平面向量易錯(cuò)題解析

1、平面向量易錯(cuò)題解析1 .你熟悉平面向量的運(yùn)算（和、差、實(shí)數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算的幾何意義嗎？22 .你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長(zhǎng)度）的問題？（利用|a|2a；|a|&一y2）3 .你知道解決向量問題有哪兩種途徑？（向量運(yùn)算；向量的坐標(biāo)運(yùn)算）4 .你弄?t"abx1x2y1y20"與"a/bx1y2x2y10"了嗎？問題:兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積有什么區(qū)別？（1） 在實(shí)數(shù)中：若a0,且ab=o,則b=o,但在向量的數(shù)量積中，若a0,且a?b0,不能推出b0.（2） 已知實(shí)數(shù)a,b,c,（bo）,且abbc,則a=c,但在

2、向量的數(shù)量積中沒有a?bb?cac.（3） 在實(shí)數(shù)中有（a?b）?ca?（b?c）,但是在向量的數(shù)量積中（a?b）?ca?（b?c）,這是因?yàn)樽筮吺桥cc共線的向量，而右邊是與a共線的向量5 .正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡(jiǎn)和證明恒等式有什么特點(diǎn)？1 .向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，uur注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2）,B（4,2）,則把向量ABr按向量a=（-1,3）平移后得到的向量是（答：（3,0）（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0,

3、注意零向量的方向是任意的；uuruuu（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是-ABJ;|ab|（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a/b,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩ruuuuuur條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性！（因?yàn)橛?）；三點(diǎn)ARC共線AB、AC共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量

4、叫做相反向量。a的相反向量是一a。rrrr如下列命題：（1）若ab,則ab。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)uuruuruuuruur相同。（3）若ABDC,則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則ABDC。（5）rrrrrrrrrrrr若ab,bc,則ac。（6）若ab,b/c,則a/c。其中正確的是（答：（4）（5）2 .向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB,注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如a,b,c等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j為

5、基底，則平面內(nèi)的任一向量a可rr表示為axiryjx,y,稱x,y為向量a的坐標(biāo)，a=x,y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,ra,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、rr如(1)若a(1,1)b(1,2,使r1),c那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量能作為平面內(nèi)所有向量基底的是ira.einir(0,0),e2(1,2)B.e(Lmirminir1,2),e21e1+1,2),則(答：rrB)；(3)已知AD,BE分別是量a,b表不為(答:2r-a34r、一b);3CDrABsAC,則s的值是4.實(shí)數(shù)與向量

6、的積：實(shí)數(shù)ra,2當(dāng)>0時(shí),0時(shí),5.平面向量的數(shù)量積(1)兩個(gè)向量的夾角時(shí),a,b垂直。(2)平面向量的數(shù)量積1r(答：-a23r、b);2(2)下列向量組中,inirin(5,7)C.e(3,5),e2(6,10)D.eiiLiirABC的邊BC,AC上的中線，且AD(4)已知ABC中，點(diǎn)(答：0)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a的方向與a的方向相同，:對(duì)于非零向量ab的夾角，當(dāng)0時(shí),:如果兩個(gè)非零向量a做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作:量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),|BC|5,則ABBC(答:(2,rmina,BE3),62G4)nnrb,則BC可用向D在BC邊上，且C

7、D2DB,a,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:<0時(shí),a的方向與a的方向相反,nnr作OArnnura,OBb不再是一個(gè)向量。如9)r；(2)已知aAOB時(shí)，a,b反向，當(dāng)rr我們把數(shù)量|a|b|c°s叫abcos(1)AABC43,1r(1曠(°,規(guī)定：零向量與任一向IAB|3,|AC|1、r2),crnrkb,da4,rb，rirc與d的夾角為z,則k等于(答:r(3)已知a2,b5,ago(答：J23)；(4)rr已知a,b是兩個(gè)非零向量,3,則arr寺丁a與ab的夾角為(答:30°)(3)rb在a上的投影為|b|c°s,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于|

8、b|5,12,則向量a在向量b上的投影為12、(答：一)r5.(4)a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。向再數(shù)甲峰性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,其夾角為，則:ba?b0；當(dāng)a2特別地，arra?a席；當(dāng)a與b反向時(shí),a?b為鈍角時(shí),當(dāng)為銳角時(shí)，a?b>0,.rra?b<0,且a、b不反向，r且a、rrabrb不同向,0是為銳角的必要非充分條件非零向量a,b夾角的計(jì)算公式:cos0是為鈍角的必要非充分條件rra?brJrrOH；|a?b|a|b|ab如(1)已知a,2),b(3,2),如果a與b的夾角為銳角,的取值范圍是(答:1一)；3(2)已知OFQ的

9、面積為S,且OFFQ,131,若一S,則OF,FQ夾角22的取值范圍是(答:)；(3)已知(cosx,sinx),b(cosy,siny),a與b之間有關(guān)系式kb,其中k0,用k表示ab；求ab的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角的大rr小(答：abk21k一1(k0);最小值為4k60°)6.向量的運(yùn)算：(1)幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)rruultuultuuutabABBCAC;向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)但二乎行四邊非法則：只適用于不松的向量，一如此.UUrABruura,BCACr叫做ar與b的和，即uuuruult

10、rABa,ACb,那么ab的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。UUUABUUUlultuultBCCDruuuluiitluut;ABADDCuutuut;(ABCD)ulutCB；0)；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB(答：2J2)；(3)若O是VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足ruulta,BCuuutOBUUITUUUAB如(1)uultuultAC化簡(jiǎn):UULCA,由減向量(ACBD)uult(答:AD;ruultb,ACuultOCuutuultOBOC則VABC的形狀為uuuuuu滿足PABP(答：直角三角形),(4)若D為uuU|PD|ABC的邊BC

11、的中點(diǎn),的值為(答：2);ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,(5)若點(diǎn)O是ABC的外心,uuuuutuuitr且OAOBCO0,則ABC的內(nèi)角rr(答:120°)；(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a向量的加減法運(yùn)算uuuuutlultAPABAC(R),(X1,y1),brrab(x1yiy2)。如(1)已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10),若則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上(答:1uut知A(2,3),B(1,4)，且，AB2ul作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F1(9,1)r實(shí)數(shù)與向量的積：a(sinx,c°sy)uu(3,4),F2，x,y(2,X,%(UU5),F3x1,一

12、,一)，則xy22ur(答：一或6UUUUUU一);(3)已知2(3,1),則合力FF1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是(答:uuu若A(x1,y1),B(x2,y2)，則ABx2x1,y2y1,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)Ouur1uuuuuiruurr如設(shè)A(2,3),B(1,5),且AC-AB,AD3AB,則GD的坐標(biāo)3分別是“11(答:(1,),(7,9)；r3rr平面向量數(shù)量積：a?bx1x2y1y2。如已知向量aSsinx,cosx),b=(sinx,sinx),c(1,0)。(1)若x=w，求向量a、c的夾角;(2)若x53，一，函數(shù)f(x)ab的84一.

13、11最大值為求的值(答：(1)15。;(2)萬(wàn)或r向量的模：|a|uur那么|a3b|=22'r2xy,a(答：屈)；Al2如已知rra,b均為單位向量，它們的夾角為60°,兩點(diǎn)間的距離：若Axi,yi,Bx2,y2則|AB|,x2x1面斜坐標(biāo)系xOy中，uurxOy60o,平面上彳J一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)urururur是這樣定義的：若OPxqye2,其中e，為分別為與x軸、y軸同單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為的距離|PO|;(2)求以(答：(D2;(2)(x,y)。O為圓心,22xy(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(21為半徑的圓在斜坐標(biāo)系7.向量的運(yùn)算律:(1)交換律:xyrarc

14、rarararrrc,abrra,arcrbrara1rbrbrb結(jié)合律:方向的求PUO的方rb；(3)分配律:-2),xOy中22y2y1o如如圖，在平(bc)c；a(bc)r?bra?bra?b?ca?cb?c如下列命題中：(ab)c；(ab)22|a|rr、abaa-r2a|b|b|2;若arr；(ab)2a220,則0或b0；若|a|rbrrb,則ab)2r2rra2abr2b其中正確的是提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量,不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不

15、能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律即兩邊,即a(b?c)(a?b)c,為什么?8.向量平行(共線)的充要條件：a/br如若向量arrr(x,1),ba(1,1),b(4,x)uuuuuurruauuurr2b(4,x),當(dāng)rr,v2ar2rr(ab)(|a|b|)時(shí)a與b共線且方向相同rr(答:xy?(答：4)；y1x2=0。2);(2)已知(3)設(shè)PA(k,12),PB(4,5),PC9.向量垂直的充要條件uuruuurAB("unurABuurAB("uurABr:auuur(10,k),AC、juuur)ACk=rb時(shí),r|aA,B,C共線(答：2或11

16、)rrb|arb|x1x2y1y20.特別地uuu如(1)已知OAuurr1,2),OB(3,m)uuuuuu若OAOB,則m(答:(2)以原點(diǎn)。和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OABB90則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(答:(1,3)或(3,1);rr(3)已知n(a,b),向量nirrm,且nurir(答:(b,uuuPP占八、,2）或（b,a）10.線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念uurPP2,則叫做點(diǎn)（教材未有內(nèi)容，適度補(bǔ)充）:設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1、P2uuiuP分有向線段PP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)uuurPP2的以定比為的定比分（2）的符號(hào)與分點(diǎn)

17、P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)<1;當(dāng)P點(diǎn)在線段P2Pl的延長(zhǎng)線上時(shí)P1P2上時(shí)1>0;當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P20；若點(diǎn)成的比為uuun1,則點(diǎn)p分有向線段P2P1所成的比為-如若點(diǎn)uuuP分AB所成的比為uuurP分有向線段P1P2所3uuu,則A分BP所成4的比為(答：7)3（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P（X1,y1）、F2（x2,y2）,P（x,y）分有向線段uuuuPP2所成的比為X1X21X1X22,特別地，當(dāng)y21時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式y(tǒng)y1y2。在使用定比分2點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確（x,y）,（X1,y1）、（x2,y2）的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)

18、，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比如（1）若M(-3,-2),N(6,-1),且1,MPMN,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為3(2)已知A(a,0),B(3,2a),直線y1一aX與線段AB交于M,且2uuuuAMuuir2MB，則a等于(答:2或4）11.向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;l|a|b|ab|a|b|,特別地，當(dāng)a、b同向或有rrr|a|b|arrrrb|；rb反向或有0r|ab|a|b|r|a|r|arrb|r|a|b|b|ab|;當(dāng)a、b不共線|a|b|ab|a|b|（這些和實(shí)數(shù)比

19、較類似）.(3)在ABC中，若AXi,y，B,CX3,飛,XiX2X3yiy2y3如若力ABC的三邊的中點(diǎn)分別為則其重心的坐標(biāo)為1)、(-34)(-1,-1）,則力ABC的重心的坐標(biāo)為，24、（答：（3,/；uurPGuur1(PA3uuuPBuurPC)uuuG為ABC的重心，特別地PAuuuPBuuurPCP為ABC的重心；uuuPA向量uuuuuuPBPBuuuAD|AB|uuirPCuuuruuurPC舟)(|AC|uuuPAP為ABC的垂心;0）所在直線過ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直線）；uuruuiruuruuuuuuuuur|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC

20、的內(nèi)心;uuuuuuuuMPiMP2 ,特別1，uuu uuuPEPC 且(2)化為關(guān)于COSx的二次函數(shù)在0,1的最值問題，不知對(duì)對(duì)稱軸方程討論答案：(1)易求 a b cos2x , a b =2cosx；(2) f xa b 2 a b =cos2x 2 2cosx = 2 cos2 x 4 cosx 1=2 cosx 2 2 2 1從而：當(dāng) 0時(shí)，f x min 1與題意矛盾0不合題意c31當(dāng) 01 時(shí)，f xmin 2 2 11,1；2235當(dāng) 1時(shí)，f x mm 1 4-,解得 一，不滿足28一，一 1綜合可得：實(shí)數(shù)的值為-.21；例題2在 ABC中，已知AB 2,3 ,AC1,k

21、 ,且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求實(shí)數(shù)k的值.uuuuuur(3)若P分有向線段PP2所成的比為，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則MPuuunuuuuiuurMPiMP2地P為PR的中點(diǎn)MP12；2uunuuuuuiuu(4)向量PAPRPC中三終點(diǎn)A、EkC共線存在實(shí)數(shù)、使彳導(dǎo)PA1.如平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3)，若點(diǎn)C滿足OC1OA2OB,其中1,2R且121,則點(diǎn)C的軌跡是(答：直線AB)33xx一例延1已知向重acos-x,sin-x,bcos,sin,且x0,一，求22222ab及ab；一.3若fxab2ab的最小值是一，求實(shí)數(shù)的值.2錯(cuò)誤分析：(1)

22、求出ab=722cos2x后，而不知進(jìn)一步化為2cosx,人為增加難度；313錯(cuò)誤分析：是自以為是，憑直覺認(rèn)為某個(gè)角度是直角，而忽視對(duì)諸情況的討論.答案：(1)若BAC90,即ABAC.,.2故ABAC0,從而23k0,解得k-;31,k 3 ,故若BCA90,即BCAC,也就是BCAC0,而BCACAB1kk30,解得k若ABC90,即BCAB,也就是BCAB0,而BC1,k3,故綜合上面討論可知0 ,解得k1132<k上或k U 323例題4已知向量m=(1,1),向量n與向量m夾角為-，且mn=-1,4(1)求向量n;若向量n與向量q =(1,0)的夾角為,向量 p=(cosA,2

23、cos 2£ ),其中 A、C為 ABC的內(nèi)角, 22A、B、C依次成等差數(shù)列，試求n+p的取值范圍解：(1)設(shè)n=(x,y)則由<m,n>=-得：cos<m,n>=m?n=xy型4m?n&?，x2y22由m,n=-1得x+y=-1x0x1n =(0,-1)或(-1,0)聯(lián)立兩式得或y1y0”=2得n-q=0若n=(1,0)則n-q=-10故n(-1,0).n=(0,-1)-2.2B=A+C,A+B+C=B=-：C=-A332C-n+p=(cosA,2cos1)=(cosA,cosC)n +P221cos2A1cos2Ccos2Acos2C=cosAc

24、osC=.222cos2A='4A、cos(2A)OA cos2A3 .cos2A sin 2 A22 21 .3cos2Asin2A2 22"cos(2A)1=fr10<A<2_0<2A<t332A-33-1<cos(2A+3)<i（為）22例題5已知函數(shù)f(x)=mx-1(mR且m0)設(shè)向量a(1,cos2),b(2,1),c(4sin,1),1d(2sin)J(0,/時(shí)'比較f(a?b)與f(c?d)的大小。解：a?b=2+cos2,c?d=2sin2+1=2-cos2f( a ?b )=m 1+cos2=2mcos2,f(c

25、?d)=m1-cos2=2msin2于是有f(a?b)-f(c?d)=2m(cos2-sin2)=2mcos2(0,-).,.2(0,-)cos2>0當(dāng)m>0時(shí)，2mcos2>0,即f(a?b)>f(c?d)當(dāng)m<0時(shí)，2mcos2<0,即f(a?b)<f(c?d)例題6已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-J3sin2A-cos2B+2(1)當(dāng)f(A、B)取最小值時(shí)，求C(2)當(dāng)A+B=3時(shí)，將函數(shù)f(A、B)按向量p平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求p解：(1)f(A、B)=(sin22A-33sin2A+-

26、)+(cos22B-cos2B+-)+144=(sin2A-)2+(sin2B-1)2+122當(dāng)sin2A=3,sin2B=1時(shí)取得最小值，22.A=30或60,2B=60或120C=180-B-A=120或90(2)f(A、B尸sin22A+cos22(A)-73sin2Acos2(A)222=sin22Acos22A3sin2Acos2A23、 c=2cos(2A-)32cos(2A)3p二(2k,3)32-1、_例延7已知向重a(mx,1),b(,x)(m為常數(shù))，且a,b不共線，若向量a,b的夾角mx1落<a,b>為銳角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：要滿足<a,b>

27、為銳角只須ab>0且ab(R)222mxmxmxxxab=x=0mx1mx1mx1即x(mx-1)>0。，一，11當(dāng)m>0時(shí)x<0或xm一1一2m<0時(shí)，x(-mx+1)<0,x一或x0m3°m=0時(shí)只要x<0，一一,1綜上所述：x>0時(shí)，x(,0)(,)mx=0時(shí)，x(,0)x<0時(shí)，x(,1)(0,)m例題8已知a=(cosa,sina),b=(cosB,sinB),a與b之間有關(guān)系|ka+b|=33|akb|,其中k>0,(1)用k表示ab;(2)求ab的最小值，并求此時(shí)a-b的夾角的大小。解（1）要求用k表示ab,而

28、已知|ka+b|=J3|a-kb|,故采用兩邊平方，得|ka+b|2=(33|akb|)2k2a2+b2+2ka-b=3(a2+k2b22ka-b)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2-22_22(3k)a(3k1)ba*b=8k-a=(cosa,sina),b=(cosp,sinB),a2=1,b2=1,3k23k21k21ab=8k4k1 =1 X 1 X cos 。2有時(shí)可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且 | b| 2+2a - bo例題9已知向量ra (cos ,sinr),b (cos ,sin.飛日再八即匕二空=14k4k2又ab=|a|b|cos,|a|=|b|=1=60

29、°,此時(shí)a與b的夾角為60°錯(cuò)誤原因：向量運(yùn)算不夠熟練。實(shí)際上與代數(shù)運(yùn)算相同，有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+50,且sin 一，求sin 的值.v,bcos ,sin ,(I)求cos()的值;(n)若0,-v解(i)Qacos,sincos ,sinsin_ v v 2 匹 !2：2Q a b , J cos cos sin sin5”vvabcos2.55即22cos:.cos3.(n)Q0,0,02 23 4Qcos一，sin-.5 5512Qsin,cos.13134123_533.51351365例題10已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F

30、的坐標(biāo)分別為uur(-1,0)、(1,0),動(dòng)點(diǎn)A、MN滿足|AE|uuirm|EF|uuuruuuruuir1uuuuuiruuuuuuur(m1),MNAF0,ON-(OAOF),AM/ME.2(I)求點(diǎn)M的軌跡W勺方程；muur(n)點(diǎn)P(一，y0)在軌跡W上，直線PF交軌跡WF點(diǎn)Q,且PF2數(shù)m的范圍.uuirFQ,若1ww2,求實(shí)解：(i)uuuuuuurMNAFuuur1uuuuuir0,ON-(OAOF)2MN直平分AF.uuuuruuur又AM/ME,.點(diǎn)M在AE上,uuuu|AM|uuur|ME|uuruuruuur|AE|m|EF|2m,|MA|uuur|MF|,uuur.

31、|ME|uuur|MF|uuir2m|EF|,，點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓,且半長(zhǎng)軸1,1.，點(diǎn)M的軌跡W勺方程為2X-2m2y-2m(n)設(shè)Q(x,y1)muur0)，PFuuurFQ.m/1-(X2X1m2)v。yy11一y0.由點(diǎn)p、Q均在橢圓WLk,2y。2m1,1m)22y。22(m1)消去yO并整理，得1.基礎(chǔ)練習(xí)題1.設(shè)平面向量a=(-2,1),b=(人，1),若a與b的夾角為鈍角,則X的取值范圍是()答案:1,2)21,2A(2,)D、點(diǎn)評(píng)：易誤選C,)B、(2,)錯(cuò)因：忽視12)a與b反向的情況。2.O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足一一A

32、BOPOA(-AC一),|AB|AC|0,)，則P的軌跡一定通過ABC的()（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心正確答案：BoABAC錯(cuò)誤原因：對(duì)OPOA(AB-AC|AB|AC|),AB0,）理解不夠。不清楚IABIAC-與/BAC的角平分線有關(guān)。IAC|3.若向量a=(cos,sin),b=cos,sina與b不共線，則a與b一定滿足（）Aa與b的夾角等于-B.aIIbC.(a+b)(a-b)d.a±b正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生不能把a(bǔ)、b的終點(diǎn)看成是上單位圓上的點(diǎn)，用四邊形法則來(lái)處理問題。4.已知。A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P線段AB上且

33、AP=tAB(0<t<1)則OA-OP的最大值為（）A.3B.6C,9D.12正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)OPcos最大時(shí)，OA-OP即為最大。5.在ABC中，a5,b8,C60，則BCCA的值為()A20B20C20、,3D20.3錯(cuò)誤分析：錯(cuò)誤認(rèn)為（BC；cA；，C60，從而出錯(cuò)答案：B略解：由題意可知(BC,CAJ120,故BCCa=|bC|CAcos(BC,CA')56.已知向量a=(2cos,2sin),(,),2A.2-B.一+3218120.2b=(0,-1)，則a與b的夾角為()C.-D.正確答案：a錯(cuò)因：學(xué)生忽略考慮a與b夾角的取值范圍

34、在0,rrrrrr7.如果abac,且a0,那么()rrrrrrrrra.bcB.bcC.bcD.b,c在a方向上的投影相等正確答案：D。錯(cuò)誤原因：對(duì)向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。uuruuuruur_uuuuuur8 .已知向量OB(2,0),OC(2,2),CA(J2cosa,J2sina)則向量OA,OB的夾角范圍是()A、n/12,5n/12B、0,n/4C、n/4,5n/12D、5n/12,/2正確答案：A錯(cuò)因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。9 .設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則下列a與b共線的充要條件的有()存在一個(gè)實(shí)數(shù)入，使2=入6或6=入2；|a-b|=|a|b|；xL

35、_yL；(a+b)/(a-b)X2y2A1個(gè)B、2個(gè)G3個(gè)D、4個(gè)答案：C點(diǎn)評(píng)：正確，易錯(cuò)選d10 .以原點(diǎn)O及點(diǎn)A(5,2)為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB使A90,則AB的坐標(biāo)為()A、(2,-5)R(-2,5)或(2,-5)C、(-2,5)D(7,-3)或(3,7)正解：B設(shè)AB(x,y),則由|OA|AB|v5222，X2y2而又由OAAb得5x2y0由聯(lián)立得x2,y5或x2,y5。誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。11 .設(shè)向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則上"是a/b的()條件。x2y2A充要r必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要正解：Cx1y1右則

36、x1y2x2yl0,ab,若ab,有可能x2或丫2為0,故選C。x2y2誤解：a / bx1 y2 x2yl 0Xiy1,此式是否成立，未考慮，選x2y2(5cos ,5sin )，若 OA OB 512.在oab中，OA(2cos,2sin),OB則SOAB=（）A、33B12C、5.3DX5322正解：DoOAOB5.|OA|OB|cosv5（lv為OA與OB的夾角）13_1_5.3cosV-sinV一.Soab一|OA|OB|sinV2222誤解：C。將面積公式記錯(cuò)，誤記為S0AB|OA|OB|sinV13.設(shè)平面向量a（2,1）b（,1）,（R）,若3與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

37、A）,111、A、（一,2）（2,）Bk（2,+）C、（一一,）D（-,一）222錯(cuò)解：C錯(cuò)因：忽視使用ab0時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況正解：A14 .設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個(gè)命題:f1ff一frr(ab)ccab0abbcacab不與Cft直若ab,則abfc不平行其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)Dk4個(gè)正確答案：（B）錯(cuò)誤原因：本題所述問題不能全部搞清。x的取值范圍是0不是a,b夾角為鈍角的充要條件15 .若向量a=x,2x,b=3x,2，且a,b的夾角為鈍角，則錯(cuò)誤分析：只由a,b的夾角為鈍角得到ab0,而忽視了ab因?yàn)閍,b的夾角為180時(shí)也有ab0,從而擴(kuò)大x的范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤.2正確解法：a,b的夾角為鈍角，abx3x2x23x4x04解得x0或x一一，1又由a,b共線且反向可得x3由(1),(2)得X的范圍是3，03，0答案:16.已知平面上三點(diǎn)AB、C滿足|AB|3,|BC|4,|CA|5,則ABBCBCCaCAAB的值等于(C)A.25B.24C.一25D.一2417.已知AB是拋物線X22py(p0)的任一弦,F為拋物線的焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線.m是過點(diǎn)A且以向量V(0,1)為方向向量的直線.(1)若過點(diǎn)A的拋物線的切線與y軸相交于點(diǎn)C,求證：|AF|=|CF|;