最新湘教版3.2平行線分線段成比例

1、3.2 3.2 平行線分線段成比例平行線分線段成比例湘教版湘教版九年級上冊九年級上冊 圖圖3-3是一架梯子的示意圖是一架梯子的示意圖.由生活常識可知：由生活常識可知：AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若互相平行，且若AB=CD，則，則A1B1=C1D1,由此可猜測：由此可猜測：若兩條直線被一組平行線所截，若兩條直線被一組平行線所截，如果在其中一條直線上截得如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等，這個，這個猜測是真的嗎猜測是真的嗎?ABCDA1B1C1D1觀察觀察圖圖3-33-3圖圖3-4，已知直線，已知直線a

2、bc，直線，直線l1,l2被直線被直線a,b,c截得的線段分別為截得的線段分別為AB,BC,和和A1B1,B1C1,且且AB=BC.求證：求證：A1B1=B1C1分析：過點分析：過點B作直線作直線l3l2，分別與直，分別與直線線a,c相交于點相交于點A2,C2。由于由于abc，l3l2由由“夾在兩平行線間的平行線段相等夾在兩平行線間的平行線段相等”可知可知A2B=A1B1,BC2=B1C1,所以所以BAA2 BCC2所以所以BA2=BC2所以所以A1B1=B1C1ABCA1B1C1abcl2l1l3A2C2探究探究圖3-4平行線等分線段定理：平行線等分線段定理： 兩條直線被一組平行線所截，如果

3、在其中一條直線上兩條直線被一組平行線所截，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.注意：平行線等分線段定理的條件相鄰的兩條平行線間的距離相等ABCA1B1C1abcl2l1一組平行線中相鄰兩條平行線間距離不相等一組平行線中相鄰兩條平行線間距離不相等, ,結(jié)論又如何呢？結(jié)論又如何呢？幾何語言表達(dá)：幾何語言表達(dá)：,/cba.,1CBAcbal于點，交直線直線.,1112CBAcbal于點，交直線直線,BCAB .1111CBBA如圖3-5，任意畫兩條直線l1,l2,再畫三條與l1,l2相交的平行直線a,b,c，分別度

4、量l1,l2被直線a,b,c截得的線段AB,BC,A1B1,B1C1的長度.任意平移直線c，再度量AB,BC,A1B1,B1C1的長度，ABCA1B1C1abc動腦筋動腦筋相等嗎？與1111CBBABCAB還相等嗎？與1111CBBABCAB圖3-5ABCA1B1C1abcDD1dEFE1F1ef.3121,3232BCABBCABBCAB得，下面我們來證明：下面我們來證明：. 63/3212，如圖于點，交作直線過點，二等分，分點為，則把線段假設(shè)DladDDABBCAB./,112FElafaeFEFEBC，于點分別交，作直線，分別過點，三等分，三等分點為把線段.31,21BCFCEFBEAB

5、DBAD.FCEFBEDBAD./cfebda又.1111111111CFFEEBBDDA.323211111111EBDACBBA由平行線等分線段定理可得：由平行線等分線段定理可得：ABCA1B1C1abc.),(.),(,/11111111111121kCBBAkkBCABnmCBBAnmnmBCABCBBABCABcballcba則為無理數(shù)其中若進(jìn)一步可以證明，則整數(shù)是正其中若和截得的線段分別為被直線直線類似地，可以證明：我們還可以得到：我們還可以得到：,1111BACBABBC,1111CABAACAB.1111CACBACBC下下上上下下上上=上上下下上上下下=,1111CBBABC

6、AB上上全全上上全全=下下全全下下全全=兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.結(jié)論結(jié)論平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理ABCA1B1C1abc注意：注意：1.一組平行線的數(shù)量為3條以上；3.對應(yīng)線段的比相等是指同一條直線上的兩條 線段的比，等于另一條直線上與它們對應(yīng)的 兩條線段的比；4.常見的線段對應(yīng)關(guān)系有：2.對應(yīng)線段是指被平行線所截的線段；,1111BACBABBC,1111CABAACAB.1111CACBACBC,1111CBBABCAB下下上上下下上上=上上下下上上下下=上上全全上上全全=下下全全下下全全=ABCA1

7、B1C1abc幾何語言表達(dá)：幾何語言表達(dá)：,/cba.,1CBAcbal于點，交直線直線.,1112CBAcbal于點，交直線直線,1111BACBABBC,1111CBBABCAB,1111CABAACAB.1111CACBACBC運用平行線分線段成比例定理的運用平行線分線段成比例定理的 三種基本圖形：三種基本圖形：(1)兩條截線無交點兩條截線無交點(2)兩條截線的交兩條截線的交 在三條平行線在三條平行線 的外面的外面(3)兩條截線的交兩條截線的交 在三條平行線在三條平行線 的內(nèi)部的內(nèi)部思考：平行線分線段成比例與平行線等分線段的聯(lián)系：ABCDEFABCDEF1 1當(dāng)當(dāng)BCAB1 1當(dāng)當(dāng)BCA

8、B., 5 . 13, 2,/. 11111111的長求已知例CBBABCABCCBBAACBA1A1B1C,/111CCBBAA解：舉舉例例25. 225 . 131CB1,1111CBBABCAB,5 . 13211CB即(平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理)231.5？ 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí).,2, 1,3,/,.1的長求已知且過點，直線相交于點如圖，OCODOBOACDMNBAOMNOBDACABCOMDN312,/CDMNBA解：. 6 OC,ODBOOCAO,213OC即(平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理)？如何求直接如何求直接AC的長度？的長度？.,12, 4,

9、 3, 2.,/. 2312321的長，求已知相交于點分別與直線的直線過點分別相交于點與直線如圖，DKCKFMCDEMMBAMFEllEFMKMCDABllllABDMEFCKl1l2l323412？,/321lll解：. 6 MF,MBAMMFEM,324MF即(平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理),ABAMCDCK同理,5212CK即.524 CK.53652412CKCDDKEDCBA如圖如圖3-7，在，在ABC中，已知中，已知DEBC,則則成立嗎？為什么？和ACAEABADECAEDBAD分析：過點分析：過點A作直線作直線MN，使，使MNDE， DEBC, MNDEBC.又又

10、AB,AC被一組平行線被一組平行線MN,DE,BC所截，所截，動腦筋動腦筋MN圖3-6.,ACAEABADECAEDBAD同時還可以得到：.,ACECABDBAEECADDB(平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理)由此得到以下結(jié)論：由此得到以下結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例例.bcABCDE如果如果DE截在兩邊的延長線上時，截在兩邊的延長線上時，對應(yīng)線段還成比例嗎？對應(yīng)線段還成比例嗎？ 由此可以得到以下結(jié)論：由此可以得到以下結(jié)論： 平行于三角形一邊的直線截其他平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長兩邊的延

11、長線線所得的對應(yīng)線段成比例所得的對應(yīng)線段成比例.成立嗎？為什么？和即ACAEABADECAEDBADa成立成立平行線分線段成比例定理推論平行線分線段成比例定理推論: :DEBC，結(jié)論結(jié)論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩或兩邊邊的延長線的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例所得的對應(yīng)線段成比例.EDCBA幾何語言表達(dá)：幾何語言表達(dá)：,CEAEDBAD,AEECADDB,ACAEABAD.ACCEABDB注意：平行線等分線段定理推論的條件(1)截線與三角形的兩邊(或兩邊的延長線)相交；(2)截線平行于三角形的第三邊；運用平行線分線段成比例定理推論的三種基本圖形運用平

12、行線分線段成比例定理推論的三種基本圖形: :DEABCABCDEABCDE截線在三角截線在三角 形的內(nèi)部；形的內(nèi)部；(2)截線在三角形截線在三角形 的順向延長線上；的順向延長線上；(3)截線在三角形截線在三角形 的反向延長線上；的反向延長線上；例例2 如圖如圖,點點D,E分別在分別在ABC的邊的邊AB,AC上，且上，且DE/BC，若若AB=3，AD=2，EC=1.8。求。求AC的長的長.DEABC解解:DE/BC,DBABCEAC4 . 5AC解得,2338 . 1AC即注意：注意：先把要求的線段作為比例式的第一項，再先把要求的線段作為比例式的第一項，再 根據(jù)條件列出合適的比例式根據(jù)條件列出合

13、適的比例式. 例例3 如圖如圖,ABC中，點中，點D,E,F分別在分別在ABC的邊的邊AB,BC,AC上，且上，且DE/BC，DF/AC.FACB(1)證明：證明：DE/BC,ABADACAE又又DF/AC，BCCFABADDE;1BCCFACAE）求證：（;BCCFACAE若不能直接證明兩組比相等，則可以證明這兩組比分別與另若不能直接證明兩組比相等，則可以證明這兩組比分別與另一組比相等，從而通過等量代換證明這兩組比相等一組比相等，從而通過等量代換證明這兩組比相等.FACBDE,316,8244CFCF即38316-8BF;)2(BCCFACAE解(2)若若AE=4，EC=2，BC=8。求。求

14、BF和和CF的長的長.(3)下列比例式成立的是下列比例式成立的是( )B例4 已知：AD是ABC中BAC的平分線， 求證：.BDABDCAC=CBDAE證明證明:過點過點C作作CE/DA交交BA的延長線于點的延長線于點E.則則1=1=E,E, 2=2=ACE,ACE,AD平分平分BAC，1=1=2,2,ACE=ACE=E,E,AC=AE,AC=AE,又又CE/DA,;AEBADCBD.ACBADCBD1 12 21.如圖1：已知l1l2l3 ，AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米.則EF=（），DE=（ ）.2.如圖2:ABC中，DE BC，如果AE ：EC=7 ：3，則DB ：AB=（ ）ABCDFEl1l2l3圖1BCDEA圖2 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)3.3.如圖：如圖：EFABEFAB，BFBF：FC= 5 FC= 5 ：4 4，AC=3AC=3厘米，厘米， 則則CE=CE=（）（）4.4.已知在已知在A