平面向量第一講

1、汪博教育5398006平面向量第一講向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算主講：龔榮峰要點(diǎn)掃描1向量是既有又有的量，向量常用線段來表示，向量AB的長(zhǎng)度記作;長(zhǎng)度為零的向量叫做,記作,長(zhǎng)度為1的向量叫做;方向相反或相同的向量叫做，也叫做,長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做2實(shí)數(shù)k與向量a的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|ka|=(2)當(dāng)k>0時(shí)，ka與a的方向;當(dāng)k<0時(shí)，ka與a的方向;當(dāng)k=0時(shí)，ka=3向量b與向量a共線的的充要條件是其中a不為零向量4向量加法的運(yùn)算律：(1)(2);實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律-5在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i,j分別是方向與x軸、

2、y軸正向相同的單位向量，a是平面內(nèi)任一向量，且a=xi+yj,則稱為a的坐標(biāo)，記作a=(,)6設(shè)a=(c,d),b=(e,f)則a+b=(,),a-b=(,)ka=(,)7設(shè)A=(c,d),B=(e,f),則AB=,|AB|=8a=(c,d),b=(e,f)則a/b等價(jià)于考題熱身1在ABC中，AB=c,AC=b,若點(diǎn)D滿足BD=2DC,求AD2已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a/b,求2a+3b考點(diǎn)解讀考點(diǎn)1向量的概念(1)向量的表示方法向量的起點(diǎn)為a,終點(diǎn)為b,則記為Ab,若只研究向量的大小和方向，不關(guān)心起點(diǎn)時(shí)，可用a、b來表示(2)向量的模如果AB=a,那么AB的長(zhǎng)度表示向

3、量a的大小，也叫做向量a的模，記作|aB|=|a|(3)對(duì)零向量、相等向量、共線向量的說明零向量的方向不確定，任意，兩個(gè)零向量相等，模為零的向量一定是零向量；任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)；共線向量也叫平行向量，任一向量都與自身是平行向量，并且規(guī)定零向量與任一向量都是平行向量考點(diǎn)2向量的加減法(1) 向量的加法可以按照平行四邊形法則、三角形法則(2) 向量的減法實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算考點(diǎn)3實(shí)數(shù)與向量的乘積實(shí)數(shù)k與向量a的積是一個(gè)向量，記作ka考點(diǎn)4實(shí)數(shù)與向量的積滿足的運(yùn)算律設(shè)入理實(shí)數(shù)，則有乂止=(入兇(入+p)a=入a+paXa+b)=入a+Xb考點(diǎn)

4、5向量共線的條件平行向量基本定理：若a=kb,則ab,若a/b(b不為零向量)則一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)卜使2=世考點(diǎn)6平面向量的坐標(biāo)表示已知a=xi+yj，則a=(,)考點(diǎn)7兩向量平行的條件的坐標(biāo)表示(1) 設(shè)2=(e,f),b=(g,h)則a/b等價(jià)于(2) 設(shè)a=(e,f),b=(g,h),b不平行于標(biāo)軸，則ab等價(jià)于典例精析題型一考查基本概念例1.如圖51,在平行六面體ABCDAiBiCiDi中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若A1B=a,AD1=b,A1A=c.則下列向量中與B1M相等的向量是()11A. a+ b+c2211B. a+ b+c22C. 1a 1b+c22題型二向量加法、減法及數(shù)乘的

5、應(yīng)用例2若a、b、c為任意向量,mCR,則下列等式不一定 成立的是 D. 1 a一 一 b+ c22( )A. (a+b) +c=a+ (b+c)C. m (a+b) =ma+mbB. (a+b) - c=a - c+b cD. (a b) c=a (b c)DC 2BD ,題型三共線向量與三點(diǎn)共線問題例3設(shè)D、E、F分別是三角形ABC的三邊BC,CA,AB的點(diǎn)，且CE2EA,AF2FBWJADBEBC與BC的關(guān)系題型四平面向量的基本定理及運(yùn)用例4在三角形ABC中點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P求AP:PM的值題型五坐標(biāo)值的運(yùn)算例5若向量a=(3,2),b

6、=(0,1),則向量2ba的坐標(biāo)是()A. (3, 4)C. (3, 4)B.(3,4)D.(3,4)例6已知A(1,2),B=(2,1),C=(3,2)和D(2,3)以AB,AC為一組基底來表示ADBDCD題型六向量平行的充要條件的運(yùn)用例7已知A(4,0)B(4,4)C(2,6)求AC和OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)題型七數(shù)學(xué)思想法例8在三角形ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，G是它的重心，已知D(1,2),E(3,5),F(2,7)求A、B、C、G的坐標(biāo)反饋訓(xùn)練1設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則(ab)c(ca)b=0|a|b|<|ab|(bc)a(ca)b不與

7、c垂直(3a+2b)(3a2b)=9|a|24|b|2中，是真命題的有()A.B.C.D.2如果直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率為()A.-1B.-3C.1D.3333已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么a-b=.4 已知 a=(2, 1), b=(-3 , 4),求 a+b, a-b, 3a+4b 的坐標(biāo)5已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2,1）、（-1,3）、（3,4）,求6已知點(diǎn)A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),求證:AB/CD.7已知A(-1,-

8、1),B(1,3),C(2,5),求證A、B、C三點(diǎn)共線8已知兩點(diǎn)M（1,0）,N（1,0）,且點(diǎn)P使MPMN,PMPN,NM-NP成公差小于零的等差數(shù)列.求點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？9四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，AB=2,1,4,AD=4,2,0,AP=-1,2,1.對(duì)于向量a=x1,y1，zi,b=x2,y2,Z2,c=x3,y3,z3,定義一種運(yùn)算：(aXb)-C=Xiy2Z3+X2y3Zl+X3yiZ2Xiy3Z2X2yiZ3X3y2Z1,試計(jì)算(ABXAD)AP的絕對(duì)值的值10已知向量a, b的坐標(biāo)，求a+b,a-b的坐標(biāo).a=(-2 , 4), b=(5, 2);(2)a=(4, 3) , b=(-3 , 8);(3)a=(2 , 3), b=(-2 , 3);a=(3, 0), b=(0 , 4);11已知a=(3,2