A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時間兩車相遇呢？為此，我們不妨設A與B的距離為,經(jīng)過后兩車相遇。我們可以立馬得出關系式：，可以把兩邊的消去，得到方程，立馬

12、得出。說明路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”。5.環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時同地出發(fā)，同向而行，當?shù)谝淮蜗嘤鰰r，兩人所走路程差為一周長；相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為一周長。例1：運動場跑道周長，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一地點沿跑道的同一方向同時出發(fā)，后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過兩人第二次相遇呢？如果不是，請說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O爺爺?shù)呐懿剿俣葹?，則小紅的跑步速度為【等量關系式】小紅跑

13、的路程爺爺跑的路程=400m【列出方程】注：再過兩人第二次相遇，用上面那個方程式就可以表示出來。例2：甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長為的圓形軌道上運動。甲車的速度較快，當兩車反向運動時，每相遇一次;當兩車同向運動時，每相遇一次，求兩車的速度?！痉治觥吭O甲，乙兩車的速度分別為和。【等量關系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周長 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長【列出方程組】6.水流問題一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度 水速：水流動的速度順水速度：船順流航行的速度逆水速度：船逆流航行的速度順速=船速水速逆速=船速水速船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2流水速度=（順流速度逆流速度）÷2路程=順流速度× 順流航行所需時間路程=逆流速度×逆流航行所需時間例1：某船在的航道上航行，順流航行需，逆流航行需。求船在靜水中航行的速度和水流的速度。【分析】設船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為和，順流的速度為，逆流的速度為，再利用上面的公式?！镜攘筷P系式】順速=船速水速逆速=船速水速【列出方程】 例2：甲，乙兩艘貨船，甲船在前30千米處逆水而行，乙船在后追趕