平面向量基礎(chǔ)知識及練習(xí)

1、向量有關(guān)概念：平面向量基礎(chǔ)知識r3.b在a上的投影為|b|cos,它是一個實數(shù)，但不一定大于01 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。2 .零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0,注意零向量的方向是任意的；uuu3 .單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是uuuAB.uuu)，|AB|4 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5 .平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作:a/b,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行包含

2、兩個向r量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！(因為有0);三點uuruuuAB、C共線AB、AC共線；6 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一ao二.向量的表小方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB,注意起點在前，終點在后；2 .符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；3 .坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,jrrr-為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為axiyjx,y,稱x,y為向量a的坐標(biāo)，如：已知|a|3,|b|5,且ab12,則向量a在向量b上的投影為r一_4

3、.a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。5 .向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a,b,其夾角為，則：rrrraba?b0；當(dāng)a,b同向時，a?b=當(dāng)a與b反向時，a?b=非零向量a,b夾角的計算公式:cos六.向量的運算：1.幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進行,rr2b，特別地，arra?babrra?a;|a?b|a|b|。ra,2ra但“行四muR%只仙用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)ABa,BCb,那么向量rruuu做a與b的和，即abABuuuruuirBCAC；uuuruuirrrruuu向量的減法：用“三角形法

4、則”：設(shè)ABa,ACb,那么abAB向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同unrAC叫uuirACuuuCA,由減,uurunr如化簡：ABBCr2.坐標(biāo)運算：設(shè)a向量的加減法運算a=x,y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1、2，使a=1e+2及。,一rrrr如：若a(1,1)b(1,1),c(1,2),則cullruuuurnruuirCD;ABADDC-T(x1,y1),b(xz*),則：rr:ab(kx2

5、,y1y2)。uuuuur,；(ABCD)uuu(ACurnrBD)四.實數(shù)與向量的積r下：1a:實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a,它的長度和方向規(guī)定如111a,2當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同，當(dāng)<0時，a的方向rr.與a的方向相反，當(dāng)=0時，a0,注意：aw0。五.平面向量的數(shù)量積：uuuruurr1.兩個向量的夾角：對于非零向量a,b,作OAa,OBb,AOB0稱為向量a,b的夾角，當(dāng)=0時，a,b同向，當(dāng)=時，a,b反向，當(dāng)=一時，a,b垂直22.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為，我們把數(shù)量rrffTrr|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或

6、點積)，記作：a?b,即a?b=abcos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如：ABC中，|AB|3,|AC|4,|BC|5,則ABBC1uuu如：已知A(2,3),B(1,4),且-AB(sinx,cosy),x,y(一,一)，則xy222r實數(shù)與向量的積：ax1,y1x1,y1。uuu若A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)uiUT如：設(shè)A(2,3),B(平面向量數(shù)量積七.向量的運算律：2.3.交換律:結(jié)合律:分配律:1,5),且ACrra?bx2x1，y21uuu一AB3uurADy1,即一個向量的坐標(biāo)等于表示

7、這個向量uur3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是r-向量的模：|a|xxrararbrbrbrcrara:rararrc,ararcrrra,abrr八.向量平行(共線)的充要條件：a/buuruuuuuir如：設(shè)PA(k,12),PB(4,5),PC九.向量垂直的充要條件：rarararra?brbrbrbrrb?ararr(ab)rarbr?br?cra?bra?ra?cb?c。(|a|b|)x1y2yx20o(10,k),貝Uk=.時,A,B,C共線rrrrrrab0|ab|ab|x1x2y1y20.平面向量單元練習(xí)1.設(shè)a是非零向量，是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A.a與a的方向相反B.

8、|-a|=|'aC.a與2a的方向相同D.|-a|引a|2、下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是()r11、若向量a,2且a與b的夾角為，則a12、已知a2b?ab2,則與b的夾角為0a0abbaa21a2(ab)ca(bc)A.0B.1C.2D.33、如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(A.AB=DCB.AD+AB=ACC.ABAD=BDuuuuuur4、若AB(2,4),ACuuur(1,3),則BC13、已向量a=2,4,b=1,1.若向量b(a+b),則實數(shù)的值是.rrrrr14、設(shè)向量a與b的夾角為，a(3,3),2ba(1,1),則cos.15、若有以下命題：兩個相

9、等向量的模相等；若之和b都是單位向量，則看8;相等的兩個向量A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)5、已知向量a(1,2),b(2,3).若向量c滿足(ca)/b,c(ab),則cA(A)C.二)D-(?I)6、D是ABC的邊AB上的中點，則向量CD(定是共線向量；a/b,c/b,則意/幾；零向量是唯一沒有方向的向量；兩個非零向量的和可以是零。其中正確的命題序號是。16、已知苗|4,|b|2,且Z與b夾角為120°,求G2b)?(ab);12ab|;當(dāng)k為何值時，(a2b)(kab)?7、uur1uurA.BC-BA21rLr3氏a(一,sin),2uuir

10、1uuuuur1uuuB.BC-BAC.BC-BA22r1一rb(cos,-),且ab,則銳角為3uur1uuuD.BC-BA2A.300B.600C.750D.45017、已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2)8、已知a(1,sin2x),b(2,sin2x),其中x(0,)。若abab,貝Utanx的值等于(1)若a/b,求tan的值；(2)若ab,0，求的值。A.1B.-1C.33口.學(xué)9、一質(zhì)點受到平面上的三個力F1,F2,F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1,F2成600角，且F1,F2的大小分別為2和4,則F3的大小為()A.6B.2C.2.5D.2、710、已知O,N,P在ABC所在平面內(nèi)，且|OA|OB|oc|,NANBNC0,且PA?PBPB?PCPC?PA